《系统的数学模型》PPT课件.ppt

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1、第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 系统的数学模型：系统的数学模型：描述系统输入输出关描述系统输入输出关系的数学表达式系的数学表达式。本章主要内容本章主要内容1）线性微分方程式的建立及微分方程线）线性微分方程式的建立及微分方程线性化的方法性化的方法2）拉普拉斯变换及传递函数概念）拉普拉斯变换及传递函数概念3）系统方块图和信号流程图的概念）系统方块图和信号流程图的概念 第一节第一节 引引 言言 一、系统的数学模型一、系统的数学模型 数学模型就是系统的输出与输入间的数学表数学模型就是系统的输出与输入间的数学表达式。分为静态模型和动态模型。达式。分为静态模型和动态模型。静态模型：静态模型：在

2、静态条件下得到的方程。一般在静态条件下得到的方程。一般用代数方程来表示。用代数方程来表示。动态模型：动态模型：在动态条件下得到的方程。一般在动态条件下得到的方程。一般用微分方程式来描述。用微分方程式来描述。工程上常用的数学模型包括微分方程、传递工程上常用的数学模型包括微分方程、传递函数和状态方程，函数和状态方程，微分方程微分方程是基本的数学模是基本的数学模型，是列写传递函数的基础。型，是列写传递函数的基础。u理论分析理论分析u可以大致确定数学模型的阶次、参数与结构可以大致确定数学模型的阶次、参数与结构可以大致确定数学模型的阶次、参数与结构可以大致确定数学模型的阶次、参数与结构u试验法试验法u可

3、以最终确定数学模型的形式。可以最终确定数学模型的形式。可以最终确定数学模型的形式。可以最终确定数学模型的形式。两种方法是相辅相成的。两种方法是相辅相成的。从理论上建立系统的数学模型，常称为理论从理论上建立系统的数学模型，常称为理论建模。建模。系统数学模型获取方法系统数学模型获取方法二、线性系统二、线性系统 如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为线性系统。一个系统，无论是用代数方程还是线性系统。一个系统，无论是用代数方程还是用微分方程来描述，其组成项的最高指数称为用微分方程来描述，其组成项的最高指数称为方程的次数。一次微分方程叫做线性微分方程；方程的次数

4、。一次微分方程叫做线性微分方程；除此以外非一次的微分方程称为非线性微分方除此以外非一次的微分方程称为非线性微分方程。程。微分方程中，无论是微分方程中，无论是因变量或者是它的导数因变量或者是它的导数，都不高于一次方，并且没有一项是因变量与其都不高于一次方，并且没有一项是因变量与其导数之积，则此微分方程就是线性微分方程。导数之积，则此微分方程就是线性微分方程。用这种方程描述的系统称为用这种方程描述的系统称为线性系统线性系统。下列微分方程描述的系统为线性系统。下列微分方程描述的系统为线性系统。下列微分方程描述的系统为非线性系统。下列微分方程描述的系统为非线性系统。线性系统最重要的特性，就是叠加原理。

5、线性系统最重要的特性，就是叠加原理。线性系统最重要的特性，就是叠加原理。线性系统最重要的特性，就是叠加原理。若系统在输入若系统在输入若系统在输入若系统在输入x x1 1(t t)作用下的输出为作用下的输出为作用下的输出为作用下的输出为y y1 1(t t)，而在另一，而在另一，而在另一，而在另一个输入个输入个输入个输入x x2 2(t t)作用下的输出为作用下的输出为作用下的输出为作用下的输出为y y2 2(t t)，并记为，并记为，并记为，并记为 x x1 1(t t)y y1 1(t t)x x2 2(t t)y y2 2(t t)则以下关系则以下关系则以下关系则以下关系 x x1 1(t

6、 t)+x+x2 2(t t)y y1 1(t t)+y+y2 2(t t)称称称称为为为为叠加性或叠加原理叠加性或叠加原理叠加性或叠加原理叠加性或叠加原理 叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于系叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于系叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于系叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于系统的响应（输出），等于两个输入函数单独作用的响统的响应（输出），等于两个输入函数单独作用的响统的响应（输出），等于两个输入函数单独作用的响统的响应（输出），等于两个输入函数单独作用的响应之和。因此，线性系统对几个输入量的响应，可以应之和。因此，线性系统对几个

