全等三角形难题汇编-资料整理版.doc

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1、1、 （2007 年成都）已知：如图，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。(!)求证：BF=AC；(2)求证：CE=1 2BF；(3)CE 与 BC 的大小关系如何？试证明你的结论。2.（2012内江）已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、C 重合） ，以 AD 为边作菱形 ADEF（A、D、E、F 按逆时针排列） ，使DAF=60， 连接 CF （1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD

2、； （2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成 立？若不成立，请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系3（08 河北中考第 24 题）如图 14-1，在ABC中，BC边在直线l上，ACBC，且AC = BCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）在图 14-1 中， 请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将 EFP沿直线l向左平移到图 1

3、4-2 的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ猜想并写 出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 14-3 的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点Q，连结AP，BQ你认 为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若 不成立，请说明理由4.4.如图如图 1 1、图、图 2 2、图、图 3 3，AOBAOB，CODCOD 均是等腰直角三角形，均是等腰直角三角形，AOBAOBCODCOD9090， （1 1）在图）在图 1 1 中，中，ACAC 与与 BDBD 相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。

4、相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。 （2 2）若）若CODCOD 绕点绕点 O O 顺时针旋转一定角度后，到达图顺时针旋转一定角度后，到达图 2 2 的位置，请问的位置，请问 ACAC 与与 BDBD 还相等还相等 吗，还具有那种位置关系吗？为什么？吗，还具有那种位置关系吗？为什么？（3 3）若）若CODCOD 绕点绕点 O O 顺时针旋转一定角度后，到达图顺时针旋转一定角度后，到达图 3 3 的位置，请问的位置，请问 ACAC 与与 BDBD 还相等还相等 吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形

5、分析：（考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：（1 1）根据等）根据等 腰三角形的两腰相等进行解答腰三角形的两腰相等进行解答 （2 2）证明）证明DOBCOADOBCOA，根据全等三角形的对应边相等进行说明解答：解：（，根据全等三角形的对应边相等进行说明解答：解：（1 1）相）相 等等 在图在图 1 1 中，中，AOBAOB，CODCOD 均是等腰直角三角形，均是等腰直角三角形，AOB=COD=90AOB=COD=90， OA=OBOA=OB，OC=ODOC=OD， 0A-0C=0B-OD0A-0C=0B-OD， AC=BDAC=BD； （2 2）相等）相等 在图在图

6、2 2 中，中，0D=OC0D=OC，DOB=COADOB=COA，OB=OAOB=OA，图 14-1 （E） （F） B C P A l l P A E B C Q F 图 14-2 l B P A 图 14-3 E F Q C DOBCOADOBCOA， BD=ACBD=AC点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在 旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角5 5（20082008 河南）河南） （9 9 分）复习分）复习

7、“全等三角形全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：的知识时，老师布置了一道作业题：“如如图图，已知在，已知在ABCABC中，中，ABAB= =ACAC，P P是是ABCABC内部任意一点，将内部任意一点，将APAP绕绕A A顺时针旋转至顺时针旋转至AQAQ，使，使QAPQAP=BACBAC，连接，连接BQBQ、CPCP，则，则BQBQ= =CPCP ”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了的分析，证明了ABQABQACPACP，从而证，从而证得得BQBQ= =CPCP之后，将点之后，将点P P移到等腰三角形移到等腰三角形ABCABC之外，原题中

8、的条件不变，发现之外，原题中的条件不变，发现“BQBQ= =CPCP”仍然成立，请你就图仍然成立，请你就图给出证明给出证明考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质专题：证明题； 探究型分析：此题的两个小题思路是一致的；已知QAP=BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2 题是加上同 一个角） ，来证得QAB=PAC；而根据旋转的性质知：AP=AQ， 且已知 AB=AC，即可由 SAS 证得ABQACP，进而得出 BQ=CP 的结论解答： 证明：（1）QAP=BAC，QAP-BAP=BAC-BAP，即QAB=CAP； 在BQA 和CPA 中，AQ=AP QAB=CAP AB=AC ，BQ

