《几何与代数》 科学出版社 第一章 行列式和线性方程组的求解2.ppt

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1、教学内容和基本要求教学内容和基本要求 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解教教 学学 内内 容容学时数学时数课件课件 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 111-161.2 n阶行列式阶行列式 116-281.3 行列式的性质和计算行列式的性质和计算41.4 线性方程组的求解线性方程组的求解 21.1-2 方阵的行列式方阵的行列式 一一.二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组与二阶行列式 三三.排列的逆序数与奇偶性排列的逆序数与奇偶性 四四.n阶行列式的定义阶行列式的定义 二二.三阶行列式的特点三阶行列式的特点|A|:Rnn R第一章第一章 行列式和线性方程组

2、的求解行列式和线性方程组的求解=|A|3.行列式按行行列式按行(列列)展开展开 二二.行列式的主要计算方法行列式的主要计算方法 1.2 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 一一.行列式的性质行列式的性质 2.箭形行列式的计算箭形行列式的计算 1.化为三角形化为三角形行列式行列式 4.降阶递推法降阶递推法 5.分解行列法分解行列法 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解趣味思考题趣味思考题一一.试证试证明在二明在二明在二明在二维维平面上，平面上，平面上，平面上，2 2阶阶行列式行列式行列式行列式 的的的的绝对值绝对值是以是以是以是以 =(a a1111,a a2121)

3、,),=(a a1212,a a2222)为邻边为邻边的平行四的平行四的平行四的平行四边边形的面形的面形的面形的面积积。提示：在二提示：在二维平面上，平面上，=(a a1111,a a2121)=(a a1212,a a2222)(1)(1)试计试计算算算算 =(a a1212,a a2222)=)=(a a1111,a a2121)时时的平行四的平行四的平行四的平行四边边形面形面形面形面积积；(3)(3)试说试说明明明明 与与与与D D的关系；的关系；的关系；的关系；(2)(2)试说试说明明明明 与与与与D D的关系；的关系；的关系；的关系；趣味思考题趣味思考题一一.试证试证明在二明在二明在

4、二明在二维维平面上，平面上，平面上，平面上，2 2阶阶行列式行列式行列式行列式 的的的的绝对值绝对值是以是以是以是以 =(a a1111,a a2121),),=(a a1212,a a2222)为邻边为邻边的平行四的平行四的平行四的平行四边边形的面形的面形的面形的面积积。=(a a1111,a a2121)=(a a1212,a a2222)证明：明：趣味思考题趣味思考题一一.试证试证明在二明在二明在二明在二维维平面上，平面上，平面上，平面上，2 2阶阶行列式行列式行列式行列式 的的的的绝对值绝对值是以是以是以是以 =(a a1111,a a2121),),=(a a1212,a a2222

5、)为邻边为邻边的平行四的平行四的平行四的平行四边边形的面形的面形的面形的面积积。=(a a1111,a a2121)=(a a1212,a a2222)(1)(1)试计试计算算算算 =(a a1212,a a2222)=)=(a a1111,a a2121)时时的平行四的平行四的平行四的平行四边边形面形面形面形面积积；(3)(3)试说试说明明明明 与与与与D D的关系；的关系；的关系；的关系；(2)(2)试说试说明明明明 与与与与D D的关系；的关系；的关系；的关系；平行四平行四平行四平行四边边形退化成一条形退化成一条形退化成一条形退化成一条线线段，面段，面段，面段，面积为积为0.0.(,)逆

6、时针方向为正，顺序针方向为负逆时针方向为正，顺序针方向为负若若(,)逆时针方向为正逆时针方向为正则则(,)顺时针方向为负顺时针方向为负D D2 2=D Da11 a12a21 a22 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 =a11a22 a12a21行列式的几何含义行列式的几何含义 =(a a1111,a a2121)=(a a1212,a a2222)