7、输入量的响应，可以应之和。因此，线性系统对几个输入量的响应，可以应之和。因此，线性系统对几个输入量的响应，可以一个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。一个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。一个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。一个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。线性系统的叠加性线性系统的叠加性三、非线性系统三、非线性系统 用非线性方程表示的系统，叫做非线性系统。用非线性方程表示的系统，叫做非线性系统。虽然许多物理关系常以线性方程来表示，但虽然许多物理关系常以线性方程来表示，但是在大多数情况下，实际的关系并非是真正是在大多数情况下，实际的关系并非是真正线性的。即使

8、对所谓的线性系统来说，也只线性的。即使对所谓的线性系统来说，也只是在一定的工作范围内或忽略去那些影响较是在一定的工作范围内或忽略去那些影响较小的非线性因素所引起的误差，工程上又允小的非线性因素所引起的误差，工程上又允许的话，这一系统就可以作为线性系统来处许的话，这一系统就可以作为线性系统来处理。理。当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件；当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件；当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件；当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件；当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线当输入信号较大而

9、工作在饱和区时，就必须作为非线当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线性元件来处理。性元件来处理。性元件来处理。性元件来处理。饱和非线性饱和非线性当输入信号在一定范围内当输入信号在一定范围内当输入信号在一定范围内当输入信号在一定范围内变化时，具有饱和特性的变化时，具有饱和特性的变化时，具有饱和特性的变化时，具有饱和特性的环节其输入输出呈线性关环节其输入输出呈线性关环节其输入输出呈线性关环节其输入输出呈线性关系；当输入信号系；当输入信号系；当输入信号系；当输入信号x x的绝对值的绝对值的绝对值的绝对值超出其线性范围后，输出超出其线性范围后，输出超出其线性范围后，输出超出其线性范围后，输出信

10、号不再随输入信号变化信号不再随输入信号变化信号不再随输入信号变化信号不再随输入信号变化而保持在一常值上。具有而保持在一常值上。具有而保持在一常值上。具有而保持在一常值上。具有饱和特性的元件如放大器、饱和特性的元件如放大器、饱和特性的元件如放大器、饱和特性的元件如放大器、调节器等。调节器等。调节器等。调节器等。只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调输入呈线性关系

11、。例如各种测量元件的不灵敏区，调输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态它作为线性特性处

12、理；当死区较大时，将使系统静态误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。死区非线性死区非线性死区特性又称不灵敏特性，图死区特性又称不灵敏特性，图死区特性又称不灵敏特性，图死区特性又称不灵敏特性，图中横坐标为输入，纵坐标为输中横坐标为输入，纵坐标为输中横坐标为输入，纵坐标为输中横坐标为输入，纵坐标为输出。当输入信号在零附近变化出。当输入信号在零附近变化出。当输入信号在零附近变化出。当输入信号在零附近变化时，系统输出为零。时，系统输出为零。时，系统输出为零。时，系统输出为零。间隙非

13、线性间隙非线性传动机构的间隙也是控制系统传动机构的间隙也是控制系统传动机构的间隙也是控制系统传动机构的间隙也是控制系统中一种常见的非线性特性现象。中一种常见的非线性特性现象。中一种常见的非线性特性现象。中一种常见的非线性特性现象。在机械传动中，由于加工精度在机械传动中，由于加工精度在机械传动中，由于加工精度在机械传动中，由于加工精度的限制及运动件相互配合的需的限制及运动件相互配合的需的限制及运动件相互配合的需的限制及运动件相互配合的需要，总会有一定的间隙存在。要，总会有一定的间隙存在。要，总会有一定的间隙存在。要，总会有一定的间隙存在。例如齿轮传动，为保证转动灵例如齿轮传动，为保证转动灵例如齿

14、轮传动，为保证转动灵例如齿轮传动，为保证转动灵活不发生卡死现象，必须容许活不发生卡死现象，必须容许活不发生卡死现象，必须容许活不发生卡死现象，必须容许有少量间隙。有少量间隙。有少量间隙。有少量间隙。由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮（其转角为输入信号（其转角为输入信号（其转角为输入信号（其转角为输入信号x x(t t)）总要转过间隙量）总要转过间隙量）总要转过间隙量）总要转过间隙量2 2 x x的空行的空行的空行的空行程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信

15、号程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号y y(t t)）转）转）转）转动，形成如图所示的环状间隙特性。动，形成如图所示的环状间隙特性。动，形成如图所示的环状间隙特性。动，形成如图所示的环状间隙特性。在机械传动中，摩擦是在机械传动中，摩擦是在机械传动中，摩擦是在机械传动中，摩擦是必然存在的物理因素。必然存在的物理因素。必然存在的物理因素。必然存在的物理因素。例如执行机构由静止状例如执行机构由静止状例如执行机构由静止状例如执行机构由静止状态启动，必须克服机构态启动，必须克服机构态启动，必须克服机构态启动，必须克服机构中的

