《分子对称性》PPT课件 (2).ppt

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1、晶体的宏观对称晶体的宏观对称对称的概念对称的概念 对称就是物体相同部分有规律的重复。对称就是物体相同部分有规律的重复。对称性在日常生活中很常见，但对称的概念还有更深邃和对称性在日常生活中很常见，但对称的概念还有更深邃和更广泛的含义：更广泛的含义：变换中的不变性；建造大自然的密码；审变换中的不变性；建造大自然的密码；审美要素。对称的概念还在不断被科学赋予新意。美要素。对称的概念还在不断被科学赋予新意。自然界中的对称性随处可见，对称是自然界固有的一种属性。下面给出具有几何对称性的一些例子。某个平面图形具有对称性某个平面图形具有对称性是指将它绕某个轴转动一定是指将它绕某个轴转动一定角度后能使图形位置

2、复原。因此可以将几何对称性定角度后能使图形位置复原。因此可以将几何对称性定义为：义为：若能对几何形体施行某种操作使它的位置完全若能对几何形体施行某种操作使它的位置完全复原，就可以说这形体具有几何对称性。复原，就可以说这形体具有几何对称性。2.3 分子对称性分子对称性一、一、对称操作对称操作：对客体对客体(object)实施一个操作，若实施一个操作，若操作前后客体不可分辨，则该操作称为对称操作操作前后客体不可分辨，则该操作称为对称操作（symmetry operation）。即它是将某一客体（即它是将某一客体（物物体、晶体、分子、实物、函数体、晶体、分子、实物、函数）等变换为自身的）等变换为自身

3、的操作，操作，一组完全的但不重复的对称操作组成一个一组完全的但不重复的对称操作组成一个数学群数学群。或者：或者：对称操作是使物体作一种运动，完成这对称操作是使物体作一种运动，完成这种运动后，物体的每一点都与物体原始取向时的种运动后，物体的每一点都与物体原始取向时的等价点（可能是相同的点）相重合。等价点（可能是相同的点）相重合。对称操作的效果是引入了对称操作的效果是引入了等价构型，即等价构型，即与原始情况不可区分，但不一定是与原始情况不可区分，但不一定是恒等构恒等构型型。对称元素：对称元素：进行对称动作所依据的几进行对称动作所依据的几何元素，是一个几何实体：直线、平面或何元素，是一个几何实体：直

4、线、平面或点，点，与对称操作紧密相连，与对称操作紧密相连，对称元素的存对称元素的存在取决于一个或多个对称操作存在。在取决于一个或多个对称操作存在。二、对称面与反映（反映面）二、对称面与反映（反映面）（x1,y1,z1,）（x1,y1,-z1）从每一个原子向平面（对称面）作垂线，把这条线从每一个原子向平面（对称面）作垂线，把这条线向平面的反面延长相当的距离，并把原子移到线的另一向平面的反面延长相当的距离，并把原子移到线的另一端，若对分子中的所有原子都完成了这种操作则得到一端，若对分子中的所有原子都完成了这种操作则得到一个等价构型，此平面就是对映面。个等价构型，此平面就是对映面。特殊的：平面型分子

5、特殊的：平面型分子*不位于对称面上的给定种类的原子必须成对出现；不位于对称面上的给定种类的原子必须成对出现；*若分子中给定的原子的个数只有一个则必在两个以上的若分子中给定的原子的个数只有一个则必在两个以上的平面的交线上或三个或三个以上的平面的交点上，平面的交线上或三个或三个以上的平面的交点上，即这即这个原子必须在所有的对称面上。个原子必须在所有的对称面上。一个对称面只生成一个对称操作；一个对称面只生成一个对称操作；标准符号是标准符号是对称操作，对称操作，2E 恒等操作恒等操作。试找出分子中的镜面试找出分子中的镜面极端情况极端情况:1、FClSO(有何对称元素？有何对称元素？)2、线形分子线形分

6、子(有何对称元素？有何对称元素？)SFClOFH3、大多数情况介于、大多数情况介于1、2之间之间一个对称面；一个对称面；水分子：水分子：两个对称面（互相垂直）两个对称面（互相垂直）SFFClSFClClHHOAB2C2分子分子两个相互垂直的对称面两个相互垂直的对称面NH3分子分子有几个对称面？有几个对称面？CHCl3分子同此分子同此 BABCCNHHH 将将N向下压时不改变对称性，得到极限情况平面，向下压时不改变对称性，得到极限情况平面，四个对称面，同四个对称面，同BCl3，CO32-，NO3-，SO3一样。一样。PtCl42-和和AuCl4-类型的平面分子有类型的平面分子有多少个多少个对称面