7、=以以,为邻边的平行四边形的为邻边的平行四边形的有向有向面积面积其中其中(,)逆时针方向为正，顺序针方向为负逆时针方向为正，顺序针方向为负 =以以,为邻边的为邻边的平平行六面体的行六面体的有向有向体积体积,构成右手法则体积构成右手法则体积构成右手法则体积构成右手法则体积为正，左手法则体积为负为正，左手法则体积为负为正，左手法则体积为负为正，左手法则体积为负n阶行列式就是n个n维向量构成的平行多面体的有向体积。第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质

8、 a31 a32 a33 a21 a22 a23 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33=第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 a31 a32 a33 a21 a22 a23 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 性质性质2.互换互换行列式中的两行行列式中的两行

9、(列列),值变号值变号.=a31 a32 a33 a21 a22 a23 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a13 a12 a11 a23 a22 a21 a33 a32 a31 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 列列(column)行行(row)|AT|=|A|第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 3 2 1 0 1 5 6 2 0 1 7 3

10、 3 2 1 0 例例2.=_.3 2 1 0 1 5 6 2 0 1 7 3 3 2 1 0 3 2 1 0 1 5 6 2 0 1 7 3 3 2 1 0=推论推论.若行列式若行列式D中有两行中有两行(列列)完全完全相同相同,则则D=0.0第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 a11 a12 a1n ka21 ka22 ka2n an1 an2 anna11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 性质性质3.行列式

11、的行列式的某一行某一行(列列)的公因子可以的公因子可以 提到行列式记号外提到行列式记号外.=k第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 性质性质3.行列式的行列式的某一行某一行(列列)的公因子可以的公因子可以 提到行列式记号外提到行列式记号外.ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kan1 kan2 kanna11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann=_.kn a11 a12 a1n a21 a22

12、 a2n an1 an2 ann=(1)n a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 6 4 2 0 1 5 6 2 0 1 7 3 3 2 1 0 例例3.=_.3 2 1 0 1 5 6 2 0 1 7 3 3 2 1 0=2 性质性质4.若行列式若行列式D中有中有两行两行(列列)成比例成比例,则则D=0.0推论推论.若行列式若行列式D中有某中有某行行(列列)全为全为0,则则

13、D=0.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 a11+b11 a12 a1n a21+b21 a22 a2n an1+bn1 an2 ann第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 a11+b11 a12 a1n a21+b21 a22 a2n an1+bn1 an2 annb11 a12 a1n

14、b21 a22 a2n bn1 an2 ann+.a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann=第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 性质性质5.行列式可按行列式可按某一行某一行(列列)拆成拆成两个行列两个行列 式之和式之和.a+u b+v c+x d+y=.+a b c d(A)u v x y 例例4.+u b x d(B)u v x y+a b c d a v c y+a b+vc d+yu b+v x d+y=+

15、(B)第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 例例5.a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 k a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31+ka11 a32+ka12 a33+ka13=a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33+0=a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33+a11 a12 a13 a21 a22 a23 ka11 ka12 k

16、a13=第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 例例5.性质性质6.将行列式中将行列式中某一行某一行(列列)的的k倍加到另倍加到另 一行一行(列列),所得的行列式与原行列式所得的行列式与原行列式 的的值相等值相等.a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 k a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31+ka11 a32+ka12 a33+ka13=变化行变化行参照行参照行=1.3 1.3 行列式的性质及计

17、算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 性质性质4 4 性质性质5 5 性质性质6 6 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 性质性质1|AT|=|A|性质性质2 2 性质性质3 3 二二.行列式的主要计算方法行列式的主要计算方法 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 一一.行列式的性质行列式的性质 1.化为三角形化为三角形行列式行列式|AT|=|A|.3.行列式按行行列式按行(列列)展开展开 2.箭形行列式的计算箭形行列式的计算 4.降阶递推法降阶递推法 5.分解行列法分解行列法

