《几何与代数》 科学出版社 第一章 行列式和线性方程组的求解4.ppt

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1、教学内容和基本要求教学内容和基本要求 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解教教 学学 内内 容容学时数学时数课件课件 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 111-161.2 n阶行列式阶行列式 116-281.3 行列式的性质和计算行列式的性质和计算41.4 线性方程组的求解线性方程组的求解 2趣味思考题趣味思考题 一摆渡人欲将一只狼一摆渡人欲将一只狼,一头羊一头羊,一篮菜从河西一篮菜从河西渡过河到河东渡过河到河东.由于船小由于船小,一次只能带一物过一次只能带一物过河，并且狼与羊河，并且狼与羊,羊与菜不能独处羊与菜不能独处.你能给出几种给出渡河方法？你能给出几种

2、给出渡河方法？哪种方法的渡河次数最少呢？哪种方法的渡河次数最少呢？古代谜题古代谜题 一摆渡人欲将一只狼一摆渡人欲将一只狼,一头羊一头羊,一篮菜从一篮菜从河西渡过河到河东河西渡过河到河东.由于船小由于船小,一次只能带一物过一次只能带一物过河，并且狼与羊河，并且狼与羊,羊与菜不能独处羊与菜不能独处.给出渡河方法给出渡河方法.解解：用：用四维四维0-10-1向量表示向量表示(人人,狼狼,羊羊,菜菜)在河在河西岸的状态西岸的状态(在河西岸则分量取在河西岸则分量取1,1,否则取否则取0),0),共有共有24=16 种状态种状态.在河东岸的状态类似记作在河东岸的状态类似记作.由题设由题设,状态状态(0,1

3、,1,0),(0,0,1,1),(0,1,1,1)是不允许的是不允许的,从从而对应状态而对应状态(1,0,0,1),(1,1,0,0),(1,0,0,0)也也是不允许的是不允许的.以可以可允许的允许的10个个状态状态向量作为顶点向量作为顶点,将可能互将可能互相转移的状态用线段连接起来构成一个图相转移的状态用线段连接起来构成一个图.根据此图便可找到根据此图便可找到渡河方法渡河方法.(1,1,1,1)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,1,0)(0,0,0,0)(0,0,0,1)(0,0,1,0)(0,1,0,0)(0,1,0,1)(0,1,0,1)(0,1,0,0)(

4、0,0,1,0)(0,0,0,1)(0,0,0,0)(1,0,1,0)(1,0,1,1)(1,1,0,1)(1,1,1,0)(1,1,1,1)河西河西=(=(人人,狼狼,羊羊,菜菜)河东河东=(=(人人,狼狼,羊羊,菜菜)将将10个顶点分别记为个顶点分别记为A1,A2,A10,则则渡河问题化为在该图中求一条从渡河问题化为在该图中求一条从A1到到A10的的路路.从图中易得到两条从图中易得到两条路路：A1 A6 A3 A7 A2 A8 A5 A10;A1 A6 A3 A9 A4 A8 A5 A10.A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10现代谜题现代谜题 （据说是微软的面试题哦！）（据说是微软的

5、面试题哦！）u有有 4 4 个个女女人人要要过过一一座座桥桥。她她们们都都站站在在桥桥的的某某一一边边，要要让她们在让她们在 17 17 分钟分钟内全部通过这座桥。内全部通过这座桥。u这这时时是是晚晚上上。她她们们只只有有一一个个手手电电筒筒。最最多多只只能能让让两两个个人人同同时时过过桥桥，且且必必须须要要带带着着手手电电筒筒。手手电电筒筒必必须须要要传传来来传去，不能扔过去。传去，不能扔过去。u每每个个女女人人过过桥桥的的速速度度不不同同(甲甲乙乙丙丙丁丁分分别别需需要要1,2,5,101,2,5,10分钟分钟)，两个人的速度必须以较慢的那个人的速度过桥。，两个人的速度必须以较慢的那个人的

