2.4.2抛物线的简单几何性质62757.ppt

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1、抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质(1)(1)一、复习回顾：一、复习回顾：.FM.抛物线标准方程抛物线标准方程1、抛物线的定义：、抛物线的定义：标准方程标准方程 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线xyoF.xyFo.yxoF.xoyF2、抛物线的标准方程：、抛物线的标准方程：3、椭圆和双曲线的性质：、椭圆和双曲线的性质：P(x,y)一、抛物线的几何性质一、抛物线的几何性质抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。延伸。1、范围范围由抛物

2、线由抛物线y2=2px（p0）而而所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为关于关于x轴轴对称对称 由于点由于点 也满也满足足 ，故抛物线，故抛物线(p0)关于关于x轴轴对称对称.y2=2pxy2=2px2、对称性、对称性P(x,y)定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的的顶点顶点。P(x,y)由y2=2px（p0）当当y=0时时,x=0,因此抛物线的顶点顶点就是坐标原点（0，0）。注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有双曲线有两个顶点不同。两个顶点不同。、顶点、顶点4、离心率离心率P(x,y)抛物线上的点与焦抛物线上的点与焦点的点的距离距离和它到准

3、线的和它到准线的距离距离 之比，叫做抛物线之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的的离心率，由抛物线的定义，可知定义，可知e=1。下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。5、开口方向、开口方向P(x,y)抛物线抛物线y2=2px（p0）的开）的开口方向向右。口方向向右。+X，x轴正半轴，向右轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下轴负半轴，向下特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴

4、,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P(x,y)方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）lFAxyBB1pp1A1二、抛物

5、线的焦点弦：二、抛物线的焦点弦：lFAxyBB1pp1A1通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 的最小值AxyOBF2F1AxyOBF2F1y.F2F1Oxy.F2F1Ox例例1.顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2,)的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程.当焦点在当焦点在x或或y轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=mx(m 0)或或x2=my(m0),可可避免讨论！避免讨论！三、例题选讲：三、例题选讲：(2)过抛物线的焦点做倾斜角为过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线的直线L,设设L交抛物线于交抛物线于

6、A,B两点两点,(1)求求|AB|;(2)求求|AB|的最小值的最小值.例例2、(1)过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为 .思考思考：通径是抛物线的通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗焦点弦中最短的弦吗？FAxyBFFyOxBA例6、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD2 2、已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标的最小值中点纵坐标的最小值.1 1、在抛物线、

7、在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线：上求一点，使它到直线：4x+3y+46=04x+3y+46=0的的距离最短，并求此距离距离最短，并求此距离.3 3、已知抛物线已知抛物线y y2 2=2x,=2x,过过Q(2,1)Q(2,1)作直线于抛物线交于作直线于抛物线交于A A、B B，求，求ABAB中中点的轨迹方程点的轨迹方程.抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质(2)(2)方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0y

8、 Rx0y Rx Ry0y0 x RlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）复习回顾：复习回顾：直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：1、根据几何图形判断的直接判断、根据几何图形判断的直接判断2、直线与圆、直线与圆锥曲线的公锥曲线的公共点的个数共点的个数 Ax+By+c=0f(x,y)=0(二次方程二次方程)解的个数解的个数形形数数判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二

9、次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00=00)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，两点，求证：求证：OAOB.OAOB.证明：由题意得，证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-A(2p,2p),B(2p,-2p)2p)所以所以 =1=1，=-1=-1因此因此OAOBOAOBxyOy y2 2=2px=2pxA AB BL:x=2pC(2p,0)C(2p,0)变变式式1:1:若若直直线线l l过过定定点点(2p,0)(2p,0)且且与与抛抛物物线线 =2px(p0)=2px(p0)交

10、交于于A A、B B两点，求证：两点，求证：OAOB.OAOB.xyOy2=2pxABlP(2p,0)变式变式2 2：若直线若直线l l与抛物线与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，两点，且且OAOB OAOB，则，则_ _ _.直线直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)xyOy2=2pxABlP高考链接：过定点高考链接：过定点Q Q（2p,0)2p,0)的直线与的直线与y2=2px（p0）交于相异两点）交于相异两点A、B，以线段以线段AB为直径作圆为直径作圆C(C为圆心），为圆心），试证明抛物线顶点在圆试证明抛物线顶点在圆C上。上。xyOy2=2pxABlQ(2p,0)