9、ACPA（SAS） ；BQ=CP（2）BQ=CP 仍然成立，理由如下：QAP=BAC，QAP+PAB=BAC+PAB，即QAB=PAC； 在QAB 和PAC 中，AQ=AP QAB=PAC AB=AC ，QABPAC（SAS） ，BQ=CP点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键 5 5（20092009 山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三中的两张三角形胶片角形胶片ABC和和DEF且且ABCDEF。将这两张三角形胶片的顶点将这两张三角形胶片的顶

10、点B与顶点与顶点E重合，把重合，把DEF绕点绕点B顺时针方向旋转，这时顺时针方向旋转，这时AC与与DF相交于点相交于点O当当DEF旋转至如图旋转至如图位置，点位置，点( )B E，CD，在同一直线上时，在同一直线上时，AFD与与DCA的的数量关系是数量关系是 当当DEF继续旋转至如图继续旋转至如图位置时，位置时， （1 1）中的结论还成立吗？）中的结论还成立吗？AOAO 与与 DODO 存在怎样的数存在怎样的数 量关系？请说明理由量关系？请说明理由 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质专题：探究型分析：（1）根据外角 的性质，得AFD=D+ABC，DCA=A+ABC，从而得出AFD=DCA

11、； （2）成立由ABCDEF，可证明ABF=DEC则ABFDEC，从而证出AFD=DCA；（3）BOAD由ABCDEF，可证得点 B 在 AD 的垂直平分线上，进而证得点 O 在 AD 的垂直平分线上，则直线 BO 是 AD 的垂直平分线，即 BOAD解答：解： （1）AFD=DCA（或相等） （2）AFD=DCA（或成立） ，理由如下： 方法一：由ABCDEF，得 AB=DE，BC=EF（或 BF=EC） ，ABC=DEF，BAC=EDFABC-FBC=DEF-CBF，ABF=DEC在ABF 和DEC 中， AB=DE ABF=DEC BF=EC ABFDEC，BAF=EDCBAC-BAF=

12、EDF-EDC，FAC=CDFAOD=FAC+AFD=CDF+DCA，AFD=DCA方法二：连接 AD同方法一ABFDEC，AF=DC由ABCDEF，得 FD=CAFEDCBA在AFDDCA， AF=DC FD=CA AD=DA AFDDCA，AFD=DCA（3）如图，BOAD 方法一：由ABCDEF，点 B 与点 E 重合， 得BAC=BDF，BA=BD 点 B 在 AD 的垂直平分线上， 且BAD=BDAOAD=BAD-BAC，ODA=BDA-BDF，OAD=ODAOA=OD，点 O 在 AD 的垂直平分线上直线 BO 是 AD 的垂直平分线，BOAD 方法二：延长 BO 交 AD 于点

13、G，同方法一，OA=OD 在ABO 和DBO 中， AB=DB BO=BO OA=OD ABODBO，ABO=DBO在ABG 和DBG 中， AB=DB ABG=DBG BG=BG ABGDBG，AGB=DGB=90BOAD点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长 EB 使得 BG=DF，易证ABGADF（SAS）可得 AF=AG，进而求证AEGAEF 可得 EAG=EAF，再求出EA

14、G+EAF=90即可解题解答：解：延长 EB 使得 BG=DF， 在ABG 和ADF 中， 由 AB=AD ABG=ADF=90 BG=DF ， 可得ABGADF（SAS） ， DAF=BAG，AF=AG， 又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE， AEGAEF（SSS） ， EAG=EAF， DAF+EAF+BAE=90 EAG+EAF=90， EAF=45 答：EAF 的角度为 45点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角 形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG=EAF 是NMEFACBA解题的关键例 2 D 为等腰斜边 AB 的中点，D