7、？对称面？PtClCl ClCl正四面体有正四面体有6个对称面个对称面CH4,CCl4对称面：对称面：AB1B2，AB1B4，AB1B3，AB2B4，AB2B3，AB3B4正八面体有多少个对称面？正八面体有多少个对称面？AB1B2B3B4三、反演中心三、反演中心 将坐标原点位于分子中的某一点时，若每个将坐标原点位于分子中的某一点时，若每个原子的坐标（原子的坐标（x1,y1,z1,）（x1,y1,z1）时，可使分子进入等价构型，原点所在的点称为时，可使分子进入等价构型，原点所在的点称为反演中心或对称中心。反演中心或对称中心。符号：符号：i,反演中心只能生成反演中心只能生成一个一个对称操作。对称操

8、作。分子中所有原子的数目或除去一个以外（在分子中所有原子的数目或除去一个以外（在原点上），原点上），所有原子数目必须成对出现，所有原子数目必须成对出现，n次反次反演演，in=E(n为偶数为偶数)，in=i（n为奇数）。为奇数）。具有反演中心例子：具有反演中心例子：八面体八面体AB6 平面分子平面分子AB4 线形分子线形分子ABA 苯苯四、真轴，真转动（旋转轴）四、真轴，真转动（旋转轴）若图形中可以找到一条直线，绕此直线将图形旋转一若图形中可以找到一条直线，绕此直线将图形旋转一个角度，可使图形复原，个角度，可使图形复原，则此直线称为真轴或旋转轴则此直线称为真轴或旋转轴。Cn，n为轴的为轴的阶阶2

9、n为为基转角基转角；阶的意义：阶的意义：在转过在转过2n后，得出一个等价构型时后，得出一个等价构型时n的最大的最大值。或为了得到等价于而且是恒等与原始情况的构型，值。或为了得到等价于而且是恒等与原始情况的构型，所必须重复的，生成等价构型的最小转动次数。所必须重复的，生成等价构型的最小转动次数。基转角基转角：为了得到恒等构型必须重复的生成等价构型的最为了得到恒等构型必须重复的生成等价构型的最小转动角度（次数为小转动角度（次数为n）。）。或使图形复原的最小旋转角或使图形复原的最小旋转角度。度。Cnm Cnn=E ;Cnn+1=Cn1;Cnn+2=Cn2一个一个n阶真轴生成阶真轴生成n个操作：个操作

10、：Cn1 Cn2 Cn3.Cnn-1 CnnCn轴存在则每种原子必须有确定的数目（轴上的原子不轴存在则每种原子必须有确定的数目（轴上的原子不限限）分分子子中中若若存存在在一一条条轴轴线线，绕绕此此轴轴旋旋转转一一定定角角度度能能使使分分子子复复原原，就就称称此此轴轴为为旋旋转转轴轴,符符号号为为Cn。旋旋转转可可以以实实际际进进行行，为为真真操操作作；相相应应地地，旋旋转转轴也称为真轴。轴也称为真轴。H2O2中的中的C2(旋转轴旋转轴上的椭圆形为上的椭圆形为C2的的图形符号。类似地，正图形符号。类似地，正三角三角形、正方形、正六边形分别是形、正方形、正六边形分别是C3、C4和和C6的图形符号）

11、的图形符号）若若有某种原子在有某种原子在Cn轴轴之外，则该原子必须自动地还有之外，则该原子必须自动地还有n-1个（共有个（共有n个该原子）。个该原子）。C6轴：轴：C61 C62 C63 C64 C65 C66 把把Cnm 写成所谓的最低项：写成所谓的最低项：C61 C31 C21 C32 C65 E 极端的情况：极端的情况：1、没有没有 如如FClSO，Cl2SO，F2SO2、线形分子，阶数为无穷多。线形分子，阶数为无穷多。单个二重轴分子：单个二重轴分子：H2O，CH2Cl2没有恰好具有两个二重轴的分子（必推出第三个）？没有恰好具有两个二重轴的分子（必推出第三个）？乙烯分子：乙烯分子：正四面

