2.1 时域数学模型.ppt

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1、1 1自动控制原理自动控制原理山东科技大学信息与电气工程学院山东科技大学信息与电气工程学院高宏岩高宏岩自动控制原理2 2第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型u 引言引言u 2.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型u 2.2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型 u 2.3 结构图及其等效变换结构图及其等效变换u 2.4 信号流图与梅森公式信号流图与梅森公式u 2.5 闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数u 2.6 数学模型的数学模型的MATLAB实现实现u 2.7 控制系统建模实例控制系统建模实例3 3引言引言1.定定义义：描描述述系系统统的的输输入入、输

2、输出出变变量量以以及及系系统统内内部部各各个个变变量量之之间间关关系系的的数数学学表表达达式式就就称称为为控控制制系系统的统的数学模型。数学模型。2.为为什什么么要要建建立立数数学学模模型型：对对于于控控制制系系统统的的性性能能，只只是是定定性性地地了了解解系系统统的的工工作作原原理理和和大大致致的的运运动动过过程程是是不不够够的的，希希望望能能够够从从理理论论上上对对系系统统的的性性能能进进行行定定量量的的分分析析和和计计算算。要要做做到到这这一一点点，首首先先要要建建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。4 4分析和设计控制系统时，常用的数

3、学模型有分析和设计控制系统时，常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、结构图、信号微分方程、差分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性等。本章着重讨论微分方程、传流图、频率特性等。本章着重讨论微分方程、传递函数、结构图、信号流图等数学模型的建立及递函数、结构图、信号流图等数学模型的建立及应用。应用。5 5数学模型建立方法数学模型建立方法a.解析法解析法 解解析析法法是是根根据据支支配配系系统统的的内内在在运运动动规规律律以以及及系系统统的的结结构构和和参参数数，推推导导出出输输入入量量和和输输出出量量之之间间的的数数学学表表达达式式，从从而建立数学模型而建立数学模型适用于简单的系统。

4、适用于简单的系统。b.实验法实验法实实验验法法是是利利用用系系统统的的输输入入-输输出出信信号号来来建建立立数数学学模模型型的的方方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。黑盒黑盒输入输入输出输出6 6无论是用解析法还是用实验法建立数学模型，无论是用解析法还是用实验法建立数学模型，都存在着模型精度和复杂性之间的矛盾，即控制都存在着模型精度和复杂性之间的矛盾，即控制系统的数学模型越精确，它的复杂性越大，对控系统的数学模型越精确，它的复杂性越大，对控制系统进行分析和设计也越困难。因此，在工程制系统进行分析和设计也越困难。因此，在工程上

5、，总是在满足一定精度要求的前提下，尽量使上，总是在满足一定精度要求的前提下，尽量使数学模型简单。为此，在建立数学模型时，常做数学模型简单。为此，在建立数学模型时，常做许多假设和简化，最后得到的是具有一定精度的许多假设和简化，最后得到的是具有一定精度的近似的数学模型。近似的数学模型。本章主要采用本章主要采用解析法解析法建立系统的数学模型，建立系统的数学模型，关于实验法将在后续章节和课程中进行介绍。关于实验法将在后续章节和课程中进行介绍。7 7微分方程是描述各种控制系统动态特性的最微分方程是描述各种控制系统动态特性的最基本的数学工具，也是后面讨论的各种数学模基本的数学工具，也是后面讨论的各种数学模

6、型的基础。因此，本节将着重介绍描述线性定型的基础。因此，本节将着重介绍描述线性定常控制系统的微分方程的建立和求解方法，以常控制系统的微分方程的建立和求解方法，以及非线性微分方程的线性化问题。及非线性微分方程的线性化问题。2.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程微分方程8 82.1.1 线性元件微分方程的建立线性元件微分方程的建立用解析法列写线性元件微分方程的一般步骤如下：用解析法列写线性元件微分方程的一般步骤如下：(1)根据元件的工作原理，确定元件的输入、输出变根据元件的工作原理，确定元件的输入、输出变量。量。(2)依据各变量所遵循的物理或化学定律，列写出系依据各变量所遵循

7、的物理或化学定律，列写出系统中元件的动态方程，一般为微分方程组。统中元件的动态方程，一般为微分方程组。(3)消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量的微分方程。的微分方程。(4)将微分方程标准化：将微分方程标准化：即将与输入有关的各项放在即将与输入有关的各项放在方程的右侧，与输出有关的各项放在方程的左侧，方程两方程的右侧，与输出有关的各项放在方程的左侧，方程两边各阶导数按降幂排列，最后将系数整理规范为具有一定边各阶导数按降幂排列，最后将系数整理规范为具有一定物理意义的形式。物理意义的形式。9 9图2-1【例例2-1】试列写如图2-1所示的RLC无源网

