【最新】2019-2020学年重庆市第一中学高一下学期期中数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 18 页2019-2020 学年重庆市第一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1已知向量2,4a，1,1b，则2ab（）A5,7B5,9C3,7D3,9【答案】A【解析】因为2(4,8)a，所以2(4,8)(1,1)ab=（5，7），故选 A.【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2在ABC中，a、b 分别为内角A、B 的对边，如果30B，105C，4a，则b（）A2 2B3 2C6D5 6【答案】A【解析】先求出45,A再利用正弦定理求解即可.【详解】30B，105C，45A，由正弦定理可得4sin 45sin 30b，解得1422 222b，故选：A.【点睛】

2、本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.3某外卖企业两位员工今年3月某10天日派送外卖量的数据（单位：件），如茎叶图所示针对这10天的数据，下面说法错误的是（）第 2 页 共 18 页A阿朱的日派送量的众数为76B阿紫的日派送量的中位数为77C阿朱的日派送量的中位数为76D阿朱的日派送外卖量更稳定【答案】C【解析】根据茎叶图的数据计算出阿朱和阿紫的日派送量的众数和中位数，可判断A、B、C 选项的正误，根据阿朱和阿紫的日派送量数据的分布情况可可判断D 选项的正误.【详解】由茎叶图可知，阿朱的日派送量由小到大分别为63、64、72、76、76

3、、77、78、84、86、94，众数为76，中位数为76.5，阿紫的日派送量由小到大分别为54、58、63、72、73、81、86、89、95、99，中位数为77，由茎叶图可知，阿朱的日派送量数据相对集中，阿紫的日派送量数据相对分散，所以，阿朱的日派送外卖量更稳定.所以，A、B、D 选项正确，C 选项错误.故选：C.【点睛】本题考查利用茎叶图计算众数和中位数，同时也考查了利用茎叶图的数据分布来比较样本的稳定性，考查数据分析能力，属于基础题.4如果(1,3)A关于直线l的对称点为(5,1)B，则直线l的方程是()A340 xyB380 xyC340 xyD380 xy【答案】A【解析】【详解】因

4、为已知点(1,3)A关于直线l的对称点为(5,1)B，故直线l为线段AB的中垂线，求得AB的中点坐标为(2,2)，AB的斜率为131513，故直线l的斜率为3，故直线l的方程为23(2)yx，即340 xy.故选：A.第 3 页 共 18 页5直线l经过2,1A，23,Bt，22t点，则直线l倾斜角的取值范围是（）A30,44B0,C0,4D30,424【答案】A【解析】求出斜率的取值范围，然后可得倾斜角的范围【详解】由已知直线的斜率为221132tkt，22t，所以11k，记直线l的倾斜角为,0,，即1tan1，所以30,)44故选：A【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的倾斜角的

5、范围是0,，斜率为正时，倾斜角为锐角，斜率为负时，倾斜角为钝角，因此一般要分类讨论6ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acb，3sin5sinBA，则角C（）A60B120C135D150【答案】B【解析】由正弦定理化角为边的关系，然后由余弦定理求出cosC，即可得【详解】因为3sin5sinBA，所以35ba，35ab，代入2acb得75cb，22222294912525cos32225bbbabcCabb b，120C故选：B【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，用正弦定理化角为边，用余弦定理求角，属于基础题7已知12a，121nnaan（*nN），则na（）第 4 页 共

6、 18 页A1nB21nC21nD221n【答案】C【解析】利用累加法即可求出通项公式【详解】解：121nnaan，则当2n时，121nnaan，325aa，213aa，132212153nnaaaaaan，化简得21121312nnnaan，又12a，21nan，经检验12a也符合上式，2*1nnNan，故选：C【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能力，属于中档题8为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数x（天）3456繁殖个数y（千个）2.5344.5由最小二乘法得y与 x 的线性回归方程为

7、0.7yxa，则当8x时，繁殖个数y的预测值为（）A4.9 B 5.25 C5.95 D6.15第 5 页 共 18 页【答案】C【解析】根据题中条件，求出,x y，再由回归直线必过样本中心，求出a，将8x代入回归方程，即可求出结果.【详解】由题中数据可得：34564.54x，2.5344.53.54y，因为回归直线必过样本中心,x y，所以0.73.50.74.50.35ayx，因此0.70.35yx，所以当8x时，0.7 80.355.95y.故选：C.【点睛】本题主要考查用回归直线求预测值，熟记回归直线的特征即可，属于基础题型.9直线:1xylab中，1,3,5,7a，2,4,6,8b.