12、体型分子也具有正四面体型分子也具有三个二重轴三个二重轴(较难想象较难想象)三角锥和平面型三角锥和平面型AB3分子有分子有三个三重真轴三个三重真轴(3个个C3)正四面体也有正四面体也有四四个三重真轴个三重真轴(4个个C3)八面体型分子八面体型分子AB6具有具有四个三重轴四个三重轴，每个都通过两每个都通过两个相对的三角形表面的中心和个相对的三角形表面的中心和A原子原子。讨论：讨论：Cn1 Cn2 Cn3.Cnn-1 Cnn在复制其他对称元素时的在复制其他对称元素时的效应，这些对称元素是平面（包含效应，这些对称元素是平面（包含Cn轴）或轴（垂直轴）或轴（垂直于于Cn轴）轴）例：例：BF3分子分子对于

13、阶数为奇数的情况，会生成另外对于阶数为奇数的情况，会生成另外n-1个对称元素。个对称元素。C3C2C2C2八面体的对称性分析八面体的对称性分析:一个反演中心一个反演中心i,九个反映面九个反映面,一个四阶轴一个四阶轴(C4)，四个四个C3轴。轴。讨论：讨论：Cn1 Cn2 Cn3.Cnn-1 Cnn在复制其他对称元在复制其他对称元素时的效应，这些对称元素是平面（包含素时的效应，这些对称元素是平面（包含Cn轴）轴）或轴（垂直于或轴（垂直于Cn轴）轴）例：例：BF3分子分子*一定存在与第一个二重轴成一定存在与第一个二重轴成120度和度和240度的另度的另两个二重轴；也一定存在与第一个反映面成两个二重

14、轴；也一定存在与第一个反映面成120度和度和240度的另两个反映面。度的另两个反映面。对于阶数为奇数的情况，会生成另对于阶数为奇数的情况，会生成另n-1个对称元素。个对称元素。对于对于n为偶数的情况则不同：为偶数的情况则不同：C4轴仅要求另外一个相伴随的轴或面；轴仅要求另外一个相伴随的轴或面；C6轴：若存在一个垂直于轴：若存在一个垂直于C6轴，或包含轴，或包含C6轴的平轴的平面，则必存在另外两个同类轴或平面伴随。面，则必存在另外两个同类轴或平面伴随。C8轴：四个为一组的同类轴或面。轴：四个为一组的同类轴或面。例：例：PtCl42-,环戊二烯，苯等。环戊二烯，苯等。四、非真轴与非真转动（反轴）四

15、、非真轴与非真转动（反轴）非真转动可以想象为两个步骤发生：非真转动可以想象为两个步骤发生：首先是转动，首先是转动，然然后通过垂直于转动轴的平面反映后通过垂直于转动轴的平面反映。实现这一过程所对应实现这一过程所对应的轴称为的轴称为非真转动轴，或简称为非真轴，用非真转动轴，或简称为非真轴，用Sn表示，表示，n表示阶，非真转动表示阶，非真转动2n的操作也用符号的操作也用符号Sn表示。表示。很明显：若独立地存在一个很明显：若独立地存在一个Cn轴和一个垂直于它的平面，轴和一个垂直于它的平面，那么就存在那么就存在Sn。但是但是当分别地不存在分别地不存在Cn也不存在垂直也不存在垂直的的时，时，Sn也可以存在

16、也可以存在。反式乙烷：反式乙烷：123456123456C6123456C6123456乙烷分子的两种构型乙烷分子的两种构型:交错构型的有交错构型的有C3轴，但没有垂直于轴，但没有垂直于C3的对映的对映面面,却有却有S6轴。重叠构型的有轴。重叠构型的有C3轴轴,也有垂直于也有垂直于C3的对映面的对映面,必有必有S3轴。轴。转动转动和和平面反应操作与顺序无关，平面反应操作与顺序无关，因此非真转动的因此非真转动的定义不必指明次序。定义不必指明次序。另一个存在非真转动的重要例子另一个存在非真转动的重要例子-正四面体型正四面体型分子。分子。四面体有三个四面体有三个C2轴，同时它们又是一个轴，同时它们又