15、MDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。Rt ABC （1） 当绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MDN （2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：计算题分析： （1）连 CD，根据等腰直角三角形的性质得到 CD 平分ACB，CDAB，A=45， CD=DA，则BCD=45，CDA=90，由DMDN 得EDF=90，根据等角的余角相等 得到CDE=ADF，根据全等三角形的判定易得DCEADF，即可得到结论； （2）由DCEADF，则 SDCE=SADF，于是四边形 DECF 的面积=SACD，由而 AB=2

16、可得 CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得 SACD，从而得到四边形 DECF 的面 积解答：解：（1）连 CD，如图， D 为等腰 RtABC 斜边 AB 的中点， CD 平分ACB，CDAB，A=45，CD=DA， BCD=45，CDA=90， DMDN， EDF=90， CDE=ADF， 在DCE 和ADF 中，DCE=DAF DC=DA CDE=ADF ， DCEADF， DE=DF； （2）DCEADF， SDCE=SADF， 四边形 DECF 的面积=SACD， 而 AB=2， CD=DA=1， 四边形 DECF 的面积=SACD=1 2 CDDA=1 2 点评：本题考查了旋

17、转的性质：旋转 前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等 于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质6、已知四边形中，ABCDABADBCCDABBC120ABC ，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于60MBN MBNBADDC，EF， 当绕点旋转到时（如图 1） ，易证MBNBAECFAECFEF 当绕点旋转到时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成MBNBAECF 立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写AECF，EF（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDE

18、FMN 出你的猜想，不需证明7（西城 09 年一模）已知:PA=,PB=4,以 AB 为一边作2正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧. (1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长; (2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及 相应APB 的大小.图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还 成立吗？写出例例8 （2005年马尾）年马尾）用两个全等的

19、等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一 个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别 与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转. （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时， （如图131） ， 通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图 132） ，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由. 考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析： （1）利用全等三角形的判定得出ABEACF即可得出答案；

20、 （2）根据已知可以得出BAE=CAF，进而求出ABEACF即可； （3）利用四边形AECF的面积S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC求出 即可解答：解：（1）得出结论是： BE=CF， 证明：BAC=EAF=60，BAC-EAC=EAF-EAC，即：BAE=CAF， 又AB=AC，ABE=ACF=60， BAE=CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEACF（ASA） ，BE=CF，（2）还成立， 证明：BAC=EAF=60，BAC+EAC=EAF+EAC，即BAE=CAF， 又AB=AC，ABE=ACF=60， 即 BAE=CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEA

21、CF（ASA） ，BE=CF，（3）证明：ABEACF，SABE=SACF，四边形AECF的面积S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC； 而SABC=1 2 S菱形ABCD，S=1 2 S菱形ABCD点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键 解：（1）BE=CF. 证明：在ABE 和ACF 中， BAE+EAC=CAF+EAC=60，BAE=CAF.AB=AC，B=ACF=60，ABEACF（ASA）. BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE和ACF 8 8、两个大小不同的等腰直角三角

22、形三角板如图、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 1 所示放置，图所示放置，图 2 2 是由它抽象出的几何是由它抽象出的几何 图形，图形，B B，C C，E E 在同一条直线上，连结在同一条直线上，连结 DCDC （1 1）请找出图）请找出图 2 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ；（2 2）证明：）证明：DCBEDCBE考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：证明题图 1图 2DCEAB分析：（1）此题根据ABC 与AED 均为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明ABEACD；（

23、2）根据（1）的结论和已知条件可以证明 DCBE 解答：证明：（1）ABC 与AED 均为等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=90BAC+CAE=EAD+CAE即BAE=CAD， 在ABE 与ACD 中， AB=ACBAE=CADAE=ADABEACD（2）ABEACD，ACD=ABE=45又ACB=45，BCD=ACB+ACD=90DCBE点评：此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键 是理解题意，得9 9、 正方形正方形 ABCDABCD 中，中，E E 为为 BCBC 上的一点，上的一点，F F 为为 CDCD 上的一点，上的一点，BE+

