1.1定积分背景——面积和路程问题.ppt

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1、不不规则规则的几何的几何图图形可以分割成形可以分割成若干个若干个规则规则的几何的几何图图形来求解形来求解体体现现割割补补思想思想和曲和曲线线 所所围围成的成的图图形称形称为为曲边梯形.曲曲边边梯形：梯形：由直由直线线 魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽的刘徽的这这种研究方法种研究方法对对你有什么启示你有什么启示?思维导航-割圆术割圆术魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽的刘徽的这这种研究方法种研究方法对对你有什么启示你有什么启示?“割之弥细，所失弥少，割

2、之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：刘徽在九章算术注中讲到刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?以“直”代“曲”无限逼近案例探究案例探究 如何求由直线 与抛物线 所围成的平面图形的面积 S？思考：怎思考：怎样样分割？分割？x yO1方案方案1方案方案2为为了了计计算曲算曲边边三角形的面三角形的面积积S，将它分割成，将它分割成许许多小曲多小曲边边梯形梯形对对任意一个小曲任意一个小曲边边梯形，用梯形，用“直直边边”代替代替“曲曲边边”（即在很小范（即在很小范围围内以直代曲），有以下两种方案内以直代曲），有以下两种方案“以直代曲以直代曲”.xoy1(1)将区将区间间0，1平均分成平

3、均分成 5 份，如份，如图图所示。所示。过剩估计值过剩估计值xoy1(2)不足估计值不足估计值xoy1(3)我我们们可以用可以用 或或 近似表示近似表示 S，但是都存在，但是都存在误误差，二者之差差，二者之差为为 ，但是无，但是无论论是用是用 还还是是 来表示曲来表示曲边边梯形的面梯形的面积积，误误差都不会超差都不会超过过0.2，如如图图(3)所示。所示。为减小误差，我们将区间为减小误差，我们将区间0，1 10等分，则等分，则所求面积的过剩估计值为所求面积的过剩估计值为不足估计值不足估计值为为 二者的差值为二者的差值为 ，此时，此时,无无论用论用 还是还是 来表示来表示 S，误差都不超过，误差

4、都不超过 0.1。区间分的越细，误差越小。当所区间分的越细，误差越小。当所分隔的区间长度趋于分隔的区间长度趋于 0，过剩估计值，过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积。和不足估计值都趋于曲边梯形面积。通通过过动动画画演演示示我我们们来来观观察察体体会会，n n越越大大，区区间间分分的的越越细细，过过剩剩估估计计值值和和不不足足估估计计值值就就越越接接近近真真实实值值。为为此，我此，我们让们让n n无限无限变变大，大，这这就是一个无限逼近的就是一个无限逼近的过过程程.点点击击演示演示分割近似代替求和逼近以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：OyxOyxOyxOyx 问题问题2 司机猛司

5、机猛踩踩刹刹车车，汽，汽车车滑行滑行 5s 后停下，此后停下，此过过程中汽程中汽车车的速度的速度 v 是是时间时间 t 的函数：的函数：请请估估计计汽汽车车在刹在刹车过车过程中滑行的距离程中滑行的距离 s。分析：分析：此此时误时误差不超差不超过过：将滑行的将滑行的 5s 平分成平分成 5 份。用份。用 ，近似代替汽近似代替汽车车在在01、12、23、34、45s内内的平均速度，的平均速度，则则滑行距离的滑行距离的过过剩估剩估计值为计值为 ：用用 ，近似代替汽近似代替汽车车在在01、12、23、34、45s内的平均速度，内的平均速度，则则滑行距离的滑行距离的不足估不足估计值为计值为 ：滑行滑行时

6、间时间等分的越等分的越细细，误误差越小。当所分隔的小差越小。当所分隔的小时间时间段段长长度度趋趋于于0，则过则过剩估剩估计值计值和不足估和不足估计值计值都都趋趋于汽于汽车车滑行路程。滑行路程。若将若将 5 秒平分成秒平分成10份，份，则则得到得到过过剩估剩估计值为计值为 ：不足估不足估计值为计值为 ：此此时时，误误差都不超差都不超过过 概括概括 我我们们通通过过“以不以不变变代代变变”的逼近方法解决了求的逼近方法解决了求变变速运速运动动的的问题问题，它，它们们的步的步骤骤：分割、近似代替、求和、无限逼近分割、近似代替、求和、无限逼近 课本78页动手实践曲边梯形的面积和变速运动行驶曲边梯形的面积

7、和变速运动行驶的路程的路程 两个案例两个案例 两种思想两种思想 分割、近似代替、求和、无限逼分割、近似代替、求和、无限逼近近 “以直代曲以直代曲”和和“无限逼近无限逼近”思想思想 四个步四个步骤骤 做做事事业业的的过过程程就就是是在在求求解解一一条条曲曲线线长长度度的的过过程程。每每一一件件实实实实在在在在的的小小事事就就是是组组成成事事业业曲曲线线的的直直线线段段。”想想想想我我们们的的学学习习过过程程、追追求求理理想想的的过过程程又又何何尝尝不不是是这这样样？希希望望大大家家能能用微积分的思想去学习、去做事！用微积分的思想去学习、去做事！西安交大阳光中学数学西安交大阳光中学数学组组 赵红军赵红军