8、则 l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10 的概率为（）A716B732C1116D1132【答案】A【解析】记事件为(,)a b，可用列举法列出事件空间，从而得出面积不小于10 的事件的个数，计算出概率【详解】,a b构成一对有序数对(,)a b，则事件空间为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6,),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8)，其中使得三角形面积不小于10 的事件有：(3,8),(5,4),(5,6),(5,8),(7,4),(7,6),(7,8)共7 个，所求概率为

9、716P故选：A【点睛】第 6 页 共 18 页本题考查古典概型，解题关键是写出事件(,)a b构成的事件空间列举法是解决此类问题的常用方法10若ABC中，1cos2A，2BC，则BA BCCA CBABAC的最大值是（）A2 2B13C3D2【答案】D【解析】首先根据向量数量积运算，将原式变形为2 coscosBC，再根据23BC化简，变形为2sin6B，再求函数的最值.【详解】coscosBA BCBA BCBacBcoscosCA CBCA CBCabC，ABc，ACb，原式coscos2 coscosaBaCBC，1cos2A，3A，23BC,原式22 coscos3BBcos3sin

10、BB2sin6B,203B,5666B12sin26B，BA BCCA CBABAC的最大值是2.故选：D【点睛】本题向量数量积和三角函数恒等变形和性质，重点考查转化与变形和计算能力，属于中第 7 页 共 18 页档题型.11已知等差数列na满足22a，3710aa，数列nb满足11nnnnnaabaa，记数列nb的前 n 项和为nS，若对于任意的2,2a，*nN，不等式223nStat恒成立，则实数t 的取值范围为（）A,21,B,22,C,12,D2 2,【答案】B【解析】由等差数列基本量法求出通项公式na，用裂项相消法求得nS，求出nS的最大值，然后利用关于a的不等式是一次不等式列出t满

11、足的不等关系求得其范围【详解】设等差数列na公差为d，则由已知得2137122810aadaaad，解得111ad，nan，11111nnnnnnnaabaaaa，122311111111111111nnnnSaaaaaaaan，易知数列nS是递增数列，且1nS，若对于任意的2,2a，*nN，不等式223nStat恒成立，即2231tat，又 2,2a，2222312231tttt，解得2t或2故选：B【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握不等式恒成立问题的转化与化归思想，不等式恒成立首先转化为求数列的单调性与最值，其次转化为一次不

12、等式恒成立12已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量1x，2x，3x，4x，5x和1y，2y，3y，4y，5y均由 2 个a和 3个b排列而成，记1122334455Sxyxyxyxyxy，第 8 页 共 18 页minS表示S所有可能取值中的最小值，maxS表示S所有可能取值中的最大值.下列说法中正确的个数是（）S有 5 个不同的值；若ab，且1ab则max5S；若4ba，则min0S；若2ba，2min8Sa，则a与b的夹角为3.A1 B 2 C3 D4【答案】C【解析】首先根据题意S有3种结果，故错误，由12230SSSS，得到3S最小，1S最大，再根据条件对判断即可得到答案.【详解】

13、对，S有3种结果，分别是：22123Sab，22222Saa bb，234Sa bb，故错误.因为222221223220SSSSaba bababab，所以S中，3S最小，1S最大.对，若ab，且1ab，则2222max123235SSabab，故正确.对，若4ba，则22222min344cos40SSa bba bba bbbb，故正确.对，若2ba，2min8Sa，则2222348cos48Sa bbaaa，所以1cos2，3，故正确.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量数量积的综合应用，考查学生推理，分析问题的能力，属于难题.二、填空题第 9 页 共 18 页13已知一组数1，2，m

14、，6，7 的平均数为4，则这组数的方差为_.【答案】265【解析】先根据平均数计算出m的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.【详解】依题意12674,45mm.所以方差为22222114244464745126944955.故答案为：265.【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.14以下四个命题中：直线32yaxaaR必过定点3,2；直线310 xy的倾斜角为60，将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a 倍；基本事件空间是1,2,3,4,5,6，若事件1,2A，4,5,6B，A，B 为互斥事件，但不是对立事件.其中正确的

15、是_.【答案】【解析】根据直线方程，直线的倾斜角的定义，方差公式，对立事件的概念分别判断各命题【详解】直线32yaxaaR中，令3x，则2y，直线必过定点3,2，正确；直线310 xy的斜率为3k，倾斜角为120，错误；将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差变为原来的2a倍，错误；基本事件空间是1,2,3,4,5,6，若事件1,2A，4,5,6B，A，B 不可能同时发生，为互斥事件，但事件3 发生时，,A B都不发生因此它们不是对立事件，正确故答案为：【点睛】第 10 页 共 18 页本题考查命题的真假判断，掌握直线方程，直线的倾斜角，方差，对立事件等概念是解题关键本题属于中档