18、1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 例例6.(1)1 2 1 2 4 4 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2 2 2 1 2 1 2 4 4=0 6 0 6 7 7 3 4 3 4 2 2 3 3 1 2 1 2 4 4=0 6 =0 6 7 7 0 10 0 10 1414 ()5 53 31.化为三角形化为三角形行列式行列式 1 2 1 2 4 4=0 6 =0 6 7 7 0 0 0 0 7/37/3=1=1 6 6 (7/3)7/3)=14.14.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解

19、行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 二二.行列式的主要计算方法行列式的主要计算方法 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 11 1 3 11 1 1 3 1 1 1 3(2)(2)6 6 6 66 6 6 6 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 11 1 3 11 1 1 3 1 1 1 3=1 1 1 11 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 11 1 3 11 1 1 3 1 1 1 3=6 6 (1)1)1 1 1 1

20、0 2 0 0 0 0 2 00 0 0 2=6=48.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 a a b b c c d d a a a a+b b a a+b b+c c a a+b b+c c+d da a 2 2a a+b b 3 3a a+2+2b b+c c 4 4a a+3+3b b+2+2c c+d da a 3 3a a+b b 6 6a a+3+3b b+c c 10 10a a+6+6b b+3+3c

21、 c+d d(3)(3)a a b b c c d d =(1)1)(1)1)(1)1)a a b b c c d d 0 0 a a a a+b b a a+b b+c c=(1)1)=a4.0 0 a a 3 3a a+b b 6 6a a+3+3b b+c c0 0 a a 2 2a a+b b 3 3a a+2+2b b+c c0 0 a a a a+b b a a+b b+c c (1)1)(1)1)0 0 0 0 a a 3 3a a+b b0 0 0 0 a a 2 2a a+b ba a b b c c d d 0 0 a a a a+b b a a+b b+c c=0 0 0

22、0 0 0 a a 0 0 0 0 a a 2 2a a+b b第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 例例7.设设D=a a11 11 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1 =,证明证明:D=D1D2.证明证明:对对D1施行施行ri+krj,把把D1化为下三角行列式化为下三角行列式=p p11 11 p pmm1 1 p pmmmm .=p p11 11 p pmmmm ,D D2 2 =,b

23、 b11 11 b b1 1n n b bn n1 1 b bnnnna a11 11 a a1 1mm 0 0 0 0,a amm1 1 a amm mm 0 0 0 0 c c11 11 c c1 1m m b b11 11 b b1 1n n c cn n1 1 c cnm nm b bn n1 1 b bnn nn a a11 11 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1=对对对对D D2 2施行施行施行施行c ci i+kckcj j 这类运算这类运算这类运算这类运算,把把把把D D2 2化为下三角形行列式化为下三角形行列式化为下三角形行列式化为下三角形行列

24、式:b b11 11 b b1 1n nb bn n1 1 b bnnnnD D2 2=q q11 11 q qn n1 1 q qnnnn .=q q11 11 q qnnnn ,第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 于是对于是对D的前的前m行施行上述行施行上述ri+krj 运算运算,再对再对D的后的后n列施行上述施行列施行上述施行ci+kcj 运算运算,可得可得:p p11 11 p pmm1 1 p pmmmm c

25、 c11 11 c c1 1m m q q11 11 c cn n1 1 c cnm nm q qn n1 1 q qnnnn.=.0=p11 pmm q11 qnna a11 11 a a1 1mm 0 0 0 0 D=a amm1 1 a amm mm 0 0 0 0 c c11 11 c c1 1m m b b11 11 b b1 1n n c cn n1 1 c cnm nm b bn n1 1 b bnnnn =D1D2.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式

26、的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 2.箭形箭形行列式行列式 例例8.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 例例9:Dn=1+a1 1 1 1 1+a2 1 1 1 1+an可化为箭形的可化为箭形的行列式行列式 解解:(a1a2an 0).1+a1 1 1 1 a1 a2 0 0 a1 0 a3 0 a1 0

