1.2余弦定理应用.ppt

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1、12/13/2022的应用的应用 解三角形问题是三角学的基本问题之一。解三角形问题是三角学的基本问题之一。什么是三角学？三角学来自希腊文什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形三角形”和和“测量测量”。最初的理解是解三角形的计算，。最初的理解是解三角形的计算，后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科。形两部分内容的一门数学分学科。解三角形的方法在度量工件、测量距离和解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角在物理

2、学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。形的方法。我国古代很早就有测量方面的知识，我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的公元一世纪的周髀算经周髀算经里，已有里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪，关于平面测量的记载，公元三世纪，我国数学家刘徽在计算圆内接正六边我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦得了某些特殊角的正弦正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理（R为三角形的外接圆半径）为三角形的外接圆半径）ABCacb复习复习复习复习.下列解下列解ABC问题问题,分别属于那种类型？根分别属于那种类型？根据哪个定理可以先

3、求什么元素？据哪个定理可以先求什么元素？第第4小题小题A变更为变更为A=150o呢？呢？_余弦定理先求出余弦定理先求出余弦定理先求出余弦定理先求出A,A,A,A,或先求出或先求出或先求出或先求出B B B B正弦定理先求出正弦定理先求出正弦定理先求出正弦定理先求出b b正弦定理先求出正弦定理先求出正弦定理先求出正弦定理先求出B(60B(60B(60B(60o o o o或或或或120120120120o o o o)无解无解（1 1）a a=2 ,=2 ,b b=,=,c c=3+=3+；（2 2）b b=1=1，c c=，A A=105=105；（3 3）A A=45=45，B B=60=6

4、0，a a=10=10；（4 4）a a=2 =2 ，b b=6=6，A A=30.=30.2 23 36 63 33 3_ _ _余弦定理先求出余弦定理先求出余弦定理先求出余弦定理先求出a a解斜三角形理论解斜三角形理论在实际问题中的应用在实际问题中的应用实际应用问题中有关的名称、术语实际应用问题中有关的名称、术语实际应用问题中有关的名称、术语实际应用问题中有关的名称、术语1.1.仰角、俯角、视角。仰角、俯角、视角。仰角、俯角、视角。仰角、俯角、视角。（1 1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角当视线在水

5、平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。叫仰角。叫仰角。叫仰角。（2 2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。叫俯角。叫俯角。叫俯角。（3 3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）般这两条视线过被观察物的两端点）般这两条视线过被观察物的两端点）般这两条视线过被观察物的两端点）水平线水平线水平线水平线视线视线视

6、线视线视线视线视线视线仰角仰角仰角仰角俯角俯角俯角俯角2.2.方向角、方位角。方向角、方位角。方向角、方位角。方向角、方位角。（1 1）.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的小于的小于的小于90900 0的水平角叫方向角。的水平角叫方向角。的水平角叫方向角。的水平角叫方向角。（2 2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。所

7、成的角叫方位角。所成的角叫方位角。所成的角叫方位角。东东东东西西西西北北北北南南南南60600 030300 045450 020200 0A AB BC CD D点点点点A A在北偏东在北偏东在北偏东在北偏东60600 0，方位角，方位角，方位角，方位角60600 0.点点点点B B在北偏西在北偏西在北偏西在北偏西30300 0，方位角，方位角，方位角，方位角3303300 0.点点点点C C在南偏西在南偏西在南偏西在南偏西45450 0，方位角，方位角，方位角，方位角2252250 0.点点点点D D在南偏东在南偏东在南偏东在南偏东20200 0，方位角，方位角，方位角，方位角160160

8、0 0.3.3.水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离、垂直距离、坡面距离。水平距离水平距离水平距离水平距离垂垂垂垂直直直直距距距距离离离离坡面距离坡面距离坡面距离坡面距离坡度（坡度比）坡度（坡度比）坡度（坡度比）坡度（坡度比）i:i:垂直距离垂直距离垂直距离垂直距离/水平距离水平距离水平距离水平距离坡角坡角坡角坡角:tantan=垂直距离垂直距离垂直距离垂直距离/水平距离水平距离水平距离水平距离 解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例想一想：想一想：如何测定河两岸两如何测定河两岸两点点A、B间的距离？间的距离？AB解

9、三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例想一想：想一想：如何测定河两岸两点如何测定河两岸两点A、B间的距离？间的距离？ABC在B的同一侧选定一点C解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例实地测量举例实地测量举例想一想：想一想：如何测定河两岸两点如何测定河两岸两点A、B间的距离？间的距离？ABCABC55解解:由正弦定理可得由正弦定理可得AB/sin=BC/sinA =asin/sin(+)55若BC=55,=510,=750,求AB的长.问题一：测量距离问题问题一：测量距离问题问题一：测量距离问题问题一：测量距离问题（1 1）：有一点可到达

10、）：有一点可到达）：有一点可到达）：有一点可到达解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例实地测量举例实地测量举例例例2、如何测定河对岸两点如何测定河对岸两点A、B间的距离？间的距离？ABC如图在河这边取一点，构造三如图在河这边取一点，构造三角形角形ABCABC，能否求出能否求出AB?AB?为什么为什么？解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例实地测量举例实地测量举例例例2、为了测定河对岸两点为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定间的距离，在岸边选定a a公里长公里长的基线的基线CD，并测得并测得BCA=，

11、ACD=，CDB=，B BDA=o o，求求A、B两点的距离两点的距离.ABDCABDCa公里公里分析：在四边形分析：在四边形ABCDABCD中欲求中欲求ABAB长，只能去解三长，只能去解三角形，与角形，与ABAB联系的三角形有联系的三角形有ABCABC和和ABDABD，利利用其一可求用其一可求ABAB。B BCA=，ACD=，BDC=，ADC=，问题一：测量距离问题问题一：测量距离问题问题一：测量距离问题问题一：测量距离问题（2 2）：两点都不可到达）：两点都不可到达）：两点都不可到达）：两点都不可到达 练习练习2如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算如图，自动卸货汽车采用液压机构，

12、设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度（如图）已知车厢的最大仰角为的长度（如图）已知车厢的最大仰角为60，油，油泵顶点泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的与水平线之间的夹角为夹角为 ，AC长为长为1.40m，计算计算BC的长（保留三个有效数的长（保留三个有效数字）字）（1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？BACD抽象数学模型CAB已知已知ABC的两边的两

13、边AB1.95m，AC1.40m，夹角夹角A6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。问题二：测量高度问题问题二：测量高度问题问题二：测量高度问题问题二：测量高度问题（1 1）：底部不可以到达）：底部不可以到达）：底部不可以到达）：底部不可以到达问题二：测量高度问题问题二：测量高度问题问题二：测量高度问题问题二：测量高度问题（2 2）：底部可以到达）：底部可以到达）：底部可以到达）：底部可以到达问题三：测量角度问题问题三：测量角度问题问题三：测量角度问题问题三：测量角度问题如下图，已知半圆的直径如下图，已知半圆的直径AB=2，点，点C在在AB的的延长线上，延长线上，BC=1，点，点P为为半圆上的动点。以半圆上的动点。以PC为边作等边为边作等边PCD，且点且点D与圆心与圆心O分别在分别在PC的两侧，求四边形的两侧，求四边形OPDC的面积的最大值的面积的最大值。CPDOAB解：解：总结总结实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推推理理演演算算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明