16、题15赵爽是我国古代数学家，大约在公元222 年，赵爽在为周髀算经作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽炫图”，可类似地构造如图所示的图形：由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DFFA，若2 13AB，则EDF的面积为 _.【答案】4 3【解析】根据正三角形和全等三角形的性质得DBAF，再运用余弦定理可求得DF的长，运用三角形的面积公式可求得其值.【详解】由题可知：在DEF中，3EDA，则23ADB，不妨设2DFk，由2DFAF知，AFk，则3ADk，又因为AFCBDA，所以DBAFk，由余弦定理可知：22222231cos22 32kkABADBDA

17、BADBAD BDkk，解得2213ABk，而2 13AB，所以2k，所以4DF，所以144sin4 323DEFS，故答案为：4 3.【点睛】本题考查运用余弦定理和三角形的面积公式求解三角形，属于中档题.16已知点 M 为直线1:20lxya与直线2:210lxy在第一象限的交点，经过点 M 的直线 l 分别交 x，y 轴的正半轴于A，B 两点，O 为坐标原点，则当AOBS取得最小值为1425时，a 的值为 _.【答案】32第 11 页 共 18 页【解析】先求出点M的坐标，然后设直线AB的方程，得出,A B坐标后可得三角形面积，由面积的最小值可求得a【详解】由20210 xyaxy，得21

18、525axay，即212(,)55aaM，M在第一象限，则12a，设直线l方程为221()55aayk x，显然k0，令0 x得2(21)55Baaky，令0y得21255Aaaxk，所以112122(21)225555AOBABaaaakSx yk221(2)2(2)(21)(21)()50aaaakk221(2)2(2)(21)2(21)()50aaaakk2(2)(21)25aa，当且仅当22(2)(21)()aakk，即221aka时等号成立所以OABS最大值为2(2)(21)142525aa，解得32a或3a（舍去）故答案为：32【点睛】本题考查求直线的交点坐标，考查求直线方程，三角

19、形面积，考查用基本不等式求最值本题考查了学生运算求解能力，属于中档题三、解答题17已知向量2cos,sin,1,2ab.（1）若/ab，求3sin2cos2sincos的值；（2）若45,2atb与2ab垂直，求实数t的值.【答案】（1）2（2）2t【解析】试题分析：（1）由/ab得出，tan4，由3sin2cos3tan22sincos2tan1第 12 页 共 18 页得出结果;（2）由45得22,2a，利用向量坐标运算法则求出2atb和2ab，再由2ab与2ab垂直，能求出t.试题解析：解：（1）/sin4costan4ab，3423sin2cos3tan222sincos2tan124

20、1.（2）245,2,2a,22 2,22,23,1atbttab,2atb与2ab垂直，2 232210tt，2t.18已知直线12:310,:(2)10laxylxay（）若12ll，求实数a的值；（）当12ll时，求直线1l与2l之间的距离【答案】（）32a；（）2 23.【解析】（）根据两直线垂直的等价条件可得所求（）先由12ll求出3a，然后根据两平行线间的距离公式求解【详解】（）12:310,:(2)10laxylxay，且12ll，13(2)0aa，解得32a（）12:310,:(2)10laxylxay，且12ll，(2)3 1a a且1a，解得3a，12:3310,:10lx

21、ylxy，即12:3310,:3330lxylxy直线12,l l间的距离为223 12 2333d【点睛】第 13 页 共 18 页本题考查平面内两直线的位置关系的判定和距离公式，解答本题的关键是熟记相关公式，即：若11112222:0,:0lA xB yClA xB yC，则2112210A AlB Bl；121221llA BA B且1221A CA C，或121221llA BA B且1221BCBC考查转化和计算能力，属于基础题192020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100 分）.根据调查数据制成如下表

22、格和频率分布直方图.已知评分在80,100的居民有600人.满意度评分40,6060,8080,9090,100满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；（2）定义满意度指数（满意程度的平均分）/100，若0.8，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在40,50、50,60）中用分层抽样的方法抽取6 名居民，倾听他们的意见，并从 6 人中抽取2 人担任防疫工作的监督员，列出抽取的所有基本事件并求这2

23、人中仅有一人对防疫工作的评分在40,50内的概率.【答案】（1）0.025a，1000；（2）=0.8070.80，该区防疫工作不需要大的调第 14 页 共 18 页整；（3）815P【解析】（1）首先由频率分布直方图求出0.025a，再设总共调查n人，得到6000.0350.02510n，解方程即可得到答案.（2）计算=0.8070.80，即可得到答案.（3）首先利用分层抽样得到40,50抽取120210人，50,60抽取140410人，再利用古典概型计算概率即可.【详解】（1）由频率分布直方图得：0.0020.0040.0140.0200.035101a，解得0.025a.设总共调查n人，

