3.5函数的极值与最大值最小值.ppt

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1、五五 小结与思考判断题小结与思考判断题一一 问题的提出问题的提出二二 函数极值的定义函数极值的定义三三 函数极值点的必要与充分条件函数极值点的必要与充分条件第五节第五节 函数极值与最大函数极值与最大 值值 最小值最小值四四 最值的问题最值的问题12/30/20221一、问题的提出一、问题的提出12/30/20222一般地一般地12/30/20223二 函数极值的定义定义定义12/30/20224函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.注注1 1：极值是函数的局部性概念，与最值不同；：极值是函数的局部性概念，与最值不

2、同；注注2：极大值可能小于极小值：极大值可能小于极小值,极小值可能大于极小值可能大于极大值极大值.12/30/20225三、函数极值点的必要与充分条件三、函数极值点的必要与充分条件1 1、(必要条件必要条件)注注1:例如例如,由费马定理易得函数取得极值的必要条件，由费马定理易得函数取得极值的必要条件，注注2:12/30/202262 (2 (第一充分条件第一充分条件)12/30/20227求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)12/30/20228例例1 1解解极极大大值值极极小小值值12/30/20229图形如下图形如下12/30/2022103(3(第二充分条件第二充分

3、条件)证证12/30/202211（2）同理可以证明当）同理可以证明当时时得寸进尺：？12/30/202212例例2 2解解12/30/20221312/30/202214例例3 3解解注注3:3:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.12/30/202215四 最值的问题1 闭区间上连续函数的最值闭区间上连续函数的最值12/30/202216步骤步骤:1.求驻点：求驻点：3.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或

4、最小值)2.求不可导点：求不可导点：4.比较（比较（3）中函数值大小）中函数值大小,最大的便是最大最大的便是最大值值,最小的便是最小值最小的便是最小值;12/30/202217例例4 4解解12/30/202218计算计算比较得比较得12/30/2022192 2 实际问题的最值实际问题的最值(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;12/30/202220解解(1)建立敌我相距函数关建立敌我相距函数关系系敌我相距函数敌我相距函数敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处处以以1千米千米/分钟的速度向正北逃窜，分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸同时我军摩托车从河的南岸B

5、处处向正东追击，速度为向正东追击，速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何时射击最好问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？（相距最近射击最好）？例例5 512/30/202221解解(1)建立敌我相距函数关建立敌我相距函数关系系敌我相距函数敌我相距函数得唯一驻点得唯一驻点12/30/202222五五 小结与思考判断题小结与思考判断题极值是函数的局部性概念：极值是函数的局部性概念：驻点和不可导点统称为可能的极值点驻点和不可导点统称为可能的极值点.可导函数的极值必在可导函数的极值必在驻点处驻点处取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.12/30/202223思考判断题思考判断题1、函数的极值点有可能在端点处取得。、函数的极值点有可能在端点处取得。2、12/30/202224