17、是一个S4轴。轴。（为什么？）（为什么？）(1)重叠型二茂铁具有重叠型二茂铁具有S5，所以所以,C5和与之垂直和与之垂直的的也都独立存在；也都独立存在；(2)甲烷具有甲烷具有S4，所以所以,只有只有C2与与S4共轴，但共轴，但C4和与和与之垂直的之垂直的并不独立存在并不独立存在.CH4中的映轴S4与旋转反映操作注意注意:C4和与之垂直的和与之垂直的都不独立存在都不独立存在环辛四烯衍生物中的环辛四烯衍生物中的 S4分子中心是分子中心是S4的图形符号的图形符号元素元素Sn一般生成一组操作一般生成一组操作Sn，Sn2，Sn3，Sn4。偶数和奇数所生成的操作集合不同偶数和奇数所生成的操作集合不同，假设

18、假设Sn与与z轴重轴重合，合，Sn操作的反映部分对应的平面是操作的反映部分对应的平面是x，y面。面。偶数阶偶数阶Sn生成一组操作生成一组操作Sn，Sn2，Sn3，Sn4，。，。Snn，Snn 表示每个表示每个Cn和和都被完成了都被完成了n次，次，因为因为n是偶数，是偶数，的的n次操作是恒等操作，所以次操作是恒等操作，所以Snn Cnn E，并且并且Snn 1 Sn，Snn 2 Sn2，依此类推，依此类推，当当m是偶数时是偶数时Snm Cnm,所以在一组由偶数阶所以在一组由偶数阶Sn所所生成的操作中，某些生成的操作中，某些Snm可用其他方式写出。可用其他方式写出。例：例：S6：S6 S62 S6

19、3 S64 S65 S66 其中：其中：S62 C62 C31；S64 C32；S63 S21 i 因而由对称元素因而由对称元素S6生成操作的完整集合是：生成操作的完整集合是：S6 C31 i C32 S65 E。此集合包含此集合包含C31 C32 E，这正是这正是C3轴生成的操作轴生成的操作。因而因而S6轴的存在自动地要求轴的存在自动地要求C3轴的存在轴的存在.一般地一般地,偶数阶偶数阶Sn轴的存在永远要求存在一个轴的存在永远要求存在一个C Cn n/2/2轴轴.奇数阶的非真轴：奇数阶的非真轴：重要性质：重要性质：奇数阶的奇数阶的Sn要求要求Cn和和垂直于它的垂直于它的必须独立地必须独立地存

20、在。存在。证明：证明：操作操作Snn等价于等价于 Cnn之后应用之后应用n=有相同的效果，有相同的效果，而而Cnn E，则，则Snn，换言之元素换言之元素Sn生成一个对称操生成一个对称操作作（对应的对称元素对应的对称元素），），现在操作现在操作Sn要求在平面要求在平面中反映，由此把构型中反映，由此把构型变成构变成构型型，然后转动，然后转动2n，把把变成变成构型，因为构型，因为Sn是是一一个对称操作，个对称操作，和和必定是等价构型，必定是等价构型，本身是个对称本身是个对称操作操作(n为奇数为奇数)，也和也和等价，因而等价，因而也等价于也等价于，所所以转动以转动2n把把变到等价构型变到等价构型，因

21、而，因而Cn操作本身也操作本身也是一个对称操作。是一个对称操作。进一步熟悉奇数非真轴进一步熟悉奇数非真轴(以以S5为例为例):S5=C5后后(或或后后C5);S52=C52S53=C53后后S54=C54 除了用除了用除了用除了用S S5 5n n之外不能用其他方式表示这单一操作之外不能用其他方式表示这单一操作之外不能用其他方式表示这单一操作之外不能用其他方式表示这单一操作 S55=C55后后S56=C51S57=C52后后S58=C53S59=C54后后S510=C55=E 以上各不相同但从以上各不相同但从以上各不相同但从以上各不相同但从2 2n n1 1开始重复这一排列开始重复这一排列开始

22、重复这一排列开始重复这一排列S51=C5后后:开始重复开始重复一般地，奇数阶的一般地，奇数阶的Sn生成生成2n个操作；偶数阶的个操作；偶数阶的Sn生成生成n个操作。个操作。六、对称操作的乘积六、对称操作的乘积 概念：一个对称操作继另一对称操作后作用于分概念：一个对称操作继另一对称操作后作用于分子的净效应。子的净效应。记法：记法：YXZ“先完成先完成X操作，再完成操作，再完成Y操作操作，给出和单个操作给出和单个操作Z相同的净效应相同的净效应”。次序：次序：从右到左，从右到左，当序列当序列XY和和YX相同时，这相同时，这两个操作时可以两个操作时可以交换交换的。的。一个对称操作产生两个一个对称操作产