24、DF=EFBE+DF=EF，求，求EAFEAF 的度数的度数. .FEDCBA考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长 EBEB 使得使得 BG=DFBG=DF，易证，易证ABGADFABGADF（SASSAS）可得）可得 AF=AGAF=AG，进而求证，进而求证AEGAEFAEGAEF 可得可得 EAG=EAFEAG=EAF，再求出，再求出EAG+EAF=90EAG+EAF=90即可解题解答：解：延长即可解题解答：解：延长 EBEB 使得使得 BG=DFBG=DF， 在在ABGABG 和和ADFADF 中

25、，中， 由由 AB=ADAB=AD ABG=ADF=90ABG=ADF=90 BG=DFBG=DF ， 可得可得ABGADFABGADF（SASSAS） ， DAF=BAGDAF=BAG，AF=AGAF=AG， 又又EF=DF+BE=EB+BG=EGEF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AEAE=AE， AEGAEFAEGAEF（SSSSSS） ， EAG=EAFEAG=EAF， DAF+EAF+BAE=90DAF+EAF+BAE=90 EAG+EAF=90EAG+EAF=90， EAF=45EAF=45 答：答：EAFEAF 的角度为的角度为 4545点评：本题考查了正方形各内角均为直角

26、，考查了全等三角点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角 形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG=EAFEAG=EAF 是是 解题的关键解题的关键 7 7、D D 为等腰为等腰斜边斜边 ABAB 的中点，的中点，DMDN,DM,DNDMDN,DM,DN 分别交分别交 BC,CABC,CA 于点于点 E,FE,F。Rt ABC 当当绕点绕点 D D 转动时，求证转动时，求证 DE=DFDE=DF。MDN 若若 AB=2AB=2，求四边形，求四边形 DECFDECF 的面积。的面积。10、如图，

27、已知、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形，求五边形 ABCDE 的的 面积面积考点：全等三角形的判定与性质专题：应用题分析：可延长考点：全等三角形的判定与性质专题：应用题分析：可延长 DE 至至 F，使，使 EF=BC，可得，可得ABCAEF，连，连 AC，AD，AF，可将五边形，可将五边形 ABCDE 的面积转化为的面积转化为 两个两个ADF 的面积，进而求出结论解答：解：延长的面积，进而求出结论解答：解：延长 DE 至至 F，使，使 EF=BC，连，连 AC，AD，AF，AB=CD=AE=BC+DE，ABC=AED=90，CD=EF+DE=DF，在

28、在 RtABC 与与 RtAEF 中，中， AB=AE ABC=AEF BC=EF RtABCRtAEF（SAS） ，AC=AF，FEDCBA在在ACD 与与AFD 中，中， AC=AF CD=DF AD=AD ACDAFD（SSS） ，SABCDE=2SADF=21 2 DF AE=21 2 22=4点评：本题主要考查了点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，应熟练掌握全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，应熟练掌握五、旋转五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.将三角形 ADF

29、绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形 ABG 则 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE，AF=AG， 所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF 又EAF+BAE+DAF=90 所以EAF=45 度 （1）如图 1，现有一正方形 ABCD，将三角尺的指直角顶点放在 A 点处，两条直角边也 与 CB 的延长线、DC 分别交于点 E、F请你通过观察、测量，判断 AE 与 AF 之间的数量 关系，并说明理由 （2）将三角尺沿对角线平移到图 2 的位置，PE、PF 之间有怎样的数量关系，并说明理 由 （3）如果将三角尺旋转到图 3 的位置，

30、PE、PF 之间是否还具有（2）中的数量关系？ 如果有，请说明理由如果没有，那么点 P 在 AC 的什么位置时，PE、PF 才具有（2）中的数量关系 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1）证 明ABEADF 可推出 AE=AF （2）本题要借助辅助线的帮助过点 P 作 PMBC 于 M，PNDC 于 N，证明PME PNF 可推出 PE=PF （3）PE、PF 不具有（2）中的数量关系当点 P 在 AC 的中点时，PE，PF 才具有（2） 中的数量关系解答：解：（1）如图 1，AE=AF理由：证明ABEADF（ASA） （2）如图 2，PE=PF 理由：过点 P