6、速度过桥。u怎样让这怎样让这4 4个女人在个女人在 17 17 分钟内过桥？分钟内过桥？u还有其他方法吗？还有其他方法吗？1.甲乙甲乙2；2.甲甲1；3.丙丁丙丁10；4.乙乙2；5.甲乙甲乙2线性方程组的分类线性方程组的分类 齐次线性方程组齐次线性方程组(b=0)非齐次线性方程组非齐次线性方程组(b 0)线性方程组的解线性方程组的解 无解无解 有解有解(不相容不相容)(相容相容)唯一解唯一解 无穷多解无穷多解(通解通解)a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+amnxn=bm 1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解

7、线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 线性方程组：线性方程组：高斯消元法：高斯消元法：初等变换列向量列向量系数系数系数系数矩阵矩阵矩阵矩阵增广矩阵增广矩阵增广矩阵增广矩阵第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解 高斯高斯(Gauss)消元法消元法 公元前公元前1世纪世纪,九章算术九章算术:初等行变换初

8、等行变换初等行变换初等行变换 相当于相当于相当于相当于高斯消元法高斯消元法高斯消元法高斯消元法 (高斯高斯高斯高斯-若当方法若当方法若当方法若当方法)Gauss德德(17771777 18551855)Jordan法法 (18381838 19221922)三三.线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换 2x1 3x2+4x3=4 x1+2x2 x3=3 2x1+2x2 6x3=2 x1+2x2 x3=3 2x1 3x2+4x3=4 x1+x2 3x3=1 x1+2x2 x3=3 x2+2x3=2 x2 2x3=2 2 2 (1)1)x1+2x2 x3=3 x2+2x3=2 0=0 1/2 1

9、/2 1 1 换法变换换法变换 倍法变换倍法变换 消法变换消法变换 阶梯形方程组阶梯形方程组 1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 x1 5x3=1 x2+2x3=2 0=0 x1+2x2 x3=3 x2+2x3=2 0=0 阶梯形方程组阶梯形方程组 (2)2)x1=5x3+1x2=2x3 2 x3=x3(任意任意)最简形方程组最简形方程组 由由最简形最简形方程组可方程组可读出读出原方程组的通解原方程组的通解 第三

10、章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 3.1 3.1 线性方程组和高斯消元法线性方程组和高斯消元法线性方程组和高斯消元法线性方程组和高斯消元法 四四.矩阵的初等变换矩阵的初等变换 2 2x x1 1 3 3x x2 2+4+4x x3 3=4 4 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3=3 3 2 2x x1 1+2+2x x2 2 6 6x x3 3=2 2 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3=3 3 2 2x x1 1 3 3x x2 2+4+4x x3 3=4=4 x x1 1+x x2 2 3 3x x3 3=1 1 x x1 1+2+2x

11、 x2 2 x x3 3=3 3 x x2 2+2+2x x3 3=2 2 x x2 2 2 2x x3 3=2 2 2 2 (1)1)x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3=3 3 x x2 2+2+2x x3 3=2 2 0 0=0 0 1/2 1/2 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 1 2 1 2 1 1 3 3 2 2 2 2 6 6 2 2轻轻轻轻装装装装上上上上阵阵阵阵 1 2 1 2 1 1 3 3 2 2 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 3 3 1 1 1/2 1/2 1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 1 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2

12、 2 2 2 (1)1)1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 增增增增广广广广矩矩矩矩阵阵阵阵的的的的 初初初初等等等等行行行行变变变变换换换换阶梯形方程组阶梯形方程组阶梯形方程组阶梯形方程组 阶梯形矩阵阶梯形矩阵阶梯形矩阵阶梯形矩阵 1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 x1 5x3=1 x2+2x3=2 0=0 x1+2x2 x3=3 x2+2x