23、生两个或多个对称操作连续运用的相同结果，通常称为或多个对称操作连续运用的相同结果，通常称为这一操作是其它操作的乘积这一操作是其它操作的乘积。普通点普通点（X1，Y1，Z1）（X2，Y2，Z2）（X3，Y3，Z3）完成由完成由到到的过程可以独立完成，同时也可的过程可以独立完成，同时也可看作是前两个操作看作是前两个操作(变换变换)的乘积。的乘积。例例如如,先先作作二二重重旋旋转转，再再对对垂垂直直于于该该轴轴的的镜镜面面作作反反映映，等等于于对轴与镜面的交点作反演。对轴与镜面的交点作反演。两两 个个 或或 多多个个对对称称操操作作的的结结果果，等等效效于于某个对称操作某个对称操作.例例1：两个生成

24、直角的二重轴必然有与二者相垂直的两个生成直角的二重轴必然有与二者相垂直的第三个轴第三个轴。(假定两个给定的轴与假定两个给定的轴与x,y轴重合轴重合)（X1，Y1，Z1）（X1，Y1，Z1）（X1，Y1，Z1）若现在把若现在把C2(z)作用于作用于（X1，Y1，Z1），该点被移动该点被移动到（到（X1，Y1，Z1）,因此我们可以写成因此我们可以写成:C2(y)C2(x)=C2(z)由此可见每当存在由此可见每当存在C2(x)和和C2(y)时，必定也时，必定也存在存在C2(z)因为它是它们的乘积。因为它是它们的乘积。为什么存在两个对称元素就自动地要求第三为什么存在两个对称元素就自动地要求第三个元素存

25、在，个元素存在，作为第二个例子，考虑具有作为第二个例子，考虑具有C4轴和轴和包含这个轴的一个平面的情况。包含这个轴的一个平面的情况。C2(x)C2(y)我们已经看到，操作我们已经看到，操作C4将生成与第一个平面成直将生成与第一个平面成直角的第二个平面。角的第二个平面。当存在当存在C4轴和一个这种平面时，则轴和一个这种平面时，则必定存在第二个也包含必定存在第二个也包含C4，并与第一个平面成并与第一个平面成45。的平的平面，面，这一点虽然不太明显，但也是正确的。可以用方才这一点虽然不太明显，但也是正确的。可以用方才用过的方法来证明。普通点用过的方法来证明。普通点（X1，Y1，Z1）通过通过xz平面

26、平面的反映效果可以表为：的反映效果可以表为：(xz)x1，y1，z1 x1，-y1，z1绕绕z轴顺时针方向的轴顺时针方向的C4转动，作用于该点的效果可表为转动，作用于该点的效果可表为 C4(z)x1,y1,z1 y1,-x1,z1 由这些关系可以决定依次应用由这些关系可以决定依次应用(xz)，然后，应用然后，应用C4(z)的效果，的效果，即即 C4(z)(xz)x1，y1，z1 C4(z)x1，-y1，z1x1，-y1，z1 现在考虑通过平面现在考虑通过平面d反映这个点的效果，平面反映这个点的效果，平面d也包含也包含z轴并平分轴并平分+y和和-x轴之间以及轴之间以及+x和和-y轴之间的夹角，这

27、一轴之间的夹角，这一变换是变换是:dx1，y1，z1 -y1，-x1，z1我们看到我们看到 C4(z)(xz)=d 它意味着它意味着:C4(z)和和(xz)的存在，自动地要求的存在，自动地要求d的存在的存在,因此因此C4转动从转动从d生成另一个通过第一和第三象限的生成另一个通过第一和第三象限的d/平面。平面。最终的结果是，若有一个包含最终的结果是，若有一个包含C4轴的平面，自动地有四个轴的平面，自动地有四个为一组的平面为一组的平面。用非常相似的方祛可以证明，用非常相似的方祛可以证明，若若C4(z)和和C2(y)轴存在，则位于轴存在，则位于xy平面第一、三象限并与平面第一、三象限并与C2(y)成

