3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示-数学选修2-1.ppt

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1、3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示共线向量定理共线向量定理共面向量定理共面向量定理任意不共面的三个向量都可做为空间的一个任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底基底a、b、c都叫做都叫做基向量基向量如果三个向量如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一不共面，那么对空间任一向量向量p，存在一个唯一的有序实数组，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使使pxaybzc任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个

2、基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用e1,e2,e3 表示表示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 e1,e2,e3,以点以点O为原点，分别为原点，分别以以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个这样就建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系O-xyz 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐标向量坐标向量.通通过每两个坐标轴的平面叫做过每两个坐标轴的平面

3、叫做坐标平面坐标平面.二、向量的直角坐标系二、向量的直角坐标系 给定一个空间坐标系和向量给定一个空间坐标系和向量 ,且设且设e1，e2，e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组有序实数组(x,y,z)使使 p=xe1+ye2+ze3 有序数组有序数组(x,y,z)叫做叫做p在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中中的坐标，记作的坐标，记作p=(x,y,z).在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点，中，对空间任一点，A,对应一个向量对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数，于是存在唯一的有序实数组组x,y,z，使，

4、使 OA=xe1+ye2+ze3 在单位正交基底在单位正交基底e1,e2,e3中与向量中与向量OA对应的有序实数对应的有序实数组组(x,y,z)，叫做点，叫做点A在此空间在此空间直角坐标系中的坐标，记作直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点A的横的横坐标，坐标，y叫做点叫做点A的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点A的竖坐标的竖坐标.xyzOA(x,y,z)e1e2e3已知向量已知向量a，b，c是空间的一个基底是空间的一个基底求证：向量求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底能构成空间的一个基底解：解：空间向量的基本定理空间向量的基本定理单位正交基底单位正交基底如何建立空间直角坐标系如何建立空间直角坐标系