13、3=2 0=0 阶梯形方程组阶梯形方程组 (2)2)x1=5x3+1x2=2x3 2 x3=x3(任意任意)最简形方程组最简形方程组 1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 阶梯形阶梯形阶梯形阶梯形矩阵矩阵矩阵矩阵 行简化行简化行简化行简化阶梯形阶梯形阶梯形阶梯形矩阵矩阵矩阵矩阵 1 0 1 0 5 5 1 1 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 3.1 3.1 线性方程组和高斯消元法线性方程组和高斯消元法线性方程组和高斯消元法线性方程组和高斯

14、消元法 由由由由最简形最简形最简形最简形方程组可方程组可方程组可方程组可读出读出读出读出原方程组的通解原方程组的通解原方程组的通解原方程组的通解 1.矩阵的矩阵的初等行变换初等行变换 初等列变换初等列变换:把上述定义中的把上述定义中的“行行”换成换成“列列”(相应的记号是把相应的记号是把“r”换成换成“c”).初等行变换与初等列变换统称为初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换.(1)对调两行对调两行 ri rj(2)以非零的数以非零的数k乘以第乘以第i行行,记为记为ri k(3)把第把第j行的的行的的k倍加到第倍加到第i行上去行上去,记为记为ri+krj 注：注：求解线性方程组时，求解线

15、性方程组时，只能用只能用矩阵的矩阵的初等行变换初等行变换 来而来而不能夹杂初等列变换不能夹杂初等列变换.1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 r(A)=3r(A)=41 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 01 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0 2 30 0 0 0 42.阶梯形矩阵与行简化阶梯阵阶梯形矩阵与行简化阶梯阵1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程

16、组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 称称A中中非零行的行数非零行的行数为为A的的阶梯数阶梯数,记为记为 r(A).A为为阶梯形矩阵阶梯形矩阵(简称简称阶梯阵阶梯阵)(echelon form)若若A有零行有零行(元素全为零的行元素全为零的行),则零行位于则零行位于 最下方最下方;非零行的非零首元非零行的非零首元(自左至右第一个不为零的元自左至右第一个不为零的元,称为主元称为主元)的列标随行标的递增而递增的列标随行标的递增而递增.A为为阶梯形矩阵阶梯形矩阵(简称简称阶梯

17、阵阶梯阵)若若A有零行有零行,则零行位于最下方则零行位于最下方;主元主元的列标随行标的递增而递增的列标随行标的递增而递增.A为为行简化阶梯阵行简化阶梯阵(reduced row echelon form)(rref)各非零首元各非零首元(主元主元)全为全为1,主元所在的列主元所在的列(称为称为主列主列)除除1外其余元素全为外其余元素全为0.不是不是rref单位列向量单位列向量是是rref1 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 01 0 1 0 10 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 0 0001.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求

18、解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 2.阶梯形矩阵与行简化阶梯阵阶梯形矩阵与行简化阶梯阵 阶梯形阶梯形线性方程组的有三中基本类型线性方程组的有三中基本类型2x1+3x2 x3=1 2x2+x3=2 0=1 x1 x2+2x3=8 2x2 +x3=1 x3=5 x1+2x2+x3+x4=2 x3+4x4=3无解无解有唯一解有唯一解有无穷多解有无穷多解1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式

19、和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 3.阶梯阵的形状与线性方程组的解阶梯阵的形状与线性方程组的解2x1+3x2 x3=1 2x2+x3=2 0=1 x1 x2+2x3=8 2x2 +x3=1 x3=5 x x1 1+2+2x x2 2+x x3 3+x x4 4=2 2 x x3 3+4+4x x4 4=3 3 0 0=0=0无解无解 有唯一解有唯一解 有无穷多解有无穷多解 2 2 3 3 4 4 1 1 0 2 0 2 1 1 2 20 0 0 0 0 0 1 11 1 1 1 2 2 8 8 0 2 0 2 1 1 1 10 0 0

