1.3.3 函数的最值.ppt

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1、一、复习引入一、复习引入 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f/（x）0,右侧右侧f/(x)0,那那么么,f(x0)是极大值是极大值;如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0 ,那那么么,f(x0)是极小值是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充而不是充 分条件分条件.极值只能在函数的极值只能在函数的导数为零且在其附近左右导数为零且在其附近左右两侧的导数异号两侧的导数异号时取到时取到.3.在某些问题中在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大哪个值最大,哪个值最小哪个值最小,而

2、不是极值而不是极值.1.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的值的方法是方法是:二、新课二、新课函数的最值函数的最值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 观察右边一观察右边一个定义在区间个定义在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象的图象.发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极大是极大值，在区间上的函数的最大值是值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能

3、判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？导数的应用导数的应用-求函数最值求函数最值.(2)(2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、f(bf(b)()(端点处端点处)比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值.求求f(x)f(x)在在闭区间闭区间a,ba,b上的最值的步骤上的最值的步骤(1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间(a,ba,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)所有极值连同端点函数值进行比较，所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的

4、为最小值最大的为最大值，最小的为最小值典型例题典型例题1、求出所有导数为、求出所有导数为0的点；的点；2、计算；、计算；3、比较确定最值。、比较确定最值。动手试试动手试试求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：（0404浙江文浙江文2121）（）（本题满分本题满分1212分）分）已知已知a a为实数，为实数，（）求导数）求导数 ；（）若若 ，求求 在在-2-2，22上上的的最大值和最小值；最大值和最小值；（）若若 在在（-，-2-2和和22，+）上上都都是递增的，求是递增的，求a a的取值范围。的取值范围。例例2典型例题典型例题小结小结 求在求在a,b上

5、连续上连续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在a,b上的最值的步骤上的最值的步骤:(1)求求f(x)在在(a,b)内的极值内的极值;(2)将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较比较,其中最大其中最大的一个是最大值的一个是最大值,最小的一个是最小值最小的一个是最小值.思考思考反思：本题属于逆向探究题型；反思：本题属于逆向探究题型；其基本方法最终落脚到比较极其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。问题，往往伴随有分类讨论。2、求最大（最小）值应用题的一般方法、求最大（最小）值应用题的一般方法:(1)

6、分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步;(2)确定函数定义域，并求出极值点确定函数定义域，并求出极值点;(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实结合实际，确定最值或最值点际，确定最值或最值点.1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来式反映出来:首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质;其次，建立相应的数学模型其次，建

7、立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题将应用问题转化为数学问题,再解再解.应用应用例例1、在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？子容积最大？最大容积是多少？解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.由题

8、意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱箱子的容积很小子的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.2、若函数、若函数 f(x)在定义域内在定义域内只有一个极值点只有一个极值点x0，则不需与端点比较，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或即是所求的最大值或最小值最小值.说明说明1、设出变量找出函数关系式；、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；确定出定义域；所得结果符合问题的实

9、际意义所得结果符合问题的实际意义xy例例2:如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个围成的图形中有一个 内接矩形内接矩形ABCD,求这求这 个矩形的最大面积个矩形的最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2),则则 A(x,4x-x2).从而从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面的面积积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).令令 ,得得所以当所以当 时时,因此当点因此当点B为为 时时,矩形的最大面积是矩形的最大面积是拓展提高拓展提高我们知道，如果在闭区间我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间闭区间【a，b】换成开区间（换成开区间（a,b）是否一定有最是否一定有最值呢？值呢？函数函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。有一个极值点时，极值点必定是最值点。有两个极值点时，函数有无最值情况不定。有两个极值点时，函数有无最值情况不定。如果函数如果函数f(x)在开区间（在开区间（a,b）上只有一个极）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。值点，那么这个极值点必定是最值点。