27、 0 an I I l lveveit!it!“伞形伞形”行列式行列式 r2 r1rn r1第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 注意注意注意注意已知条件已知条件已知条件已知条件:a a1 1a a2 2a an n 0,0,否则不能否则不能否则不能否则不能1/1/a a1 1,1/1/a an n!=1+(1/aj)a1a2 an.j j=1=1 n n 1+a1+(a1/aj)1 1 1 0 a2 0 0 0 0 a3 0 0 0 0 an

28、 j j=2=2 n n 1+a1 1 1 1 a1 a2 0 0 a1 0 a3 0 a1 0 0 an r2 r1rn r1二二.行列式的主要计算方法行列式的主要计算方法 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 1.化为三角形化为三角形行列式行列式|AT|=|A|.3.行列式按行行列式按行(列列)展开展开 2.箭形行列式的计算箭形行列式的计算 4.降阶递推法降阶递推法 5.分解行列法分解行列法 三阶行列式三阶行列式 对角线法则对角线法则 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的

29、性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33=a11 a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31.=a11(a22a33 a23a32)+a12(a23a31 a21a33)+a13(a21a32 a22 a31)1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 3.行列式按行行列式按行(列列)展开展开 aij 的的余子式余子式 Mij：划去划去aij 所在的行列得到的所在的

30、行列得到的n-1阶行列式阶行列式按第一行展开按第一行展开第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 a ai ij j的的的的代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式:A Ai ij j =(=(1 1)i+i+j jMMi ij j.a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 a a3131 a a3232 a a33 33 a a3434a a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444a a11 11

31、a a13 13 a a1414 a a21 21 a a23 23 a a2424 a a41 41 a a43 43 a a4444MM3232=,A A3232 =(=(1 1)3+23+2MM32 32=MM3232.a11的余子式的余子式定理定理1.2.|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin,i=1,2,n.1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 证明：证明：(1)(2)(3)第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 =a11A11=aijAi

32、j证明：证明：(1)定理定理1.2.1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 M11=A11=a11M11|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin,i=1,2,n.=a11A11证明：证明：(2)1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 定理定理1

33、.2.|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin,i=1,2,n.|A|=ai1 Ai1+ai2 Ai2+ain Ain,i=1,n.证明：证明：(3)定理定理1.2.1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 =ai1 Ai1+ai2 Ai2+ain Ain.同理同理,|A|=a1j A1j+a2j A2j+anj Anj,j=1,2,n.分阶段处分阶段处理复杂问理复杂问题的题的“水水泵泵”思维思维化繁化繁为简为简二二

34、.行列式的主要计算方法行列式的主要计算方法 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 1.化为三角形化为三角形行列式行列式|AT|=|A|.3.行列式按行行列式按行(列列)展开展开 2.箭形行列式的计算箭形行列式的计算 4.降阶递推法降阶递推法 5.分解行列法分解行列法|A|=ai1 Ai1+ain Ain=a1j A1j+anj Anj(A)填空题选择题：作为课下练习填空题选择题：作为课下练习一一.(A)1(1-7),(B)1,2,3(B)留作业留作业 每周三交作业每周三交作业(C)课下提高题：有时间的话尽量做课下提高题：有时间的话尽量做二二.(A)2(1-5)(B)4(1,3,4,6),5(1,2)趣味思考题趣味思考题二、若行列式二、若行列式D=0，则，则D都可能是什么类型的都可能是什么类型的行列式？行列式？三、设三、设D=a a11 11 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1 =,证明证明:D=(1)mnD1D2.D D2 2 =,b b11 11 b b1 1n n b bn n1 1 b bnnnn0 0 0 0 a a11 11 a a1 1mm,0 0 0 0 a amm1 1 a ammmmb b11 11 b b1 1n n c c11 11 c c1 1mmb bn n1 1 b bnn nn c cn n1 1 c cnmnm