平稳时间序列分析(1).ppt

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1、一、时间序列分析三种常用方法性工具：一、时间序列分析三种常用方法性工具：差分运算差分运算-p阶，阶，k步步延迟算子延迟算子-将序列值回退将序列值回退 Xt-p=BpXt线性差分方程线性差分方程-非齐次与齐次；特征方程与特征非齐次与齐次；特征方程与特征根；特解与通解根；特解与通解二、二、ARMA模型之模型之AR模型模型P阶阶AR模型形式模型形式-中心化，非中心化；中心化中心化，非中心化；中心化变换；自回归系数多项式变换；自回归系数多项式 G(B)Xt=tAR模型平稳性判别模型平稳性判别-特征根判别，平稳域判别；特征根判别，平稳域判别；AR(1)AR(2)平稳判别条件平稳判别条件上次课内容回顾上次

2、课内容回顾三、平稳三、平稳AR模型的统计性质模型的统计性质n均值均值n方差方差n协方差协方差n自相关系数自相关系数n偏自相关系数偏自相关系数1、均值、均值n如果如果AR(p)模型满足平稳性，则有模型满足平稳性，则有n因平稳序列均值为常数，且因平稳序列均值为常数，且t 为白噪声序列，有为白噪声序列，有n则则（即（即AR的中心化变换）的中心化变换）（1）Green函数函数定义定义nAR模型的传递形式模型的传递形式 2、方差、方差其中其中ki(i=1,p)为常数，为常数，i为特征值且在单位圆内为特征值且在单位圆内n框中式子称为框中式子称为AR模型的模型的传递形式传递形式，而系数，而系数Gj,j=1,

3、2,称为称为Green函数函数。nGreen函数性质函数性质：呈负指数下降，且：呈负指数下降，且（2）Green函数函数递推公式递推公式利用待定系数法解上述方程可得利用待定系数法解上述方程可得递推公式递推公式 对平稳对平稳AR模型的传递形式模型的传递形式 两边求方差得两边求方差得（3）AR的的方差方差【例例3.2】求平稳求平稳AR(1)模型的方差模型的方差n平稳平稳AR(1)模型的传递形式为模型的传递形式为nGreen函数为函数为n平稳平稳AR(1)模型的方差模型的方差特征根特征根=1平平稳时，13、协方差函数、协方差函数n在平稳在平稳AR(p)模型两边同乘模型两边同乘xt-k，再求期望，再求

4、期望n因平稳性且中心化，有因平稳性且中心化，有n得得协方差函数的协方差函数的递推公式递推公式【例例3.3】求平稳求平稳AR(1)模型的协方差模型的协方差 由协方差函数递推公式由协方差函数递推公式 而平稳而平稳AR(1)模型的方差为模型的方差为n协方差函数的协方差函数的递推公式递推公式为为0 0即方差即方差【例例3.4】求平稳求平稳AR(2)模型的协方差模型的协方差n平稳平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为模型的协方差函数递推公式为4、自相关系数、自相关系数 因相关系数的定义因相关系数的定义 由协方差函数递推公式易得由协方差函数递推公式易得n平稳平稳AR(P)模型的模型的自相关系数递推公式自

5、相关系数递推公式n可推得：常用平稳可推得：常用平稳AR模型自相关系数递推公式模型自相关系数递推公式nAR(1)模型模型nAR(2)模型模型n平稳平稳AR模型自相关系数的模型自相关系数的拖尾性拖尾性n拖尾性拖尾性n呈复指数衰减呈复指数衰减【例例3.5】考察如下平稳的考察如下平稳的AR模型的自相关图模型的自相关图例例3.5n自相关系数按复指数单调收敛到零自相关系数按复指数单调收敛到零例例3.5n自相关系数自相关系数 单调收敛到零单调收敛到零例例3.5n自相关系数呈现出自相关系数呈现出“伪周期伪周期”性性例例3.5n自相关系数不规则衰减自相关系数不规则衰减5、偏自相关系数、偏自相关系数n定义定义 对

6、于平稳对于平稳AR(p)序列，所谓序列，所谓滞后滞后k偏自相关系数偏自相关系数就就是指在给定中间是指在给定中间k-1个随机变量个随机变量xt-1,xt-2,Xt-k+1 的条件下（即在剔除了中间的条件下（即在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后）个随机变量的干扰之后），xt-k对对xt 影响的相关度量。即影响的相关度量。即n偏自相关系数的偏自相关系数的计算计算n滞后滞后k k偏自相关系数实际上就等于偏自相关系数实际上就等于k k阶自回阶自回归模型第个归模型第个k k回归系数的值回归系数的值。n平稳平稳AR模型偏自相关系数的模型偏自相关系数的截尾性截尾性nAR(p)模型偏自相关系数模型偏自相关系