31、 作 PMBC 于 M，PNDC 于 N，则 PM=PN由此可证得PME PNF（ASA） ，从而证得 PE=PF （3）PE、PF 不具有（2）中的数量关系 当点 P 在 AC 的中点时，PE、PF 才具有（2）中的数量关系 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析： （1）证明）证明ABEADF可推出可推出AE=AF （2）本题要借助辅助线的帮助过点）本题要借助辅助线的帮助过点P作作PMBC于于M，PNDC于于N，证明，证明PMEPNF可推出可推出PE=PF（3）PE、PF不具有（不具有（2）中的数量关系

32、当点）中的数量关系当点P在在AC的中点时，的中点时，PE，PF才具有才具有 （2）中的数量关系解答：解：（）中的数量关系解答：解：（1）如图）如图1，AE=AF理由：证明理由：证明ABE ADF（ASA） （2）如图）如图2，PE=PF 理由：过点理由：过点P作作PMBC于于M，PNDC于于N，则，则PM=PN由此可证得由此可证得PME PNF（ASA） ，从而证得，从而证得PE=PF （3）PE、PF不具有（不具有（2）中的数量关系）中的数量关系 当点当点P在在AC的中点时，的中点时，PE、PF才具有（才具有（2）中的数量关系点评：本题考查的是正）中的数量关系点评：本题考查的是正 方形的性质

33、以及全等三角形的判定方形的性质以及全等三角形的判定例例8 （2005年马尾）年马尾）用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一 个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别 与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转. （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时， （如图131） ， 通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图 132） ，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.解：（1）BE=CF. 证明：在AB

34、E 和ACF 中， BAE+EAC=CAF+EAC=60，BAE=CAF.AB=AC，B=ACF=60，ABEACF（ASA）. BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE和ACF 10、用两个全等的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形 ABCD.把一个含 60角的三 角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB、AC 重 合.将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转. （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC、CD 相交于点 E、F 时（如 图所示） ，通过观察或测量 BE、CF 的长度，你能得出什么结论？并证明 你的结

35、论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC、CD 的延长线相交于点 E、F 时（如图所示） ，你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理 由。1111 已知已知AOB=90AOB=90，AOBAOB 的平分线的平分线 OMOM 上有一点上有一点 C C，将一个三角，将一个三角 板的直角顶点与点板的直角顶点与点 C C 重合，它的两条直角边分别与重合，它的两条直角边分别与 OAOA、OBOB 或它们或它们 的反向延长线相交于的反向延长线相交于 D D、E E。 当三角形绕点当三角形绕点 C C 旋转到旋转到 CDCD 与与 OAOA 垂直时（如图垂直时（如图 1 1） ，易证：，易证：CD=CE

36、CD=CE 当三角板绕点当三角板绕点 C C 旋转到旋转到 CDCD 与与 OAOA 不垂直时，在图不垂直时，在图 2 2 图图 3 3 这两种情况下，上述结论是这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。不需证明。3 3、如图，正方形、如图，正方形 ABCDABCD 的边长为的边长为 1 1，G G 为为 CDCD 边上一动边上一动点（点点（点 G G 与与 C C、D D 不重合）不重合） ， 以以 C C 为一边向正方形为一边向正方形ABCDABCD 外作正方形外作正方形 GCEFGCEF，连接，连接 DE

37、DE 交交 BGBG 的延长线于的延长线于 H H。 （1 1）说明：）说明：BCGDCEBCGDCE；（；（2 2）BGBG 与与 CDCD 有何关系？为有何关系？为 什么？（什么？（3 3）将正方形）将正方形 GCEFGCEF 绕点绕点 C C 顺时针旋转，在旋转过顺时针旋转，在旋转过 程中，程中， （1 1） 、 （2 2）中的结论还成立吗？画出一个图形，直）中的结论还成立吗？画出一个图形，直 接回答，不必说明理由。接回答，不必说明理由。 1212 如图如图，点，点 M M 为锐角三角形为锐角三角形 ABCABC 内任意一点，连接内任意一点，连接 AMAM、BMBM、CMCM以以 ABA

