质点动力学的基本方程10文理.ppt

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1、9 1 动力学的基本定律动力学的基本定律 牛顿三大定律牛顿三大定律第一定律第一定律:不受力或受平衡力系的质点不受力或受平衡力系的质点,将保持静止或匀速直线运动将保持静止或匀速直线运动第二定律第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用在质点上的合力的大小质点的质量与加速度的乘积等于作用在质点上的合力的大小,加速度的方向就是合力的方向加速度的方向就是合力的方向第三定律第三定律:两个物体之间的作用力与反作用力总是两个物体之间的作用力与反作用力总是同时存在同时存在的的,且此二力且此二力等值、反向、共线等值、反向、共线,并分别作用在这两个物体上并分别作用在这两个物体上,1。第一定律和第二定律。第一定律和

2、第二定律仅对质点运动或作平动的刚体有效。仅对质点运动或作平动的刚体有效。2。第二定律仅在。第二定律仅在惯性参照系内成立惯性参照系内成立。3。第三定律不仅适用于。第三定律不仅适用于惯性系，惯性系，同时也适用于同时也适用于非惯性系下物体之非惯性系下物体之 间的相互作用关系。间的相互作用关系。矢量形式的微分方程是矢量形式的微分方程是:2惯性参考系惯性参考系:宇宙万物的运动都是相对的宇宙万物的运动都是相对的,在分析研究万物运动都必须遵循的客观力在分析研究万物运动都必须遵循的客观力学规律时必须有一运动参照系作为标尺学规律时必须有一运动参照系作为标尺,这就是惯性参考系这就是惯性参考系.惯性参考系就是惯性参

3、考系就是作匀速直线运动的物体作匀速直线运动的物体,它的外延就是无限大的运动空间它的外延就是无限大的运动空间.从运动的模型讲惯性参考系是作匀速直线平动的刚体运动从运动的模型讲惯性参考系是作匀速直线平动的刚体运动.在惯性系内在惯性系内所取的任何形式的坐标系都称为惯性坐标系所取的任何形式的坐标系都称为惯性坐标系.绝对作匀速直线平动的物体似乎不存在绝对作匀速直线平动的物体似乎不存在,实际上实际上惯性系是相对的惯性系是相对的.对于小尺度的力学问题对于小尺度的力学问题,地球表面可视为惯性参考系地球表面可视为惯性参考系.地球的自转角速度为地球的自转角速度为 =7.310 5 rad/s,地球的半径为地球的半

4、径为6370公里公里,所以地表面所以地表面的运动在一较小的范围内可视为直线运动的运动在一较小的范围内可视为直线运动(平动平动).所以所以,在一般的工程问题中在一般的工程问题中,把固定于地面的坐标系或相对地面作匀速直把固定于地面的坐标系或相对地面作匀速直线平动的坐标系作为惯性参考系线平动的坐标系作为惯性参考系,可得到相当精确的结果可得到相当精确的结果.研究大尺度的力学问题研究大尺度的力学问题,如如人造卫星、航天飞机、洲际导弹等运动中的力人造卫星、航天飞机、洲际导弹等运动中的力学问题学问题,地球不能视为惯性系地球不能视为惯性系.39 2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程微分方程的直角坐标投影式

5、微分方程的直角坐标投影式:微分方程的自然坐标投影式微分方程的自然坐标投影式:微分方程的柱坐标投影式微分方程的柱坐标投影式:4直直角角坐坐标标下下自自然然坐坐标标下下S(t)MxyzOM5 1力是时间的函数力是时间的函数 直接积分。直接积分。2力是常矢量力是常矢量 直接积分。直接积分。3力是空间位置（坐标）的函数力是空间位置（坐标）的函数 作变量替换后作变量替换后 再积分。再积分。9 3 质点动力学两类基本问题质点动力学两类基本问题 已知已知 x=x(t)y=y(t)z=z(t)或或 S=S(t)(1)已知运动已知运动 求力求力 用用 微分法或代数法。微分法或代数法。(2)已知力求运动已知力求运