16、静摩擦力矩中的静摩擦力矩中的静摩擦力矩中的静摩擦力矩y y1 1 。启。启。启。启动之后，又要克服机构动之后，又要克服机构动之后，又要克服机构动之后，又要克服机构中的动摩擦力矩中的动摩擦力矩中的动摩擦力矩中的动摩擦力矩y y2 2 。一。一。一。一般静摩擦力矩大于动摩般静摩擦力矩大于动摩般静摩擦力矩大于动摩般静摩擦力矩大于动摩擦力矩。如图所示。擦力矩。如图所示。擦力矩。如图所示。擦力矩。如图所示。摩擦间隙非线性摩擦间隙非线性非线性系统不能应用叠加原理。因此，对包含非线性系统不能应用叠加原理。因此，对包含非线性系统不能应用叠加原理。因此，对包含非线性系统不能应用叠加原理。因此，对包含有非线性系统

17、的问题求解，非常复杂。为了绕有非线性系统的问题求解，非常复杂。为了绕有非线性系统的问题求解，非常复杂。为了绕有非线性系统的问题求解，非常复杂。为了绕过由非线性系统而造成的数学上的难关，常需过由非线性系统而造成的数学上的难关，常需过由非线性系统而造成的数学上的难关，常需过由非线性系统而造成的数学上的难关，常需引入引入引入引入“等效等效等效等效”线性系统线性系统线性系统线性系统来代替非线性系统。如来代替非线性系统。如来代替非线性系统。如来代替非线性系统。如饱和非线性和死区非线性。这种等效线性系统，饱和非线性和死区非线性。这种等效线性系统，饱和非线性和死区非线性。这种等效线性系统，饱和非线性和死区非

18、线性。这种等效线性系统，仅在一定的工作范围内是正确的。仅在一定的工作范围内是正确的。仅在一定的工作范围内是正确的。仅在一定的工作范围内是正确的。非本质非线性：非本质非线性：非本质非线性：非本质非线性：没有间断点、折断点的非线性，没有间断点、折断点的非线性，没有间断点、折断点的非线性，没有间断点、折断点的非线性，可用线性化处理的数学模型。可用线性化处理的数学模型。可用线性化处理的数学模型。可用线性化处理的数学模型。“等效等效”线性系统线性系统本质非线性：本质非线性：本质非线性：本质非线性：有间断点、折断点的非线性，只有间断点、折断点的非线性，只有间断点、折断点的非线性，只有间断点、折断点的非线性

19、，只能用非线性理论去解决。能用非线性理论去解决。能用非线性理论去解决。能用非线性理论去解决。第二节第二节 线性微分方程式的建立线性微分方程式的建立 一、建立线性微分方程式的步骤一、建立线性微分方程式的步骤 1、首先将系统划分为若干个环节，、首先将系统划分为若干个环节，确定每一确定每一环节的输入信号和输出信号环节的输入信号和输出信号。确定输入信号和。确定输入信号和输出信号时，应使前一环节的输出信号是后一输出信号时，应使前一环节的输出信号是后一环节的输入信号。环节的输入信号。2、写出每一环节（或元件）输出信号和输入写出每一环节（或元件）输出信号和输入信号相互关系的运动方程式信号相互关系的运动方程式

20、，找出联系输出量，找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。而这些物理定律的数学表达式系的物理规律。而这些物理定律的数学表达式就是环节（或元件）的原始方程式。在此同时就是环节（或元件）的原始方程式。在此同时再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性化，忽略一些次要因素等化，忽略一些次要因素等。3.消去中间变量，列出各变量间的关系式。消去中间变量，列出各变量间的关系式。最后得到只包含最后得到只包含输入量和输出量输入量和输出量的方程的方程式。式。4.化成标准形式，即化成标准形式，即输出量放在方程

21、式的输出量放在方程式的左端，而输入量放在方程式的右端左端，而输入量放在方程式的右端，且各，且各阶导数项按降幂排列阶导数项按降幂排列*建立数学模型的基础：建立数学模型的基础：机械运动：机械运动：牛顿定理、能量守恒定理牛顿定理、能量守恒定理 电电 学：学：欧姆定理、基尔霍夫定律欧姆定理、基尔霍夫定律 热热 学：学：传热定理、热平衡定律传热定理、热平衡定律机械系统设备大致分两类：平移的和旋转机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区别在于前者施加的力而的。它们之间的区别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生的是转角。的是转角。牛顿定律和虎