38、B 为一边向外作等边三角形为一边向外作等边三角形ABEABE，将，将 BMBM 绕点绕点 B B 逆时针旋转逆时针旋转 6060得到得到 BNBN，连接，连接 ENEN （1 1）求证：）求证：AMBENBAMBENB； （2 2）若）若 AM+BM+CMAM+BM+CM 的值最小，则称点的值最小，则称点 M M 为为ABCABC 的费尔马点若点的费尔马点若点 M M 为为ABCABC 的费尔马的费尔马 点，试求此时点，试求此时AMBAMB、BMCBMC、CMACMA 的度数；的度数； （3 3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形

39、费尔马点的简便方法：如图，分别以，分别以 ABCABC 的的 ABAB、ACAC 为一边向外作等边为一边向外作等边ABEABE 和等边和等边ACFACF，连接，连接 CECE、BFBF，设交点为，设交点为 M M，则，则 点点 M M 即为即为ABCABC 的费尔马点试说明这种作法的依据的费尔马点试说明这种作法的依据M MM MM MA AB BC CD DE EO OA AB BC CD DE EO OO OE ED DC CB BA AE EF FD DA AC CB BG GH HFEDCBAFEDCBA考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：（考点：全等三角形的判定与性质；

40、等边三角形的性质分析：（1 1）结合等边三角形的）结合等边三角形的 性质，根据性质，根据 SASSAS 可证可证AMBENBAMBENB； （2 2）连接）连接 MNMN，由（，由（1 1）的结论证明）的结论证明BMNBMN 为等边三角形，所以为等边三角形，所以 BM=MNBM=MN，即，即 AM+BM+CM=EN+MN+CMAM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当，所以当 E E、N N、M M、C C 四点共线时，四点共线时，AM+BM+CMAM+BM+CM 的值最小，从而可求的值最小，从而可求 此时此时AMBAMB、BMCBMC、CMACMA 的度数；的度数； （3 3）根据（）根据（

41、2 2）中费尔马点的定义，又）中费尔马点的定义，又ABCABC 的费尔马点在线段的费尔马点在线段 ECEC 上，同理也在线段上，同理也在线段 BFBF 上因此线段上因此线段 ECEC 与与 BFBF 的交点即为的交点即为ABCABC 的费尔马点解答：解：（的费尔马点解答：解：（1 1）证明：）证明： ABEABE 为等边三角形，为等边三角形， AB=BEAB=BE，ABE=60ABE=60 而而MBN=60MBN=60， ABM=EBNABM=EBN 又又BM=BNBM=BN， AMBENBAMBENB （2 2）连接）连接 MNMN由（由（1 1）知，）知，AM=ENAM=EN MBN=60

42、MBN=60，BM=BNBM=BN， BMNBMN 为等边三角形为等边三角形 BM=MNBM=MN AM+BM+CM=EN+MN+CMAM+BM+CM=EN+MN+CM 当当 E E、N N、M M、C C 四点共线时，四点共线时，AM+BM+CMAM+BM+CM 的值最小的值最小 此时，此时，BMC=180-NMB=120BMC=180-NMB=120； AMB=ENB=180-BNM=120AMB=ENB=180-BNM=120； AMC=360-BMC-AMB=120AMC=360-BMC-AMB=120 （3 3）由（）由（2 2）知，）知，ABCABC 的费尔马点在线段的费尔马点在线段 ECEC 上，同理也在线段上，同理也在线段 BFBF 上上 因此线段因此线段 ECEC 与与 BFBF 的交点即为的交点即为ABCABC 的费尔马点点评：本题考查全等三角形的判定与的费尔马点点评：本题考查全等三角形的判定与 性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大13 如图，正方形如图，正方形中，中，求证：求证：ABCDFADFAE BEDFAEFEDCBA