20、0 1 1 5 51 21 2 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 1 1 4 4 3 30 0 0 0 0 00 0 0 0解的情况解的情况 Ax=bAx=b(A,b)(A,b)r2=r1+1 r2=r1=3 r2=r1 4 r1=r(A)r2=r(A,b)1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 注注1:用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都可任何一个矩阵都可经过经过有限次有限次初等初等行行变

21、换化为变换化为行简化行简化阶梯阵阶梯阵.注注2:初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换两个线性方程组两个线性方程组同解同解.注注3:可由可由初等行变换初等行变换将增广矩阵化为将增广矩阵化为阶梯阵阶梯阵，再再由阶梯阵的形状来判别由阶梯阵的形状来判别原线性方程组原线性方程组Ax=b 的的解的情况解的情况.1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 4.线性方程组的相容性线性方程组的相容性 命题命题.设设A Rm n,b R

22、m,r1=r(A),r2=r(A,b),则则(1)当当r2=r1+1 时时,Ax=b无解无解;(2)当当 r2=r1=n 时时,Ax=b有有唯一解唯一解;(3)当当r2=r1 n 时时,Ax=b有有无穷多解无穷多解,且且通通解解中含有中含有 n r1个自由未知量个自由未知量.问题：问题：不同的不同的初等行变换所得到的阶梯阵初等行变换所得到的阶梯阵的的阶梯数阶梯数会不会不同会不会不同呢？呢？必相同。要由第二章矩阵的秩和第四章向量组必相同。要由第二章矩阵的秩和第四章向量组的线性相的线性相(无无)关性来严格证明关性来严格证明.1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组

23、的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 注注2:当方程组有当方程组有无穷多解无穷多解时，时，自由未知量不是自由未知量不是任意选取的任意选取的，一般取，一般取非主列对应的变量非主列对应的变量为自由为自由未知量未知量.(A,bA,b)初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 行行行行阶阶阶阶梯梯梯梯阵阵阵阵r r(A A)=)=r r(A,bA,b)?)?行行行行最最最最简简简简形形形形无解无解无解无解N N初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 Y Y(1)当当r(A,b)=r(A)+1时

24、时,Ax=b无解无解;(2)当当r(A,b)=r(A)=n时时,Ax=b有唯一解有唯一解;(3)当当r(A,b)=r(A)n时时,Ax=b有无穷多解有无穷多解,且通解中含有且通解中含有n r(A)个自由未知量个自由未知量.4.线性方程组的相容性线性方程组的相容性 无穷多无穷多无穷多无穷多解解解解时时时时确确确确定自由定自由定自由定自由变量变量变量变量;求通解求通解求通解求通解.例例4.设有线性方程组设有线性方程组问问 为何值时为何值时,此此方程组方程组(1)有有唯一解唯一解;(2)无解无解;(3)有有无穷多解无穷多解?并在有并在有无穷多解无穷多解时求其时求其通解通解.解解:对增广矩阵对增广矩阵

25、(A,b)作初等作初等行行变换变换,化为阶梯化为阶梯阵阵.r1 r3r2 r1r3 (1+1+)r11 1 1 1+1 1+0 0 3 3 0 0 (2+(2+)(1+(1+)1+1+1 1 1 1 0 0 1 1+1 1+1 1 3 3 1 1 1 1+1 1+(A A,b b)=)=1 1 1 1+1 1+1 1+1 1+1 1 3 31+1+1 1 1 1 0 01.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1 1

26、1 1+1 1+0 0 3 3 0 0 (2+(2+)(1+(1+)1 1 1 1+1 1+0 0 3 3 0 0 0 0 (3+(3+)(1(1 )(3+)(3+)r3+r2(1)当当 (3+)0时时,方程组无解方程组无解;(2)当当 (3+)=0(1 )(3+)0时时,即即 0且且 3时时,方程组有唯一解方程组有唯一解;即即 =0时时,方程组有无方程组有无 穷多解穷多解.(3)当当 (3+)=0(1 )(3+)=0时时,即即 =3时时,1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线