22、克定律牛顿定律和虎克定律等物理定等物理定律是建立机械系统数学模型的基础律是建立机械系统数学模型的基础 二、举例二、举例 1机械系统的微分方程式机械系统的微分方程式 机械运动系统的三要素机械运动系统的三要素质量质量 m弹簧弹簧 k阻尼阻尼 f（1 1）机械平移系统）机械平移系统）机械平移系统）机械平移系统图图图图2-22-2为一具有质量为一具有质量为一具有质量为一具有质量mm、弹、弹、弹、弹性系数为性系数为性系数为性系数为k k的弹簧和阻尼系的弹簧和阻尼系的弹簧和阻尼系的弹簧和阻尼系数为数为数为数为f f的阻尼器组成的机械的阻尼器组成的机械的阻尼器组成的机械的阻尼器组成的机械系统。施加以外力系统

23、。施加以外力系统。施加以外力系统。施加以外力x x(t t)，研，研，研，研究外力究外力究外力究外力x x(t t)与位移与位移与位移与位移y y(t t)的关系。的关系。的关系。的关系。假设参考坐标假设参考坐标假设参考坐标假设参考坐标y y0 0 是静止的。是静止的。是静止的。是静止的。系统的原始方程的建立：系统的原始方程的建立：系统的原始方程的建立：系统的原始方程的建立：根据牛顿第二定律，外力根据牛顿第二定律，外力根据牛顿第二定律，外力根据牛顿第二定律，外力x x(t t)应该与质量应该与质量应该与质量应该与质量mm产生的惯产生的惯产生的惯产生的惯性力性力性力性力x x1 1(t t)、弹

24、簧产生的弹、弹簧产生的弹、弹簧产生的弹、弹簧产生的弹性力性力性力性力x x2 2(t t)以及阻尼器产生以及阻尼器产生以及阻尼器产生以及阻尼器产生的阻尼力的阻尼力的阻尼力的阻尼力x x3 3(t t)相平衡，即相平衡，即相平衡，即相平衡，即 （2-1）式中式中 因而式（因而式（2-1）可写成：）可写成：（2-2）例例例例2-1 2-1 图图图图2-3a2-3a所示组合机床动力滑台铣平面时的所示组合机床动力滑台铣平面时的所示组合机床动力滑台铣平面时的所示组合机床动力滑台铣平面时的情况。当切削力情况。当切削力情况。当切削力情况。当切削力f fi i(t t)变化时，滑台可能产生振动，变化时，滑台可

25、能产生振动，变化时，滑台可能产生振动，变化时，滑台可能产生振动，从而降低被加工工件质量。为了分析这个系统，从而降低被加工工件质量。为了分析这个系统，从而降低被加工工件质量。为了分析这个系统，从而降低被加工工件质量。为了分析这个系统，首先将动力滑台连同铣刀抽象成如图首先将动力滑台连同铣刀抽象成如图首先将动力滑台连同铣刀抽象成如图首先将动力滑台连同铣刀抽象成如图2-3b2-3b所示的所示的所示的所示的质量质量质量质量-弹簧弹簧弹簧弹簧-阻尼系统的力学模型（其中，阻尼系统的力学模型（其中，阻尼系统的力学模型（其中，阻尼系统的力学模型（其中，MM为受为受为受为受控质量；控质量；控质量；控质量；k k为

26、弹性刚度；为弹性刚度；为弹性刚度；为弹性刚度；f f为粘性阻尼系数；为粘性阻尼系数；为粘性阻尼系数；为粘性阻尼系数；y yo o(t t)为输出位移）。为输出位移）。为输出位移）。为输出位移）。图图2-3 组合机床动力滑台及其力学模型组合机床动力滑台及其力学模型 根据牛顿第二定律可得根据牛顿第二定律可得 将输出变量项写在等号右边，阶次由高向低将输出变量项写在等号右边，阶次由高向低将输出变量项写在等号右边，阶次由高向低将输出变量项写在等号右边，阶次由高向低排列，得排列，得排列，得排列，得 机械平移系统练习题机械平移系统练习题如图所示机械系统。求其微分方程，图中如图所示机械系统。求其微分方程，图中

