3.1 导数的概念.ppt

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1、第三章 导数与微分3.1.导数的概念导数的概念3.2.导数运算与导数公式导数运算与导数公式3.3.复合函数求导法则复合函数求导法则3.4.微分及其计算微分及其计算3.5.高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分3.6.导数与微分在经济学中的简单应用导数与微分在经济学中的简单应用3.1 导导数概念数概念一、一、导导数的定数的定义义 二、函数在可二、函数在可导导点的局部性点的局部性质质一、导数的定义一、导数的定义（1）.直线运动的速度问题直线运动的速度问题如图如图,取极限得取极限得瞬时速度瞬时速度1、问题的提出、问题的提出（2）.切线问题切线问题切线：割线的极限切线：割线的极限播放播放MNT割线割线M

2、N绕点绕点M旋旋转而趋向转而趋向极限位置极限位置MT,直线直线MT就称就称为曲线为曲线C在点在点M处处的切线的切线.一、导数的定义一、导数的定义 平面曲线上切线的概念割线PQ切线PT切点数学背景 平面曲线的切线问题 一、导数的定义一、导数的定义一、导数的定义一、导数的定义2 2、导数的概念、导数的概念（1）.定义定义一、导数的定义一、导数的定义导数定义其它常见形式：导数定义其它常见形式：即即一、导数的定义一、导数的定义一、导数的定义一、导数的定义1）注注注注（2）导函数导函数一、导数的定义一、导数的定义很明显很明显2）3）一、导数的定义一、导数的定义右导数右导数:（3）单侧导数单侧导数左导数左

3、导数:判断函数在某一点可导的充分必要条件：判断函数在某一点可导的充分必要条件：一、导数的定义一、导数的定义例例解解一、导数的定义一、导数的定义3、由定义求导数举例由定义求导数举例步骤步骤:例例1 1解解一、导数的定义一、导数的定义例例2 2解解更一般地更一般地例如例如,一、导数的定义一、导数的定义例例3 3解解一、导数的定义一、导数的定义例例4 4解解一、导数的定义一、导数的定义例例5 5解解一、导数的定义一、导数的定义4、导数的意义导数的意义（1 1）几何意义几何意义几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为一、导数的定义一、导数的定义 函数函数)(xfy=在点在点 0 x 处

4、的导数等处的导数等于曲线于曲线)(xfy=在点在点),(000yxM处的切线的斜率处的切线的斜率 一、导数的定义一、导数的定义 y O x x0 y=c f(x0)=0 y O x f(x0)=x0 O xyx0 y O x x0f(x0)不存在f(x0)不存在一、导数的定义一、导数的定义（2 2）导数）导数）导数）导数几何意义的应用几何意义的应用几何意义的应用几何意义的应用 a、根据导数的几何意义，可以得到曲线 在定点 处的切线方程为：b、如果 ，则法线的斜率为 ，从而点 处法线方程为：一、导数的定义一、导数的定义 例6 求曲线 在点（4，2）处的切线方程和法线方程。解：（1）函数 在x=2

5、处的导数：（2）所求切线的斜率 即（4）法线的斜率 ，故所求的法线方程为：即 （3）由直线的点斜式方程可得曲线的切线方程为：一、导数的定义一、导数的定义(3)(3)简单的物理意义简单的物理意义简单的物理意义简单的物理意义1 1）变速直线运动中）变速直线运动中路程对时间的导数为物路程对时间的导数为物体的瞬时速度体的瞬时速度.2 2）交流电路中）交流电路中电量对时间的导数为电流强电量对时间的导数为电流强度度.3 3）非均匀物体中）非均匀物体中质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.一、导数的定义一、导数的定义二、函数在可导点的局部性质二、函

6、数在可导点的局部性质定理定理定理定理 可导的函数一定是连续的（有限增量公式）。可导的函数一定是连续的（有限增量公式）。证证比如比如解解注意注意:反之不成立反之不成立.即连续不一定可导。即连续不一定可导。二、函数在可导点的局部性质二、函数在可导点的局部性质二、函数在可导点的局部性质二、函数在可导点的局部性质二、函数在可导点的局部性质二、函数在可导点的局部性质结论结论：导数：导数为正，则在某领域内是递增的。为正，则在某领域内是递增的。导数为负，则在某领域内导数为负，则在某领域内是减是减的。的。二、函数在可导点的局部性质二、函数在可导点的局部性质小结1.导数的概念与实质导数的概念与实质:增量比的极限增量比的极限;3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义:5.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;有限增量公式，可导与单调。有限增量公式，可导与单调。4.由定义求导数由定义求导数.