27、性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1 1 1 1 2 2 3 30 1 0 1 1 1 2 20 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 1 1 1 10 1 0 1 1 1 2 20 0 0 0 0 0 0 0原方程组相应化为原方程组相应化为 x1 x3=1 x2 x3=2当当 =3时时,1/31/3 r2r1 r2 1 1 1 1 2 2 3 30 0 3 33 3 6 60 0 0 0 0 0 0 0=1 1 1 1+1 1+0 0 3 3 0 0 0 0 (3+(3+)(1(1 )(3+)(3+)1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组

28、的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 x1 =1+x3 x2=2+x3 方程组的通解为方程组的通解为其中其中x3是自由未知量是自由未知量1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解 二二二二.克拉默法则：克拉默法则：克拉默法则：克拉默法则：|A|A|0 0时时时时AxAx=b b有唯一解有唯一解有唯一解有唯一解x xj j =D Dj j/|/|A|,j=1,nA|,j=1,n三三三三.GaussGauss 消元法与方程组的初等变换消元法与方程组的初等变换消元法与方程组的初等

29、变换消元法与方程组的初等变换第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解一一一一.矩阵与向量矩阵与向量矩阵与向量矩阵与向量1.1.矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换 2.阶梯阵与行简化阶梯阵阶梯阵与行简化阶梯阵 3.阶梯数与线性方程组的解阶梯数与线性方程组的解 五五.齐次线性方程组有非零解的充分条件齐次线性方程组有非零解的充分条件 ri rj,ri k,ri+krj主元为主元为1，主列为，主列为ejr2=r1+1 无解无解 r2=r1=n 唯一解唯一解 r2=r1 n 无穷多解无穷多解 求解时化成求解时化成 rref,取非主列对应的变量为自由变量取非主列对应的变量为自由变量.四

30、四.矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0,它必然有一组它必然有一组零解零解 x1=x2=xn=0,若有一组若有一组不全为不全为零零的数构成的数构成Ax=0的的解解,则则称之为称之为Ax=0的的非非零解零解.1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 五五.齐次线性方程组有非零解的充分条件齐次线性方程组有非零解的充分条件 线性方程组的相容性线性方程组的相容性 命题命题.设设A Rm n,b

31、 Rm,则则(1)当当r(A,b)=r(A)+1时时,Ax=b无解无解;(2)当当r(A,b)=r(A)=n时时,Ax=b有唯一解有唯一解;(3)当当r(A,b)=r(A)n时时,Ax=b有无穷多解有无穷多解,且通解中含有且通解中含有n r(A)个自由未知量个自由未知量.推论推论.设设A Rm n,则则(1)当当r(A)=n时时,Ax=0只有零解只有零解;(2)当当r(A)n时时,Ax=0有非零解有非零解,且通解中且通解中含有含有n r(A)个自由未知量个自由未知量.1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式

32、和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 推论推论.设设A Rm n,则则(1)当当r(A)=n时时,Ax=0只有零解只有零解;(2)当当r(A)n时时,Ax=0有非零解有非零解,且通解中且通解中含有含有n r(A)个自由未知量个自由未知量.1.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 定理定理 1.4 设设A Rm n,当当 m n 时时,则齐次线性方程则齐次线性方程组组

33、Ax=0 有非零解有非零解.推论推论1.4a.设设A Rn n,若齐次线性方程组若齐次线性方程组Ax=0的的 系数行列式系数行列式|A|0,则它则它只有零解只有零解.推论推论1.4b.设设A Rn n,若若Ax=0有非零解有非零解，则，则|A|=01.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 定理定理1.3 设设A Rn n,|A|0时时Ax=b有唯一解有唯一解 xj=Dj/|A|,j=1,n.命题命题.设设A Rn n,