27、如图所示机械系统。求其微分方程，图中如图所示机械系统。求其微分方程，图中X Xi i 表示输入表示输入表示输入表示输入位移，位移，位移，位移，X Xo o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。表示输出位移，假设输出端无负载效应。表示输出位移，假设输出端无负载效应。表示输出位移，假设输出端无负载效应。（f f、f f1 1、f f2 2为阻尼系数，为阻尼系数，为阻尼系数，为阻尼系数，k k1 1、k k2 2为弹性系数）为弹性系数）为弹性系数）为弹性系数）解：（解：（1）对图）对图a所示系统，由所示系统，由牛顿定律有牛顿定律有即即消除中间变量消除中间变量x有有（2）对图）对图b所示系统，引所示系

28、统，引入一中间变量入一中间变量x并由牛顿定并由牛顿定律有：律有：(3)对图对图c所示系统，由牛顿所示系统，由牛顿定律有定律有即即（2 2）机械旋转系统）机械旋转系统）机械旋转系统）机械旋转系统 图图图图2-42-4 所示的转动惯量为所示的转动惯量为所示的转动惯量为所示的转动惯量为J J的转子与弹性系数为的转子与弹性系数为的转子与弹性系数为的转子与弹性系数为k k的的的的弹性轴和阻尼系数为弹性轴和阻尼系数为弹性轴和阻尼系数为弹性轴和阻尼系数为f f的阻尼器连接。假设外部施加的阻尼器连接。假设外部施加的阻尼器连接。假设外部施加的阻尼器连接。假设外部施加扭矩扭矩扭矩扭矩mm(t t),),则系统产生

29、一个偏离平衡位置的角位移则系统产生一个偏离平衡位置的角位移则系统产生一个偏离平衡位置的角位移则系统产生一个偏离平衡位置的角位移 (t)。现研究外扭矩。现研究外扭矩。现研究外扭矩。现研究外扭矩m(t)和角位移和角位移和角位移和角位移(t)的关系。的关系。的关系。的关系。图图2-4 具有惯性矩、扭矩和阻尼器的旋转系统具有惯性矩、扭矩和阻尼器的旋转系统 列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩m(t)应与惯性矩应与惯性矩应与惯性矩应与惯性矩m1(t)、阻尼矩阻尼矩m2(t)和弹性阻

30、力矩和弹性阻力矩m3(t)平衡，即平衡，即平衡，即平衡，即 （2-32-3）式中式中式中式中 所以系统的运动方程式为所以系统的运动方程式为（2-42-4）例例2-2 齿轮传动的动力学分析齿轮传动的动力学分析如图如图如图如图2-52-5所示的齿轮传动链所示的齿轮传动链所示的齿轮传动链所示的齿轮传动链 ，由电动机，由电动机，由电动机，由电动机MM输入的转矩输入的转矩输入的转矩输入的转矩为为为为T Tmm，L L为输出端负载，为输出端负载，为输出端负载，为输出端负载，T TL L为负载转矩。为负载转矩。为负载转矩。为负载转矩。z zi i为各齿轮为各齿轮为各齿轮为各齿轮齿数，齿数，齿数，齿数，J J

31、1 1、J J2 2、J J3 3及及及及 1 1、2 2、3 3分别为各轴及相应齿分别为各轴及相应齿分别为各轴及相应齿分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角，轮的转动惯量和转角，轮的转动惯量和转角，轮的转动惯量和转角，f f1 1、f f2 2、f f3 3为传动中各轴及齿为传动中各轴及齿为传动中各轴及齿为传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数轮的粘性阻尼系数轮的粘性阻尼系数轮的粘性阻尼系数。假设各轴均为绝对刚性，即假设各轴均为绝对刚性，即假设各轴均为绝对刚性，即假设各轴均为绝对刚性，即K KJ J=，得如下动力学，得如下动力学，得如下动力学，得如下动力学方程：方程：方程：方程：式中式中式中式中 f

32、f1 1、f f2 2、f f3 3传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；T T1 1齿轮齿轮齿轮齿轮z z1 1对对对对T Tmm的反扭矩；的反扭矩；的反扭矩；的反扭矩；T T2 2齿轮齿轮齿轮齿轮z z2 2对对对对T T1 1的反扭矩；的反扭矩；的反扭矩；的反扭矩；T T3 3齿轮齿轮齿轮齿轮z z3 3对对对对T T2 2的反扭矩；的反扭矩；的反扭矩；的反扭矩；T T4 4齿轮齿轮齿轮齿轮z z4 4对对对对T T3 3的反扭矩；的反扭矩；的反扭矩；的反扭矩；T TL L输出端负载对输出端负载对输

