4.1 特征值和特征向量.ppt

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1、4.4.1 特征值和特征特征值和特征向量向量一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念定义定义定义定义为阶方阵，为阶方阵，为数，为数，为维非零向量，为维非零向量，若若则则称为称为的的特征值特征值，称为称为的的特征向量特征向量（）（）注注注注:一个特征向量只能属于一个特征值；一个特征向量只能属于一个特征值；特征向量特征向量 ，特征值问题只针对方阵；，特征值问题只针对方阵；一个特征值有无穷个特征向量；一个特征值有无穷个特征向量；若若，则，则定义定义:设设n n阶方阵阶方阵则则称为方阵称为方阵A A的的特征多项式特征多项式.定义定义定义定

2、义:称以称以为未知数的一元次方程为未知数的一元次方程为为的的特征方程特征方程,称为称为特征方程组特征方程组.二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法:注：注：n n阶方阵阶方阵A A的特征多项式为的特征多项式为 的的n n次多项式次多项式.求求n n阶方阵阶方阵A A的特征值与特征向量的步骤：的特征值与特征向量的步骤：1.计算特征多项式计算特征多项式2.2.求出特征方程求出特征方程的根的根即为即为A A的特征值的特征值3.3.求方程组求方程组的基础解系即为的基础解系即为A A的属于的属于特征值特征值 的线性无关特征向量，基础解系的

3、线性组合的线性无关特征向量，基础解系的线性组合即为全部特征向量即为全部特征向量.例例1 1:求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.练习练习:求下列方阵的特征值与特征向量求下列方阵的特征值与特征向量求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.例例2 2：求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.例例3 3：定理定理定理定理:设阶方阵的特征值为设阶方阵的特征值为则则:推论推论推论推论1:1:1:1:阶方阵阶方阵可逆可逆的个特征值全不为零的个特征值全不为零.例例4 4：设矩阵设矩阵求求 x x 的值和的值和 A A 的另一特征值。的另一特征值。有特征值有特征值三、特征值和特

4、征向量的性质：三、特征值和特征向量的性质：三、特征值和特征向量的性质：三、特征值和特征向量的性质：若数若数为可逆阵的为可逆阵的的特征值，则：的特征值，则：为为 的特征值的特征值.(2)(2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)为为 的特征值（的特征值（m m 为正整数）为正整数）定理定理:为为 的特征值的特征值(3)(3)(3)(3)且且 仍是矩阵仍是矩阵kA,Am,A-1的属于特征的属于特征值值的特征向量的特征向量.例例5:5:设设3 3阶方阵阶方阵A A的行列式的行列式|A A|=3|=3，A A有一个特征值为有一个特征值为-2-2，则则:(1)A(1)A*必有一个特征值为必有一个特征值为

5、()()(2)(2)A A3 3+2A+2A2 2+4A+8E+4A+8E必有一个特征值为必有一个特征值为()()(3)|(3)|A A3 3+2A+2A2 2+4A+8E|=()+4A+8E|=()定理定理:属于不同的特征值的特征向量是线性无关的属于不同的特征值的特征向量是线性无关的.定理定理:一个一个n n阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值.例例6:设设 分别是方阵分别是方阵A的两个不同的特征值，的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为 ，证明，证明 不是不是A的特征向量的特征向量.应用举例：应用举例：应用举例：应用举例：、若、若为可逆阵为可逆阵的特征值，则的特征值，则的一个特征值为（）的一个特征值为（）、证阶方阵、证阶方阵的满足，则的满足，则的特征值为的特征值为或或、三阶方阵、三阶方阵的三个特征值为、，则的三个特征值为、，则（）（）作业：作业：P198-199 1(2)2 5