34、若若|A|=0，则，则 Ax=有非零有非零解解.上三角形方阵上三角形方阵 的行列式的行列式 的主对角线至少有一个元素为的主对角线至少有一个元素为0则则 x=有非零解有非零解.即即Ax=有非零解有非零解.推论推论1.4b.设设A Rn n,若若Ax=0有非零解有非零解，则，则|A|=01.4 1.4 1.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解线性方程组的求解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 命题命题.设设A Rn n,若若|A|=0，则，则 Ax=有非零有非零解解.上三角形方阵上三角形

35、方阵 的行列式的行列式 的主对角线至少有一个元素为的主对角线至少有一个元素为0则则 x=有非零解有非零解.即即Ax=有非零解有非零解.定理定理1.5.设设A Rn n,则则Ax=0有非零解有非零解|A|=0定理定理 1.4 设设A Rm n,当当 m n 时时,则齐次线则齐次线性方程组性方程组 Ax=0 有非零解有非零解.3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法 第三章第三章第三章第三章 矩阵的相抵变换和秩矩阵的相抵变换和秩矩阵的相抵变换和秩矩阵的相抵变换和秩 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 例例5.解齐次线性方程组解齐次线性方程组 x1 x2 3x3 +x4=0 2x1 2x2 5

36、x3 +3x4=0 4x1 4x2+3x3+19x4=0 x1 x2 2x3 +2x4=0 解解:x1=c1 4c2,x3=c2,x2=c1,x4=c2.c1,c2 R1.1.矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换 2.阶梯阵与行简化阶梯阵阶梯阵与行简化阶梯阵 3.阶梯数与线性方程组的解阶梯数与线性方程组的解 齐次线性方程组有非零解的充分条件齐次线性方程组有非零解的充分条件 ri rj,ri k,ri+krj主元为主元为1，主列为，主列为ejr2=r1+1 无解无解 r2=r1=n 唯一解唯一解 r2=r1 n 无穷多解无穷多解 r(A)n m第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式

37、和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 0.5-0.42-0.08 0.5-0.42-0.08 0.5-0.42-0.08 0.5-0.42-0.08 ans=ans=ans=ans=1.3878e-017 1.3878e-017 1.3878e-017 1.3878e-017 0.5-0.08-0.42 0.5-0.08-0.42 0.5-0.08-0.42 0.5-0.08-0.42 ans=ans=ans=ans=0 0 0 0 0.5-sym(0.42)-0.08 0.5-sym(0.42)-

38、0.08 0.5-sym(0.42)-0.08 0.5-sym(0.42)-0.08 ans=ans=ans=ans=0 0 0 0 sym(0.5-0.42-0.08)sym(0.5-0.42-0.08)sym(0.5-0.42-0.08)sym(0.5-0.42-0.08)ans=ans=ans=ans=2(-56)2(-56)2(-56)2(-56)第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 三三.矩阵的输入矩阵的输入 a=1,2,3 a=1,

39、2,3%输入完这一行输入完这一行,按回车键按回车键 a=a=1 2 3 1 2 3 X_DataX_Data=2.3 3.4;4.3 5.9=2.3 3.4;4.3 5.9%2%2阶方阵阶方阵 X_DataX_Data=2.3000 3.4000 2.3000 3.4000 4.3000 5.9000 4.3000 5.9000 clear clear%清除以上输入的变量清除以上输入的变量 clcclc%清屏幕清屏幕 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解

40、题解题解题 Matrix_BMatrix_B=1 2 3;=1 2 3;Matrix_BMatrix_B=1 2 3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 3 4 5 2 3 4;3 4 52 3 4;3 4 51 21 2；3 43 4?1 2?1 2；3 4 3 4|Error:The input character is not validError:The input character is not valid 智能智能ABC输入法输入法5.0版的几种输入状态版的几种输入状态 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解

41、行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 四四.计算行列式计算行列式 det(1,2;3,4)det(1,2;3,4)%行列式行列式 det(1,2;3,4)det(1,2;3,4)%行列式行列式 ansans=-2 -2 det(1,2;3,4)det(1,2;3,4)%行列式行列式 ansans=-2 -2 A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;D=A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;D=det(Adet(A)D=D=0 0 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性

