2.3 线性方程组的解.ppt

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1、主要内容主要内容一、线性方程组有解的条件一、线性方程组有解的条件一、线性方程组有解的条件一、线性方程组有解的条件三、举例三、举例三、举例三、举例第第 三三 节节 线性方程组的解线性方程组的解二、线性方程组的求解步骤二、线性方程组的求解步骤二、线性方程组的求解步骤二、线性方程组的求解步骤 秩秩秩秩(A A)=)=秩秩秩秩(A A，b b)定理定理1 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 AXAX=b b 有解有解有解有解 一、线性方程组有解的条件一、线性方程组有解的条件秩秩秩秩(A A)=)=秩秩秩秩(A A，b b)=n n 定理定理2 n n 元线性方程组元线性方程组元线性方程组元线性方

2、程组 A Amm n nX X=b b有有有有 唯一唯一唯一唯一 解解解解 秩秩秩秩(A A)秩秩秩秩(A A，b b)无解无解无解无解秩秩秩秩(A A)=)=秩秩秩秩(A A，b b)n n 无穷多无穷多无穷多无穷多特别：特别：n 个方程的个方程的个方程的个方程的 n n 元线性方程组元线性方程组元线性方程组元线性方程组 A An n n nX X=b b 有有有有唯一唯一唯一唯一解解解解本节利用矩阵的秩讨论线性方程组解的本节利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在存在及解的及解的个数个数问题。问题。推论推论1 n n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组元齐次线性方程组元齐次线性方程组 A Am m

3、 n n X X=0 0 有非零解有非零解有非零解有非零解R R(A A)n n 推论推论2 当当当当 m m n n 时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组A Am m n n X X=0 =0 一定有非零解。一定有非零解。一定有非零解。一定有非零解。定理定理 2 应用于应用于齐次齐次线性方程组，容易得出：线性方程组，容易得出：R R(A A)=)=n n 只有零解只有零解只有零解只有零解特别：特别：n 个方程的个方程的个方程的个方程的 n n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组元齐次线性方程组元齐次线性方程组 AXAX=0 =0 有非零解有非零解有非零解有非

4、零解只有零解只有零解只有零解只有零解 利用定理利用定理 3 容易得出矩阵秩的性质容易得出矩阵秩的性质(7)，即，即定理定理 4 R R(ABAB)min min R R(A A),),R R(B B)定理定理 1 可推广到矩阵方程：可推广到矩阵方程：定理定理 3 矩阵方程矩阵方程矩阵方程矩阵方程 AXAX=B B 有解的有解的有解的有解的充要条件是充要条件是充要条件是充要条件是 R R(A A)=)=R R(A A,B B).).R R(ABAB)R R(A A)R R(ABAB)R R(B B)步骤步骤步骤步骤 1 1 对于对于对于对于非齐次非齐次非齐次非齐次线性方程组，把它的线性方程组，把

5、它的线性方程组，把它的线性方程组，把它的增广增广增广增广矩阵矩阵矩阵矩阵(A A,b b)化成化成化成化成行阶梯形行阶梯形行阶梯形行阶梯形，从中可同时看出，从中可同时看出，从中可同时看出，从中可同时看出 R R(A A)和和和和R R(A,bA,b).).若若若若 R R(A A)R R(A,bA,b)，则，则，则，则方程组无解方程组无解方程组无解方程组无解.步骤步骤步骤步骤 2 2 若若若若 R R(A A)=)=R R(A,bA,b),),则方程组有解。进一则方程组有解。进一则方程组有解。进一则方程组有解。进一 A A 化成行最简形化成行最简形化成行最简形化成行最简形.二、线性方程组的求解

6、步骤二、线性方程组的求解步骤注：注：注：注：对于对于对于对于齐次齐次齐次齐次线性方程组，则只要把线性方程组，则只要把线性方程组，则只要把线性方程组，则只要把系数矩阵系数矩阵系数矩阵系数矩阵步把步把步把步把(A,bA,b)化成化成化成化成行最简形行最简形行最简形行最简形.令自由未知量分别等于令自由未知量分别等于令自由未知量分别等于令自由未知量分别等于 c c1 1,c c2 2,c cn n r r ,由由由由 (A,bA,b)的的的的行最简形，即可写出含行最简形，即可写出含行最简形，即可写出含行最简形，即可写出含 n n r r 个参数的个参数的个参数的个参数的通解通解通解通解。步骤步骤步骤步

7、骤 3 3 若若若若R R(A A)=)=R R(A,bA,b)=)=r r n n，把行最简形中，把行最简形中，把行最简形中，把行最简形中r r 个非零行的个非零行的个非零行的个非零行的首非零元首非零元首非零元首非零元所对应的未知量可取作所对应的未知量可取作所对应的未知量可取作所对应的未知量可取作约束约束约束约束未知量未知量未知量未知量，其余，其余，其余，其余 n n r r 个未知量取作个未知量取作个未知量取作个未知量取作自由未知量自由未知量自由未知量自由未知量，并，并，并，并 例例 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组三、举例三、举例（见课本（见课本P73）例例 2 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 例例 3 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 例例 4 设有线性方程组设有线性方程组问问 k 取何值时，此方程组取何值时，此方程组(1)有唯一解；有唯一解；(2)无解无解;(3)有穷多解？并在有无穷多解时求其通解有穷多解？并在有无穷多解时求其通解.