8、络的微分方程。ui(t)为输入变量，uo(t)为输出变量。10 10【例例2-2】图2-2是弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统。其中，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数。试列写以外力F(t)为输入，以位移x(t)为输出的系统微分方程。11 11【例例2-3】试列写如图所示的电枢控制直流电动机的微分方程。电枢电压ua为输入量，电动机转速m为输出量。Ra和La分别是电枢电路的电阻和电感，Mc为折合到电动机轴上的总负载转矩。+-12 12+-Ce电动机电势常数Cm电动机转矩常数13 13当电枢回路的电感可以忽略不计当电枢回路的电感可以忽略不计 若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略若

9、电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，则上式可进一步简化不计，则上式可进一步简化 14 14 比较比较:R-L-C:R-L-C电路运动方程与电路运动方程与 M-S-DM-S-D机械系统机械系统 运动方程运动方程 不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型，不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型，揭示了不揭示了不同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似的复杂系统。的复杂系统。15 152.1.2 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立用解析法列写控制系统微分方程的一般步骤如下：用解析法列写控制系统微分方程的一般步骤如下

10、：(1)确定系统的输入、输出变量。确定系统的输入、输出变量。(2)从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理或化学定律，依次列写出系统中各元件的量所遵循的物理或化学定律，依次列写出系统中各元件的动态方程，一般为微分方程组。动态方程，一般为微分方程组。(3)消去中间变量，得到只含有系统输入变量和输出消去中间变量，得到只含有系统输入变量和输出变量的微分方程。变量的微分方程。(4)(4)标准化。标准化。16 16【例例2-4】试列写如图所示闭环调速控制系统的微分方程。17 1718 18功率放大器：功率放大环节是晶闸管整流装置，功率放大器：功率

11、放大环节是晶闸管整流装置，u2为输入为输入量，量，ua为输出量。当忽略晶闸管整流电路的时间滞后和非为输出量。当忽略晶闸管整流电路的时间滞后和非线性因素时，二者的关系为线性因素时，二者的关系为式中：式中：K3是功放的放大系数。是功放的放大系数。19 192020上式表明：电机转速控制中，电机的转速上式表明：电机转速控制中，电机的转速既与给定作用既与给定作用ui有关，又和扰动作用有关，又和扰动作用Mc有关。有关。运放运放1 1运放运放2 2功放功放直流电动机直流电动机减速器（齿轮系减速器（齿轮系）测速发电机测速发电机得微分方程如下：得微分方程如下：（其中系数由已知参数构成）（其中系数由已知参数构成

12、）21 212.1.3 微分方程的求解微分方程的求解建立微分方程的目的之一是为了用数学方法定建立微分方程的目的之一是为了用数学方法定量地研究系统的动态特性。给出输入信号量地研究系统的动态特性。给出输入信号r(t)，分，分析输出响应析输出响应c(t)的方程，就是解微分方程。线性定的方程，就是解微分方程。线性定常系统的微分方程可用经典法、拉氏变换法或计常系统的微分方程可用经典法、拉氏变换法或计算机求解。其中拉氏变换法可将微积分运算转化算机求解。其中拉氏变换法可将微积分运算转化为代数运算，且可查表，简单实用。本小节只研为代数运算，且可查表，简单实用。本小节只研究用拉氏变换法求解微分方程。究用拉氏变换

13、法求解微分方程。2222用拉氏变换法求解微分方程一般应遵循以下用拉氏变换法求解微分方程一般应遵循以下步骤：步骤：(1)考虑初始条件，将系统微分方程进行拉氏考虑初始条件，将系统微分方程进行拉氏变换，得到以变换，得到以s为变量的代数方程。为变量的代数方程。(2)解代数方程，求出解代数方程，求出C(s)表达式，并将表达式，并将C(s)展开成部分分式形式。展开成部分分式形式。(3)进行拉氏反变换，得到输出量的时域表达进行拉氏反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的全解式，即为所求微分方程的全解c(t)。2323【例例2-5】如图所示RC网络，S闭合前电容上已有电压U0(U0U)，即Uc(0)

14、U0，求S闭合后的uc(t)。2424解 设回路电流为i(t)，S闭合瞬间，ur(t)U1(t)。由基尔霍夫定律可得系统微分方程为将上式进行拉氏变换得2525则将上式进行拉氏反变换，得到微分方程的解为零初始条件响应零初始条件响应零输入响应零输入响应2626在式中，方程右边前两项是在零初始条件在式中，方程右边前两项是在零初始条件(或或状态状态)下，网络输入电压产生的输出分量，称为零下，网络输入电压产生的输出分量，称为零状态响应；后一项是由于系统受到初始状态的影状态响应；后一项是由于系统受到初始状态的影响，表现为非零的初始条件响，表现为非零的初始条件(或状态或状态)所确定的解，所确定的解，与输入电