42、方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 det(1,2;3,4)det(1,2;3,4)%行列式行列式 det(1,2;3,4)det(1,2;3,4)%行列式行列式 ansans=-2 -2 det(1,2;3,a)det(1,2;3,a)?Undefined function or variable a.=?Undefined function or variable a.=?Undefined function or variable a.=?Undefined function or variable a.=symssyms a,a,%定义定义a

43、 a为符号变量为符号变量 ansans=a-6 a-6 det(1,2;3,a)det(1,2;3,a)第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 五五.用用Cramer法则解线性方程组法则解线性方程组 例例13.求方程组求方程组 的解的解.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 a_1=5;1;0;0

44、;0;a_2=6;5;1;0;0;a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0;a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1;a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1;a_5=0;0;0;6;5;a_5=0;0;0;6;5;b b=1;0;0;0;1;=1;0;0;0;1;D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5);D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5);D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5);D=det(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5);D_1=det(D_1=det(D_1=det(D_1=det(b b b

45、b,a_2,a_3,a_4,a_5);,a_2,a_3,a_4,a_5);,a_2,a_3,a_4,a_5);,a_2,a_3,a_4,a_5);D_2=det(a_1,D_2=det(a_1,D_2=det(a_1,D_2=det(a_1,b b b b,a_3,a_4,a_5);,a_3,a_4,a_5);,a_3,a_4,a_5);,a_3,a_4,a_5);D_3=det(a_1,a_2,D_3=det(a_1,a_2,D_3=det(a_1,a_2,D_3=det(a_1,a_2,b b b b,a_4,a_5);,a_4,a_5);,a_4,a_5);,a_4,a_5);D_4=d

46、et(a_1,a_2,a_3,D_4=det(a_1,a_2,a_3,D_4=det(a_1,a_2,a_3,D_4=det(a_1,a_2,a_3,b b b b,a_5);,a_5);,a_5);,a_5);D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,D_5=det(a_1,a_2,a_3,a_4,b b b b););););x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D;x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D;x_1

47、=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D;x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D;x_5=D_5/D;x_5=D_5/D;x_5=D_5/D;x_5=D_5/D;format format format format rat,Xrat,Xrat,Xrat,X=x_1,x_2,x_3,x_4,x_5=x_1,x_2,x_3,x_4,x_5=x_1,x_2,x_3,x_4,x_5=x_1,x_2,x_3,x_4,x_5%有理输出有理输出有理输出有理输出X=X=1507/665 -229/133 37/35 -79/133 21

48、2/665 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题%我们也可以编写如下程序来解上述方程组我们也可以编写如下程序来解上述方程组%我们也可以编写如下程序来解上述方程组我们也可以编写如下程序来解上述方程组 a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0;a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0;a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1;a

49、_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1;a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1;a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1;第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.5 1.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题%我们也可以编写如下程序来解上述方程组我们也可以编写如下程序来解上述方程组 a_1=5;1;0;0;0;a_2=6;5;1;0;0;a_3=0;6;5;1;0;a_4=0;0;6;5;1;a_5=0;0;0;6;5;b=1;0;0;0;1;A=A=sym

50、(sym(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 a_1,a_2,a_3,a_4,a_5););D=D=det(Adet(A););%sym%sym 为把数字转化为字符计算，结果比为把数字转化为字符计算，结果比为把数字转化为字符计算，结果比为把数字转化为字符计算，结果比format ratformat rat精确精确精确精确%symssyms 为定义符号变量为定义符号变量为定义符号变量为定义符号变量 X=;X=;%空矩阵空矩阵空矩阵空矩阵 forfor i=1:5 i=1:5 A=sym(sym(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5);A(:,iA(:,i)=)=b;Xb;X=sym(sym