33、出端负载对输出端负载对T T4 4的反扭矩，即负载转矩；的反扭矩，即负载转矩；的反扭矩，即负载转矩；的反扭矩，即负载转矩；（2-5）（2-6）（2-7）由齿轮传动的基本关系可知由齿轮传动的基本关系可知由齿轮传动的基本关系可知由齿轮传动的基本关系可知于是可得于是可得于是可得于是可得整理得整理得整理得整理得令令令令J Jeqeq称为等效转动惯量；称为等效转动惯量；称为等效转动惯量；称为等效转动惯量；（2-8）令令令令f feqeq称为等效阻尼系数；称为等效阻尼系数；称为等效阻尼系数；称为等效阻尼系数；令令令令T TLeqLeq称为等效输出转矩。称为等效输出转矩。称为等效输出转矩。称为等效输出转矩。

34、将上式改写为将上式改写为将上式改写为将上式改写为该传动装置可转化为下图所示等效齿轮传动。该传动装置可转化为下图所示等效齿轮传动。该传动装置可转化为下图所示等效齿轮传动。该传动装置可转化为下图所示等效齿轮传动。（2-9）2电电气系气系统统的微分方程的微分方程 电电气系气系统统和元件种和元件种类类繁多，但根据繁多，但根据有关有关电电、磁及、磁及电电路的基本定律，无路的基本定律，无论论其其结结构多么复构多么复杂杂，总总可以建立起可以建立起相相应应的数学模型的。的数学模型的。电电气系气系统统的微分方程主要根据的微分方程主要根据基基尔尔霍夫定律和霍夫定律和电电磁感磁感应应定律定律等基本物等基本物理理规规

35、律列写律列写。图图2-7 所示的无源网络中，所示的无源网络中，ui(t)为输入电为输入电压，压，uo(t)为输出电压。为输出电压。根据基尔霍夫定律和根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有欧姆定律，有（2-102-10）（2-11)2-11)（2-2-1212）（2-2-1313）图图图图2-72-7无源网络无源网络无源网络无源网络 将方程联立求解，消去中间变量将方程联立求解，消去中间变量i1(t)、i2(t)、i3(t)后，即可得到以后，即可得到以ui(t)为输入量，以为输入量，以uo(t)为为输出量的电路微分方程式，即：输出量的电路微分方程式，即：（2-142-14）第三节第三节 非线性系统的线性化

36、非线性系统的线性化 所有元件和系统都不同程度地具有非线性所有元件和系统都不同程度地具有非线性特性，例如：元件的死区、传动的间隙和特性，例如：元件的死区、传动的间隙和摩擦，在大输入信号作用下元件输出量的摩擦，在大输入信号作用下元件输出量的饱和以及元件存在的非线性函数关系等等。饱和以及元件存在的非线性函数关系等等。由于非线性有各种不同的类型，所以也没由于非线性有各种不同的类型，所以也没有解析求解的通用方法。有解析求解的通用方法。在工作中，控制系统各个变量偏离其平在工作中，控制系统各个变量偏离其平衡值一般都比较小，因此，对于具有非衡值一般都比较小，因此，对于具有非本质非线性特性的系统，可以采用小偏本

37、质非线性特性的系统，可以采用小偏差线性化的方法求取近似的线性微分方差线性化的方法求取近似的线性微分方程以代替原来的非线性微分方程。程以代替原来的非线性微分方程。具有本质非线性特性的系统，只能用非具有本质非线性特性的系统，只能用非线性理论去处理。线性理论去处理。1.忽略非线性因素。忽略非线性因素。如果非线性因素对系统的影响很小，就如果非线性因素对系统的影响很小，就可以忽略。如死区、磁滞以及某些干摩可以忽略。如死区、磁滞以及某些干摩擦等，一般情况下就可以忽略。擦等，一般情况下就可以忽略。2.切线法，或称微小偏差法。切线法，或称微小偏差法。非线性函数的线性化方法非线性函数的线性化方法如果工程中存在着

38、一些元件（或系统）如果工程中存在着一些元件（或系统）其输出与输入的静态关系如下其输出与输入的静态关系如下所示。所示。系统在平衡点系统在平衡点A(x0、y0)工作，工作，当输入量当输入量x在平在平衡点衡点A附近很小附近很小范围内变化时，范围内变化时，输入与输出关输入与输出关系可以近似用系可以近似用切于切于A点的一段点的一段直线直线BC来代替来代替实际实际的曲线的曲线BC，这种代替虽然存在误差，但在工，这种代替虽然存在误差，但在工程实际中，其误差是允许的。程实际中，其误差是允许的。若若若若BCBC的斜率为的斜率为的斜率为的斜率为k k，则输入与输出关系可以表示为，则输入与输出关系可以表示为，则输入