28、成45o的的C2轴也必定存在。轴也必定存在。七、等价对称元素和等价原子七、等价对称元素和等价原子 若一个对称元素若一个对称元素A被一个操作变为元素被一个操作变为元素B，这一操作是由第三个元素这一操作是由第三个元素X所生成的，那么当然所生成的，那么当然可以用可以用X1把把B变回为变回为A。A和和B两个元素称为两个元素称为等等价价。A还可以被变为第三个元素还可以被变为第三个元素C，那么将也有那么将也有一种把一种把B变为变为C的方法，而的方法，而A，B和和C三个元素组三个元素组成一个等价集合。成一个等价集合。一般说来，选择任一集合的对一般说来，选择任一集合的对称元素，称元素，每一成员通过某一对称操作

29、的运用，可每一成员通过某一对称操作的运用，可变为集合中的另一成员，此集合称为等价对称元变为集合中的另一成员，此集合称为等价对称元素集合。素集合。例如，在例如，在BF3这一类平面三角形分子中这一类平面三角形分子中，每个位于平面中每个位于平面中的二重对称轴可借助对称操作转动的二重对称轴可借助对称操作转动2/3，或或2 2/3移到与移到与另一个二重轴相重合另一个二重轴相重合因此所有三个二重轴称作相互等价因此所有三个二重轴称作相互等价平面正方型平面正方型AB4分子分子平面中有平面中有四个二重轴四个二重轴其中两个其中两个（C2和和C2/）沿着沿着BAB轴，而其他两个（轴，而其他两个（C2/和和C2/平分

30、平分BAB角角这一分子还包含这一分子还包含四个对称面四个对称面，其中每一个都垂直，其中每一个都垂直于分子平而，并包含一个二重轴容易看出，通过绕四重于分子平而，并包含一个二重轴容易看出，通过绕四重轴的转动和所提到的对称面的反映，轴的转动和所提到的对称面的反映，可以把可以把C2移到移到C2/，C2/移到移到C2/，或反之亦然，或反之亦然，但无法把但无法把C2或或C2/移到移到C2/或或C2/，或反之亦然或反之亦然因此因此C2和和C2/组成一组等价轴，而组成一组等价轴，而C/和和C/组成另一组等价轴组成另一组等价轴。类似地，。类似地，对称面中约两个彼此对称面中约两个彼此等价，但不与另外两个彼此等价的

31、平面中的任一个等价。等价，但不与另外两个彼此等价的平面中的任一个等价。BF3中中所所有有垂垂直直于于分分子子平平面面的的三三个个对对称称面面，以以及及NH3的的三三个个平平面面同同是是等等价价的的，而而H2O中中的的两两个个平平面面却却是是不不等等价价的的，位位于于苯苯分分子子平平面面中中的的六六个个二二重重轴轴，可可以以划划分分为为两两组组等等价价轴轴，一一组组包包括括那那些些横横切切相相对对碳碳原原子子的的轴轴，另另一一组组包包括括那那些些平平分分六边形对边的轴。六边形对边的轴。分子中等价原子是所有那些可被对称操作互相交换的原分子中等价原子是所有那些可被对称操作互相交换的原子。子。当然，当

32、然，等价原子必须是同种化学类型的等价原子必须是同种化学类型的。等价原子的。等价原子的例子包括例子包括甲烷、乙烷，苯或环丙烷中的所有氢原子甲烷、乙烷，苯或环丙烷中的所有氢原子，SF6中的所有氟原子和中的所有氟原子和Cr（CO）6的所有碳原子和氧原子。的所有碳原子和氧原子。化化学上全同，但分子环境不等价的原子的例子，是学上全同，但分子环境不等价的原子的例子，是PF5中位中位于顶点和位于赤道面上的氟原子；对于这种分子，不可能于顶点和位于赤道面上的氟原子；对于这种分子，不可能有交换这些氟原子的对称操作。萘的有交换这些氟原子的对称操作。萘的a，氢原子和碳原子氢原子和碳原子是不等价的。是不等价的。环己烷的

33、所有六个碳原子，在椅式构型中是环己烷的所有六个碳原子，在椅式构型中是等价的，但在船式构型中有四个与其余两个不同等价的，但在船式构型中有四个与其余两个不同。八、对称元素和对称操作之间的一般关系八、对称元素和对称操作之间的一般关系 这里我们介绍关于这里我们介绍关于不同种类的对称元素和操作如不同种类的对称元素和操作如何相互关联的一些普通而有用的规则何相互关联的一些普通而有用的规则。处理方处理方法是，法是，某两个对称元素的存在要求其他元素存在，某两个对称元素的存在要求其他元素存在，以及应用交换关系。以及应用交换关系。对称元素组合定理对称元素组合定理乘积：乘积：1、两个真转动的乘积必定是一个真转动。两个