15、压无关，称为零输入响应。当初始条件与输入电压无关，称为零输入响应。当初始条件全为零时，则零输入响应为零。研究系统的动态全为零时，则零输入响应为零。研究系统的动态特性一般可只研究零初始条件响应。特性一般可只研究零初始条件响应。27272.1.4 非线性微分方程线性化非线性微分方程线性化任何元件和系统几乎程度不同地都存在着非线性关系。任何元件和系统几乎程度不同地都存在着非线性关系。因此，描述输入、输出关系的微分方程一般是非线性微分因此，描述输入、输出关系的微分方程一般是非线性微分方程。方程。非线性微分方程的求解很困难。非线性微分方程的求解很困难。忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不忽略

16、弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）。可以忽略）。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题。够圆满地解决许多工程问题。2828小小偏偏差差线线性性化化法法基基于于一一种种假假设设，就就是是在在控控制制系系统统的的整整个个调调节节过过程程中中，各各个个元元件件的的输输入入量量和和输输出出量量只只是是在在

17、平平衡衡点点附附近近作作微微小小变变化化。这这一一假假设设是是符符合合许许多多控控制制系系统统实实际际工工作作情情况况的的，因因为为对对闭闭环环控控制制系系统统而而言言，一一有有偏偏差差就就产产生生控控制制作作用用，来来减减小小或或消消除除偏偏差差，所所以以各各元元件件只只能能工工作作在在平平衡点附近衡点附近。因因此此，对对于于不不太太严严重重的的非非线线性性系系统统，可可以以在在一一定定的的工工作作范范围围内内线线性性化化处处理理。工工程程上上常常用用的的方方法法是是将将非非线线性性函函数数在在平平衡衡点点附附近近展展开开成成泰泰勒级数，去掉高次项以得到线性函数。勒级数，去掉高次项以得到线性

18、函数。2929设具有连续变化的非线性函数可表示为yf(x)，如图所示。若取某平衡状态A为静态工作点，对应有y0f(x0)。当xx0 x时，有yy0y，如B点。设函数yf(x)在(x0，y0)附近连续可微，则可将函数在(x0，y0)附近用泰勒级数展开为3030当变化量xxx0很小时，可忽略上式中二次以上各项，则有再用增量y和x表示，则式变为yKx(*)式中：是比例系数，它是函数f(x)在A点的切线斜率。式(*)是非线性函数yf(x)的线性化表示。31 31系统线性化的条件系统线性化的条件 系系统统工工作作在在正正常常的的工工作作状状态态，有有一一个个稳稳定定的的工作点工作点;在运行过程中偏离且满

19、足小偏差条件在运行过程中偏离且满足小偏差条件;在在工工作作点点处处，非非线线性性函函数数各各阶阶导导数数均均存存在在，即即函函数数属属于于单单值值、连连续续、光光滑滑的的非非本本质质非非线线性性函数。函数。3232【例例2-6】设铁芯线圈如图(a)所示，其磁通(i)曲线如图(b)所示。试列写以ui为输入量，i为输出量的线性化微分方程。图2-6 铁芯线圈及磁通(i)曲线3333解解 由基尔霍夫定律可写出回路方程为uiuLRi而线圈磁通变化时产生的感应电势为3434式中：d(i)/di是线圈中电流i的非线性函数，因此得到为非线性微分方程。设铁芯线圈原来处于某平衡点(ui0，i0)，则ui0Ri0；

20、且在工作过程中电压和电流只在平衡点附近作微小变化：uiui0ui，ii0i，则0。设(i)在i0的邻域内连续可导，这样可将(i)在i0附近展开为泰勒级数：3535式中：。代入36362.1.5 运动的模态运动的模态运动的模态运动的模态：是由：是由n n阶微分方程的特征根所决定的，代表自阶微分方程的特征根所决定的，代表自 由运动的振型函数。从数学上讲，即是由运动的振型函数。从数学上讲，即是n n阶齐阶齐 次微分方程的通解所包含的振型函数。次微分方程的通解所包含的振型函数。（1 1）如果）如果n n阶微分方程的特征根阶微分方程的特征根无重根无重根，为，为 ，则，则有运动的模态为：有运动的模态为：等函数；等函数；（2 2）如果）如果n n阶微分方程的特征根中有多重根阶微分方程的特征根中有多重根 则有运动的模态为：则有运动的模态为：等函数；等函数；（3 3）如果）如果n n阶微分方程的特征根中有共轭复根阶微分方程的特征根中有共轭复根则有运动的模态为：则有运动的模态为：和和 ，或写成，或写成 和和3737本节小结本节小结1 1、微分方程的建立方法、微分方程的建立方法2 2、微分方程的求解、微分方程的求解3 3、小偏差线性化方法、小偏差线性化方法3838作业：作业：P65 2-4