6、动 用积分法用积分法.64力是其他变量的函数力是其他变量的函数 较难积分。较难积分。例如例如:c:质点运动的路径质点运动的路径.对于质点系或平动刚体系统的动力学问题对于质点系或平动刚体系统的动力学问题,需用所谓的需用所谓的“隔离法隔离法”对对每一个研究对象施用动力学基本方程每一个研究对象施用动力学基本方程.7例例1.曲柄连杆机构如图示曲柄连杆机构如图示,曲柄曲柄OA=r,以匀角速度以匀角速度 绕绕O轴转动轴转动,连杆连杆 AB=OA=r,设滑块的质量为设滑块的质量为m,连杆连杆AB的质量不计的质量不计.求当求当 =0、=/3 时时连杆连杆AB所受到的力及滑块所受到的力及滑块B所受地面的约束力所

7、受地面的约束力.解解:滑块滑块B沿水平轴直线运动沿水平轴直线运动滑块的运动方程式为滑块的运动方程式为:当当 =0 取滑块分析受力及运动取滑块分析受力及运动由作用反作用关系可知由作用反作用关系可知,AB杆受杆受2m 2r 的拉力的拉力.由动力学基本方程由动力学基本方程在水平方向的投影在水平方向的投影8当当 =/3 取滑块分析受力及运动取滑块分析受力及运动由动力学基本方程由动力学基本方程在铅垂方向的投影在铅垂方向的投影由动力学基本方程由动力学基本方程在水平方向的投影在水平方向的投影由动力学基本方程由动力学基本方程在铅垂方向的投影在铅垂方向的投影9OBA 例例2.小球质量为小球质量为m，悬挂于长为悬

8、挂于长为L 的细绳上，的细绳上，绳重不计。绳重不计。小球小球在铅垂面内摆动。小球在最低处时速度为在铅垂面内摆动。小球在最低处时速度为v0，摆到最高处时小球摆到最高处时小球的速度为零，且绳与铅垂夹角为的速度为零，且绳与铅垂夹角为 0.求：求：1 小球在最低处小球在最低处A 和最高处和最高处B 时绳子的拉力。时绳子的拉力。2小球在绳子与铅垂成任意夹角小球在绳子与铅垂成任意夹角 时的速度。时的速度。解解:1取小球在取小球在A、B处进行受力及运动分析处进行受力及运动分析:由由对对A处位置处位置对对B处位置处位置BA10BOA2取运动到任意位置的小球分析取运动到任意位置的小球分析(求求:小球在绳子与铅垂

9、成任意小球在绳子与铅垂成任意夹角夹角 时的速度时的速度.)由由得得由变量替换由变量替换积分得积分得:11例例3.(参见书上例参见书上例9 3)一圆锥摆一圆锥摆.小球质量小球质量m=0.1kg,细绳长细绳长 l=0.3m.小小球在水平面内作匀速圆周运动球在水平面内作匀速圆周运动,此时绳与水平面成此时绳与水平面成 =60.求小球的速度及绳子的拉力的大小求小球的速度及绳子的拉力的大小.解：取小球为研究对象，解：取小球为研究对象，受力及运动分受力及运动分 析如图示析如图示.建立自然投影坐标建立自然投影坐标由由动力学基本方程动力学基本方程方向的投影如何方向的投影如何?mgAO60M12例例4 质量为质量

10、为m 的的质点带有电荷质点带有电荷e,以速度以速度vo 进入按进入按 E=Acoskt 变化的电场中变化的电场中,初速度方向与场强方向垂直初速度方向与场强方向垂直.已知质点在电场中受力已知质点在电场中受力F=e E,且且 A、k 为为 常数常数.忽略质点的重力忽略质点的重力.求求:质点的运动方程和运动轨迹质点的运动方程和运动轨迹.0 xym解解:取质点分析其受力取质点分析其受力 建立坐标如图示建立坐标如图示130 xym由初始条件由初始条件:两式联立消去两式联立消去t 后可得后可得:14例例6.(书上例书上例9 4)粉碎机滚筒半径为粉碎机滚筒半径为R,绕通过中心的水平轴匀速转动绕通过中心的水平

11、轴匀速转动,筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升.为了使铁球获得粉碎矿石的能量为了使铁球获得粉碎矿石的能量,铁铁 球应在球应在 =0 时才掉下来时才掉下来.求滚筒每分钟的转数求滚筒每分钟的转数.0 0 解解:取位置在取位置在 0 处的小球为研究对象处的小球为研究对象受力及受力及运动情况如图运动情况如图由题意可知由题意可知,当当 =0 时时FN=0.由由15 例例7.滑块滑块B 重重G=9.8(N).通过固结在滑块上的销钉由摇杆通过固结在滑块上的销钉由摇杆OA 带动带动.在在摇杆与水平线夹角摇杆与水平线夹角 =30时时,=2rad/s,=2rad/s,OB=0.5m.设设