34、真转动的乘积必定是一个真转动。因此，因此，即使转动可以由一些联合的反映所产生，反过来是即使转动可以由一些联合的反映所产生，反过来是不可能的不可能的。2.在在相相交交成成AB角角的的平平面面A和和B内内的的两两个个反反映映，其其乘乘积积是是绕绕交交线线所所定定义义的的轴轴的的2AB转转动动。最最简简单单的的证证明明是是几几何何方方法法，如如图图所所示示。显显然然，这这一一规规则则具具有有某某种种深深刻刻的的推推论论。若若两两个个平平面面分分开开成成AB角角，则则要要求求存存在在一一个个Cn轴轴，n=2/2 AB。这这里里，n必必须须是是一一个个整整数数，而而且且Cn轴轴将将保保证证总总共共存存在

35、在n个个这这样样的的平平面面。因因此此n个个平平面面意意味味着着构构成成Cnv群群的的操操作作的的完完整整集集合存在。合存在。3.若若存存在在一一个个转转动动轴轴Cn和和一一个个包包含含它它的的平平面面，则则必必存存在在n个个被被分分开开成成2/2n角角的的平平面面。这这是是从从规规则则2得得出的推论。出的推论。4.绕绕相相交交成成角角的的轴轴的的两两个个C2转转动动的的乘乘积积，是是一一个个绕绕垂垂直直于于C2轴轴平平面面的的另另一一轴轴的的2转转动动。这这可可以以用用类类似似于于图图3.1的的图图解解从从几几何何上上予予以以证证明明。它它还还意意昧昧着着一一个个Cn轴轴和和一一个个垂垂直直

36、的的C2轴轴，要要求求存存在在一一组组n个个C2轴，轴，并由此生成即将见到的并由此生成即将见到的Dn群。群。5.一个偶数阶的真转动轴和一个垂直的反映面生成一个偶数阶的真转动轴和一个垂直的反映面生成一个反演中心一个反演中心.C2nn=C2nn=C2=C2=i交换交换下列各对称操作永远是可以交换的：下列各对称操作永远是可以交换的：1 两个绕同一轴的转动。两个绕同一轴的转动。2 通过相互垂直的平面的反映。通过相互垂直的平面的反映。3 反演和任意反映或转动。反演和任意反映或转动。4 绕相互垂直的轴的两个绕相互垂直的轴的两个C2的转动。的转动。5 转动和垂直于转动轴的平面反映。转动和垂直于转动轴的平面反

37、映。在在列列举举四四种种对对称称元元素素和和操操作作时时，应应指指出出，原原则则上上可可以以把把名名单单缩缩减减为为只只有有Cn和和Sn两两种种。一一个个反反映映操操作作可可以以看看作作是是一一个个S1操操作作，即即（平平庸庸）转转动动2/1与与反反映映的的合合成成。操操作作S2对对于于普普通通点点X，Y，Z有有如如下下效效果果:假假设设轴轴与与笛笛卡卡尔尔坐坐标标系系的的Z轴轴重重合合；则则反反映映组组分分通通过过XY平面发生平面发生:S2（x,y,z）=C2（x,y,z）=（-x,-y,z）=（-x,-y,-z）=i但按定义下式也是正确的，即但按定义下式也是正确的，即i（x,y,z）=（-

38、x,-y,-z）因此因此S2和和i只是同一事物的两种符号所有我们要只是同一事物的两种符号所有我们要研究的对称操作都可以看作或是真转动或是非真转研究的对称操作都可以看作或是真转动或是非真转动。动。与自身镜象不重叠的分子称为不对称的。与自身镜象不重叠的分子称为不对称的。采用这一术语而不用采用这一术语而不用非对称非对称的，是因为的，是因为后者在后者在字义上意味着没有对称性，字义上意味着没有对称性，不对不对称分子可能而且往往具有某种对称性。称分子可能而且往往具有某种对称性。可以给出一个简单而紧凑的规则来描述可以给出一个简单而紧凑的规则来描述分子对称性和不对称特征之间的关系：分子对称性和不对称特征之间的