7、数P阶截尾阶截尾例例3.5续续:考察平稳考察平稳AR模型的偏自相关图模型的偏自相关图例例3.5n理论偏自相关系数理论偏自相关系数n样本偏自相关图样本偏自相关图例例3.5n理论偏自相关系数理论偏自相关系数n样本偏自相关图样本偏自相关图例例3.5n理论偏自相关系数理论偏自相关系数n样本偏自相关图样本偏自相关图例例3.5n理论偏自相关系数理论偏自相关系数n样本偏自相关系数图样本偏自相关系数图二、二、MA模型模型n1 1、定义、定义：具有如下结构的模型称为：具有如下结构的模型称为q q阶阶移动平均模型移动平均模型，简记为，简记为 MA(qMA(q)n特别当特别当=0=0时，称为时，称为中心化中心化MA

8、(qMA(q)模型。模型。【注意注意】（1）MA模型总满足平稳条件模型总满足平稳条件；（2）AR(p)的假设条件不满足时可以考虑用此的假设条件不满足时可以考虑用此模型。（模型。（3）系数敏感性较）系数敏感性较AR模型差。模型差。用均值用均值+过去时期的随机干扰过去时期的随机干扰或误差来预测自己或误差来预测自己n移动平均系数多项式移动平均系数多项式n引进延迟算子，中心化引进延迟算子，中心化MA(qMA(q)模型可简记为模型可简记为 n q阶移动平均系数多项式阶移动平均系数多项式2、MA模型的统计性质模型的统计性质n均值为常数均值为常数n方差为常数方差为常数n自协方差函数自协方差函数q阶截尾阶截尾

9、n自相关系数自相关系数q阶截尾阶截尾n常用常用MA模型的自相关系数模型的自相关系数nMA(1)模型模型nMA(2)模型模型n 偏自相关系数拖尾偏自相关系数拖尾【注意注意】MA模型的自相关系数模型的自相关系数q阶截尾及偏自相关阶截尾及偏自相关系数拖尾，正好与系数拖尾，正好与AR模型相反。模型相反。【例例3.6】考察如下考察如下MA模型的相关性质模型的相关性质（1）（）（2）MA模型的自相关系数截尾模型的自相关系数截尾n n 两自相关图相同两自相关图相同（3）（）（4）MA模型的自相关系数截尾模型的自相关系数截尾n n 两自相关图相同两自相关图相同(1)(2)MA模型的偏自相关系数拖尾模型的偏自相

10、关系数拖尾n n 两偏自相关图相同两偏自相关图相同(3)(4)MA模型的偏自相关系数拖尾模型的偏自相关系数拖尾n n 两偏自相关图相同两偏自相关图相同3、MA模型的可逆性模型的可逆性n自相关系数列对应自相关系数列对应MA模型的模型的不唯一性不唯一性 例例3.6中不同的中不同的MA模型有相同的自相关系数和模型有相同的自相关系数和偏自相关系数，这样对利用自相关系数选择合适模偏自相关系数，这样对利用自相关系数选择合适模型带来困惑。型带来困惑。n可逆可逆MA模型定义模型定义 若一个若一个MA模型能够表示为收敛的模型能够表示为收敛的AR模型，模型，那么该那么该MA模型称为模型称为可逆可逆MA模型模型n一

11、自相关系数唯一一自相关系数唯一对应一可逆对应一可逆MA模型模型。n可逆可逆MA(1)模型条件模型条件n n 虽然形式一样，但可逆时条件要虽然形式一样，但可逆时条件要求不同，仍是一一对应求不同，仍是一一对应nMA模型的可逆条件模型的可逆条件nMA(q)模型的模型的可逆条件可逆条件是：是：nMA的的AR形式的特征根都在单位圆内，即形式的特征根都在单位圆内，即n等价于等价于MA的系数多项式的根都在单位圆外的系数多项式的根都在单位圆外n可见，若可见，若MA可逆，则可逆，则MA的可逆性与相应的可逆性与相应AR形式形式的平稳性等价的。的平稳性等价的。nMA的逆函数的递推公式的逆函数的递推公式n对可逆的对可逆的MA模型，有模型，有n利用待定系数法可得利用待定系数法可得n逆函数逆函数I(B)I(B)递推公式递推公式例例3.6续续 考察如下考察如下MA模型的可逆性模型的可逆性(1)(2)由由MA(1)可逆条件可逆条件 及逆函数的递推公式：及逆函数的递推公式：n n n逆函数逆函数n则模型的逆转形式则模型的逆转形式(3)(4)n n n逆函数逆函数n逆转形式逆转形式作业作业 P98习题三习题三 9、11（2）（）（4）