12、摇杆的质量与各处的摩擦不计摇杆的质量与各处的摩擦不计.求求:此时此时,导槽对滑块的约束力及销钉导槽对滑块的约束力及销钉B与摇杆之间的作用力与摇杆之间的作用力.OAB 解解:首先对系统进行运动分析首先对系统进行运动分析.速度分析速度分析.30B加速度分析加速度分析.B60取销钉为动点取销钉为动点,OA 杆为动系杆为动系.16xy加速度分析加速度分析.即是即是B 点的点的加速度加速度 为为 3.82 m/s取滑块取滑块B 为研究对象为研究对象,分析其运动和受力分析其运动和受力.OAB xy30B由由向向y轴方向投影轴方向投影:B17为了求为了求B 点的加速度点的加速度,我们还可以用我们还可以用 函

13、数法函数法.OAB 取过取过滑块的中线与过滑块的中线与过O 点的水平线的交点为坐点的水平线的交点为坐标原点标原点,建立坐标轴建立坐标轴O1yO1yB点的运动方程点的运动方程18r xmAB 例例8.(习习9 9)滑块滑块A的质量为的质量为m,因绳子牵引而沿水平导轨滑动因绳子牵引而沿水平导轨滑动,绳子另一端缠绳子另一端缠绕在半径为绕在半径为r的鼓轮上的鼓轮上,鼓轮以等角速度鼓轮以等角速度 转动转动.若不计导轨的摩擦若不计导轨的摩擦,求绳子拉求绳子拉力力F与距离与距离x的关系的关系.解解:由速度投影定理由速度投影定理19r xmAB 取滑块取滑块A分析受力及运动分析受力及运动由由动力学基本方程动力

14、学基本方程水平方向有水平方向有:20例例9.(习习9 10)一人站在高度为一人站在高度为h的河岸上的河岸上,用绳子拉动用绳子拉动m =40 kg 的小船的小船,如图如图所示所示.设他用的力大小不变设他用的力大小不变,为为F=150N.开始时开始时,小船位于小船位于B点点,OB=b=7m,初速度为零初速度为零.已知已知 OC=c=3cm,水的阻力忽略不计水的阻力忽略不计.求小船被拉到求小船被拉到C点时所具有点时所具有的速度的速度.解解:建立坐标如图示建立坐标如图示小船小船B端在端在B、C间任意位间任意位置时置时,可建立动力学方程可建立动力学方程:21由初始条件由初始条件当小船被拉到当小船被拉到C

15、点时点时x=3(m)方向向右方向向右.如果建立坐标如图示如果建立坐标如图示,则有则有:22令令y=x 7 由初始条件由初始条件当小船被拉到当小船被拉到C点时点时x=4(m)方向向右方向向右.23 例例10.质量为质量为20kg的物块的物块B用用2m长的绳子悬挂在长的绳子悬挂在 30 kg的小车上的小车上.不计摩擦不计摩擦.试确定系统从图示位置释放瞬时试确定系统从图示位置释放瞬时,小车的加速度和绳子的张力小车的加速度和绳子的张力.30BAAF解解:取小车分析取小车分析取物块取物块B分析分析释放后释放后AB绳为刚体平面运动绳为刚体平面运动沿铅垂方向投影沿铅垂方向投影将将由由(1)、(2)、(3)联

16、立可得联立可得:FB24思考题思考题 9 4.某人用枪瞄准了空中一悬挂的靶体某人用枪瞄准了空中一悬挂的靶体.如在子弹射出的同时靶体开始如在子弹射出的同时靶体开始 自由下落自由下落,不计空气阻力不计空气阻力,问子弹能否击中靶体问子弹能否击中靶体?答曰答曰:必中靶体必中靶体.ty25关于运动微分方程坐标轴方向的选择问题关于运动微分方程坐标轴方向的选择问题:如果由题意能判断出运动的方向如果由题意能判断出运动的方向(速度方向速度方向),则选择坐标轴的方向尽量则选择坐标轴的方向尽量 与运动的方向一致与运动的方向一致.xyO已知运动质点已知运动质点m受重力和空气阻力作用如图示受重力和空气阻力作用如图示,试建立运动微分方程试建立运动微分方程图示中图示中,26xyO图示中图示中,27