39、与输出关系可以表示为，则输入与输出关系可以表示为:式中：式中：式中：式中：y y为在平衡点为在平衡点为在平衡点为在平衡点A A附近附近附近附近输出量输出量输出量输出量的变化；的变化；的变化；的变化；x为在平衡点为在平衡点为在平衡点为在平衡点A A附近附近附近附近输入量输入量输入量输入量的变化；的变化；的变化；的变化；一个非线性系统，如果在平衡点附近工作时，就一个非线性系统，如果在平衡点附近工作时，就一个非线性系统，如果在平衡点附近工作时，就一个非线性系统，如果在平衡点附近工作时，就可以用线性关系描述其输出与输入的关系。可以用线性关系描述其输出与输入的关系。可以用线性关系描述其输出与输入的关系。

40、可以用线性关系描述其输出与输入的关系。当非线性关系可以用当非线性关系可以用当非线性关系可以用当非线性关系可以用解析关系解析关系解析关系解析关系描述时，且仍然在描述时，且仍然在描述时，且仍然在描述时，且仍然在平衡点附近工作，系统的线性关系应该如何表达平衡点附近工作，系统的线性关系应该如何表达平衡点附近工作，系统的线性关系应该如何表达平衡点附近工作，系统的线性关系应该如何表达呢？下面就来分析此种情况。呢？下面就来分析此种情况。呢？下面就来分析此种情况。呢？下面就来分析此种情况。（2-152-15）非线性关系如果可用下述解析形式表达时非线性关系如果可用下述解析形式表达时（2-162-16）平衡工作点

41、为平衡工作点为平衡工作点为平衡工作点为A(x0、y0)，则（，则（，则（，则（2-162-16）式在平）式在平）式在平）式在平衡点展成泰勒级数为衡点展成泰勒级数为衡点展成泰勒级数为衡点展成泰勒级数为 （2-17 2-17）用解析关系描述的非线性关系线性化用解析关系描述的非线性关系线性化假设假设假设假设(x x-x x0 0)很小，则可以忽略高次项，而只保留一很小，则可以忽略高次项，而只保留一很小，则可以忽略高次项，而只保留一很小，则可以忽略高次项，而只保留一次项，则（次项，则（次项，则（次项，则（2-172-17）可以写成）可以写成）可以写成）可以写成 （2-182-18）式中式中式中式中 所

42、以，式（所以，式（所以，式（所以，式（2-182-18）变为：）变为：）变为：）变为：（2-192-19）即即即即 如果输出量如果输出量y为两个输入量为两个输入量x1与与x2的函数时，即的函数时，即（2-202-20）为了得到线性系统的近似线性关系，仍然在为了得到线性系统的近似线性关系，仍然在平衡点展成泰勒级数，即：平衡点展成泰勒级数，即：（2-212-21）当系统在平衡点附近工作，忽略高次项，于是当系统在平衡点附近工作，忽略高次项，于是（2-21）式可以写成）式可以写成:（2-222-22）式中式中式中式中 (2-22)(2-22)式又可以写成：式又可以写成：式又可以写成：式又可以写成：（2

43、-232-23）为了书写方便起见，增量为了书写方便起见，增量为了书写方便起见，增量为了书写方便起见，增量 y与与与与 x均可以用变均可以用变均可以用变均可以用变量量量量y y与与与与x x代替，但在理解时，应看作在工作点附代替，但在理解时，应看作在工作点附代替，但在理解时，应看作在工作点附代替，但在理解时，应看作在工作点附近小范围内的关系。近小范围内的关系。近小范围内的关系。近小范围内的关系。这样，（这样，（这样，（这样，（2-152-15）式、（）式、（）式、（）式、（2-192-19）式与（）式与（）式与（）式与（2-232-23）则）则）则）则可以分别写成为可以分别写成为可以分别写成为可

44、以分别写成为 （2-242-24）（2-252-25）注意：注意：注意：注意：前面所讲过的线性化方法只能用在没有间断点、前面所讲过的线性化方法只能用在没有间断点、前面所讲过的线性化方法只能用在没有间断点、前面所讲过的线性化方法只能用在没有间断点、折断点的非线性特性，即所谓非本质非线性特折断点的非线性特性，即所谓非本质非线性特折断点的非线性特性，即所谓非本质非线性特折断点的非线性特性，即所谓非本质非线性特性。性。性。性。例例例例2-3 2-3 图图图图2-92-9为一液面系统。为一液面系统。为一液面系统。为一液面系统。Q Qr r为流入液量，为流入液量，为流入液量，为流入液量，Q Qc c为为为

