4.2 向量组的线性相关性.ppt

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1、4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性如图：三维空间中的向量如图：三维空间中的向量设设 可表为可表为,说明说明这三个向量任何一个都不能由其它两个这三个向量任何一个都不能由其它两个向量线性表示向量线性表示,说明它们是异面的说明它们是异面的.这三个向量在同一平面内，即共面这三个向量在同一平面内，即共面.我们把上面这种向量之间的最基本的关系加以推广，我们把上面这种向量之间的最基本的关系加以推广，并换一种叫法。并换一种叫法。定义定义定义定义量可由其余的向量线性表示量可由其余的向量线性表示,则称该向量组则称该向量组线性相关线性相关线性相关线性相关;设向量组设向量组,若至少有一个向若至少有一个向否则

2、，如果任一向量都不能由其余向量线性表示否则，如果任一向量都不能由其余向量线性表示,则则称该向量组称该向量组线性无关线性无关线性无关线性无关。注：注：只含一个向量的向量组只含一个向量的向量组 ，若，若 则称它线性则称它线性相关，若相关，若 则称它线性无关。则称它线性无关。存在不全为零的数存在不全为零的数 使使即即有非零解有非零解.还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关向量组向量组线性相关线性相关(按定义按定义)(转化为方程组转化为方程组)定理定理1齐次齐次方程组方程组（向量方程）（向量方程）线性相关的判别法线性相关的判别法线性相关的判别法线性相关

3、的判别法即即只有零解。只有零解。向量组向量组线性无关线性无关(按定义按定义)(转化为方程组转化为方程组)推论推论1齐次齐次方程组方程组（向量方程）（向量方程）则必有则必有如果有一组数如果有一组数使得使得线性无关的判别法线性无关的判别法线性无关的判别法线性无关的判别法解解:设设记记把把A用初等行变换变为阶梯形用初等行变换变为阶梯形得知方程得知方程只有零解，所以原向量组线性无关。只有零解，所以原向量组线性无关。判断向量组判断向量组的线性相关性。的线性相关性。例例1注注:由于由于A是方阵，也可以由是方阵，也可以由|A|=-6|=-6得知方程组得知方程组只有零解只有零解 设设n阶方阵阶方阵，由上述定理

4、可知，由上述定理可知，A是可逆矩阵的是可逆矩阵的充要条件是方程组充要条件是方程组只有零解。只有零解。由此我们得到下面的定理由此我们得到下面的定理(1)(1)A为可逆矩阵；为可逆矩阵；设设A是是n阶方阵，则下面三个命题等价阶方阵，则下面三个命题等价定理定理2(2)(2)A的列向量组线性无关；的列向量组线性无关；(3)(3)A的行向量组线性无关。的行向量组线性无关。(参见参见P.8890)(1)(1)部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关。部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关。使用方便的一些推论使用方便的一些推论书书P.88例例4.7例如例如观察知观察知 ,则则 线性相关线性相关.对于对

5、于有有从而从而线性相关线性相关.(2)个数大于维数的向量组必相关个数大于维数的向量组必相关例如：例如：设设即证即证A的列组的列组线性相关线性相关,其中其中故故线性相关线性相关.由于由于书书P.88例例4.8证：证：记矩阵记矩阵线性方程组线性方程组必线性相关必线性相关。必有非零解，从而必有非零解，从而(3)短的无关短的无关,则长的无关；长的相关，则短的相关。则长的无关；长的相关，则短的相关。线性无关，线性无关，也线性无关也线性无关.例如：例如：书书P.89例例4.9(4)无关无关,相关相关则则 可由可由A唯一表示唯一表示.书书P.89 定理定理4.6唯一表示定理唯一表示定理唯一表示定理唯一表示定

6、理证：证：由于向量组由于向量组线性相关，故存在不全为零的线性相关，故存在不全为零的数数使得使得必然有必然有否则，若否则，若则则由于由于线性无关，必有线性无关，必有这与这与不全为零矛盾，因此不全为零矛盾，因此则则所以向量所以向量可由向量组可由向量组线性表示。线性表示。唯一性：唯一性：假设向量假设向量由向量组由向量组的表示有两种的表示有两种移项移项由于由于线性无关，所以线性无关，所以唯一性得证。唯一性得证。这一结论可以等价的表示为：方程组这一结论可以等价的表示为：方程组有唯一解。有唯一解。解解解解:记记记记当当 t=5 时时,该向量组线性相关该向量组线性相关.t 取何值时取何值时,下列向量组线性相

7、关下列向量组线性相关?例例2线性相关线性相关A,B 为非零矩阵且为非零矩阵且 AB=O,则则(a)A 的的列列组线性相关组线性相关,B 的的行行组线性相关组线性相关(b)A 的的列列组线性相关组线性相关,B 的的列列组线性相关组线性相关(c)A 的的行行组线性相关组线性相关,B 的的行行组线性相关组线性相关(d)A 的的行行组线性相关组线性相关,B 的的列列组线性相关组线性相关 设设 说明说明 Ax=0 有非零解有非零解,从而从而 A 的列组相的列组相关关;解解考虑转置考虑转置 ，同样的道理同样的道理,矩阵矩阵 列组相关，即列组相关，即B 的行组相关的行组相关.例例3设设 线性无关线性无关,问问 满足什么条件满足什么条件,线性相关？线性相关？向量组向量组:分析分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题这是一个向量组表示另一向量组的问题,就是矩阵乘法的关系。就是矩阵乘法的关系。则则解：解：例例4设设(要讨论上面方程组何时有非零解要讨论上面方程组何时有非零解)(由由 线性无关线性无关)作作 业业 9P90:4