24、则6000.0350.02510n，解得1000n.故总共调查1000人.（2）由频率分布直方图知：1450.02550.04650.14750.20850.35950.25100=0.8070.80，所以该区防疫工作不需要大的调整.（3）0.00210 100020，0.00410 100040，抽样比616010，40,50抽取120210人，设为,a b，50,60抽取140410人，设为,A B C D.从6人中抽取2人共有：ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD，15个基本事件.2 人中仅有一人对防疫工作的评分在40,50内的有aA，

25、aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，8个基本事件.故这 2 人中仅有一人对防疫工作的评分在40,50内的概率815P.【点睛】本题主要考查总人数，频数，概率的求法，同时考查频率分布直方图，列举法等基础知识，属于简单题.20已知等差数列na的前n项和为nS，公差0d，且3550SS，1a，4a，13a第 15 页 共 18 页成等比数列(1)求数列na的通项公式；(2)设nnba是首项为1 公比为 2 的等比数列，求数列nb前n项和nT【答案】（1）21nan；（2）1212nn【解析】1由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此能求出21nan

26、(2111)2,2212nnnnnnnbbana，由此利用错位相减法能求出数列nb前n项和nT【详解】解：(1)等差数列na的前n项和为nS，公差0d，且3550SS，1a，4a，13a成等比数列112111325 4355022312adadadaad，解得132ad1132121naandnn，21nan(2)nnba是首项为1 公比为 2 的等比数列，1112,2212nnnnnnnbbana0121325272212nnTn.123123 25272212212nnnTnn.两式相减得：12 123221212nnnTn第 16 页 共 18 页1212nn【点睛】本题主要考查了等差数

27、列的通项公式，考查等差数列的前n项和，还考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题。21OPQ中，2POQ，4PQ，点 M，N 在边 PQ 上，且6MON.（1）求OPQ面积的最大值；（2）当OPQ面积取得最大值时，求OMN面积的最小值.【答案】（1）4，（2）168 3【解析】（1）根据基本不等式得|OPOQ最大值，再根据三角形面积公式得结果；（2）设点 M 靠近P，且POM，根据正弦定理表示|,|OMON,再根据三角形面积公式建立函数关系式，最后利用三角函数性质求最小值.【详解】（1）因为2POQ，|4PQ，所以222|+|=|16OPOQPQ22|+|2|8OPOQOPOQOPOQ（

28、当且仅当|2 2OPOQ时取等号），因此|412OPQOPQSO,即OPQ面积的最大值为 4；（2）当OPQ面积取得最大值时，|2 2OPOQ，设点 M 靠近P，且0,3POM，则|sin24|,sin()sin()44OPOM|sin24|,sin()sin()4646OPON12sin(2)sin()44|6|OMNNSOMO2223131sin()+sin()cos()1cos(2)+sin(2)242444242第 17 页 共 18 页231sin(2)4262168 33142，当且仅当6时取等号，即OMN面积的最小值为168 3【点睛】本题考查基本不等式求最值、正弦定理、辅助角公

29、式、二倍角正弦与余弦公式，考查综合分析求解能力，属中档题.22 已知数列*nanN的22a，前 n 项和为nS，且2nnnSa对于任意的*nN恒成立.（1）求na的通项公式；（2）记2nnban，且前 m 项和为mT，不等式21mTmm有且仅有两个不同的正整数解，求的取值范围.【答案】（1）22nan；（2）112或952【解析】（1）由1(2)nnnaSSn得出数列na的递推关系，然后用连乘法求得通项公式，验证12,a a也适合此表达式；（2）化简nb，由分组求和法求得mT，观察不等式21mTmm，发现3m时不等式恒成立，因此2m或4m是不等式的另一个整数解，其他的整数m都不是不等式的解，分

30、离参数后通过研究新数列的单调性得出结论【详解】（1）由已知11112Saa，10a，因为2nnnSa，2n时，1112nnnSa，两式相减得11122nnnnnnnaSSaa，1(2)(1)nnnana，当3n时，112nnanan，34223123122(1)122nnnaaanaanaaan，1,2n也适合，所以2(1)nan，*nN；第 18 页 共 18 页（2）由（1）2(1)(2)(2)22nbnnn，(1)(2)2(1)2mm mTm，2(1)22(2)2(2)(3)22mm mTmmmm，不等式21mTmm为22(3)12mmm，3m时，不等式恒成立，在3m时，22123mmm，记21()3mf mmm，222222132(1)()0(1)3(1)3(2)(3)mmmmf mf mmmmmmmmm，在3m时，数列()f m递减，5(4)4f，不等式为2524，2m时，不等式为2322，1m时，不等式为212，因此只要不等式成立，不等式不成立即可不等式不成立时，5m，不等式都不成立，523422，解得112或952【点睛】本题考查由nS与na的关系求数列的通项公式，考查数列不等式有解问题掌握连乘法是求数列通项公式的基础还考查了分组求和法，数列的单调性，考查学生的运算求解能力，分析问题解决问题的能力