45、为流出液量流出液量流出液量流出液量 ，h h为液面高度，为液面高度，为液面高度，为液面高度，S S为容器截面积，在为容器截面积，在为容器截面积，在为容器截面积，在h h变动内为恒值。列出液面波动的运动方程式。变动内为恒值。列出液面波动的运动方程式。变动内为恒值。列出液面波动的运动方程式。变动内为恒值。列出液面波动的运动方程式。解：系统原始方程式：解：系统原始方程式：解：系统原始方程式：解：系统原始方程式：以以以以Q Qr r为输入量，以为输入量，以为输入量，以为输入量，以h h为输出量。为输出量。为输出量。为输出量。根据物质守恒定律可得根据物质守恒定律可得根据物质守恒定律可得根据物质守恒定律可

46、得 由流量公式可知由流量公式可知由流量公式可知由流量公式可知 式中式中式中式中 决定于流通管道面积及其结构形式的参数。结构决定于流通管道面积及其结构形式的参数。结构决定于流通管道面积及其结构形式的参数。结构决定于流通管道面积及其结构形式的参数。结构一定时，在一定时，在一定时，在一定时，在Q Qc c变化的一定范围内，可近似地认为变化的一定范围内，可近似地认为变化的一定范围内，可近似地认为变化的一定范围内，可近似地认为恒值恒值恒值恒值 。显然式（显然式（显然式（显然式（2-282-28）是一个非线性方程式。）是一个非线性方程式。）是一个非线性方程式。）是一个非线性方程式。对上式进行线性化处理，首

47、先确定额定工作点和对上式进行线性化处理，首先确定额定工作点和对上式进行线性化处理，首先确定额定工作点和对上式进行线性化处理，首先确定额定工作点和静态方程式：额定工作点为（静态方程式：额定工作点为（静态方程式：额定工作点为（静态方程式：额定工作点为（Q Qr r0 0、h h0 0)，静态方静态方静态方静态方程式为：程式为：程式为：程式为：代入代入代入代入(2-27)(2-27)式中消去式中消去式中消去式中消去Q Qc c，可得液面运动方程式，可得液面运动方程式，可得液面运动方程式，可得液面运动方程式 （2-28）将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量之和将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量之

48、和来表示来表示 将非线性函数将非线性函数将非线性函数将非线性函数 线性化：线性化：线性化：线性化：从上式减去静态方程式，可得式（从上式减去静态方程式，可得式（从上式减去静态方程式，可得式（从上式减去静态方程式，可得式（2-282-28）的线性）的线性）的线性）的线性化方程式：化方程式：化方程式：化方程式：将以上各式代入方程式（将以上各式代入方程式（2-28）得：）得：线性化有如下特点：线性化有如下特点：（1 1）线性化是相对某一额定工作点进行的。工作）线性化是相对某一额定工作点进行的。工作）线性化是相对某一额定工作点进行的。工作）线性化是相对某一额定工作点进行的。工作点不同，得到的线性化微分方

49、程的系数也不同；点不同，得到的线性化微分方程的系数也不同；点不同，得到的线性化微分方程的系数也不同；点不同，得到的线性化微分方程的系数也不同；（2 2）若使线性化具有足够的精度，调节过程中）若使线性化具有足够的精度，调节过程中）若使线性化具有足够的精度，调节过程中）若使线性化具有足够的精度，调节过程中变量偏离工作点的偏差信号必须足够小；变量偏离工作点的偏差信号必须足够小；变量偏离工作点的偏差信号必须足够小；变量偏离工作点的偏差信号必须足够小；（3 3）线性化后的运动方程是相对额定工作点以增）线性化后的运动方程是相对额定工作点以增）线性化后的运动方程是相对额定工作点以增）线性化后的运动方程是相对

50、额定工作点以增量来描述的。因此，可以认为其初始条件为零；量来描述的。因此，可以认为其初始条件为零；量来描述的。因此，可以认为其初始条件为零；量来描述的。因此，可以认为其初始条件为零；（4 4）线性化只能运用没有间断点、折断点和非）线性化只能运用没有间断点、折断点和非）线性化只能运用没有间断点、折断点和非）线性化只能运用没有间断点、折断点和非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非线性系统是不适用的。线性系统是不适用的。线性系统是不适用的。线性系统是不适用的。第四节第四节 拉普