39、关系：没有非真转动轴的分子应是不对称的。没有非真转动轴的分子应是不对称的。教材内容：对称元素组合原理教材内容：对称元素组合原理 两个对称元素组合必产生第三个对称元素，两个对称元素组合必产生第三个对称元素，因为因为晶体外形是有限图形，对称元素组合时至少交于晶体外形是有限图形，对称元素组合时至少交于一点，否则，对称元素将无限伸展一点，否则，对称元素将无限伸展。1、反映面之间的组合、反映面之间的组合定理：两个反映面相交，其交线为旋转轴，基转角定理：两个反映面相交，其交线为旋转轴，基转角为反映面相交角的为反映面相交角的2倍。倍。推论：基转角为推论：基转角为的旋转轴可分解为两个反映面的的旋转轴可分解为两

40、个反映面的连续动作，其夹角为连续动作，其夹角为 2。2、反映面与旋转轴的组合反映面与旋转轴的组合 定理：当一个反映面穿过旋转轴定理：当一个反映面穿过旋转轴Ln时必有时必有n个反个反映面穿过此旋转轴。映面穿过此旋转轴。Ln可看成夹角为可看成夹角为/2的的m1、m2的连续动作，的连续动作，它们在空它们在空间的取向是任意的。间的取向是任意的。这样这样把穿过把穿过Ln的的m和和m1重合起来重合起来（如（如图图)再进行连续动作。再进行连续动作。m Ln=m m1 m2=I m2=m2 这里这里I是等同动作，是连续是等同动作，是连续2次反映动作的结果；次反映动作的结果；“”表示连续动作，这样表示连续动作，

41、这样m2成为真实的反映面。图中，成为真实的反映面。图中，在在A处有一逗号，经处有一逗号，经Ln操作，则在操作，则在C处也是逗号，但处也是逗号，但m使使逗号逗号B为为A的镜像，这样的镜像，这样B与与C之间也互为镜像关系，之间也互为镜像关系，m2也也成为真实存在的反映面。成为真实存在的反映面。即：即：Ln 与与包含其的包含其的m决定决定了了m2的真实存在。的真实存在。万花筒具备万花筒具备L和个反映面的对称性，和个反映面的对称性，所以这个定理可形象地称为所以这个定理可形象地称为万花筒定理万花筒定理。3、旋转轴与对称中心的组合旋转轴与对称中心的组合 定理：定理：如果在偶次旋转轴上有对称中心，如果在偶次

42、旋转轴上有对称中心，那么必有一反映面与旋转轴垂直相交于对那么必有一反映面与旋转轴垂直相交于对称中心。称中心。首先证明首先证明L2的悄况。如图的悄况。如图 L2使使 (x,y,z)(-x,-y,z)i 使使 (-x,-y,z)(x,y,-z)即即L2 i=m，在，在xy平面内。平面内。所有的偶次轴都包含有所有的偶次轴都包含有L2的的对称动作，因此，只要在偶次轴上有对称中心，则必有反对称动作，因此，只要在偶次轴上有对称中心，则必有反映面与它垂占相交于对称中心。映面与它垂占相交于对称中心。推论：推论：在有对称中心时，图形中偶次轴数目和反映面数目在有对称中心时，图形中偶次轴数目和反映面数目相等。相等。

43、L2 i=m欧拉定理欧拉定理LLL四、旋转轴之间的组合四、旋转轴之间的组合 欧欧拉拉定定理理：两两个个旋旋转转轴轴的的适适当当组组合合产产生生第第三三个个旋旋转轴。转轴。从从前前面面定定理理可可知知：Lm1m2，L=m3m4。因因这这两两对对反反映映面面在在空空间间的的取取向向是是任任意意的的，故故可可以以使使m2，m3在在L和和L决定的平面上彼此重合。决定的平面上彼此重合。这时这时 LaLbm1m2m3m4 m1Im4m1m4，因因为为La，L的的交交点点为为m1和和m4共共有有，这这样样两两个个反反映映面面必必交交于于一一直直线线，这这条条直直线线就就是是新新的的旋旋转转轴轴L.注注意意，

44、这这里里的的反反映映面面并并不不真真的的存存在在于于图图形形中中，只只是是在推导过程中运用一下。在推导过程中运用一下。九、对称点群九、对称点群 假设我们通过查看，已经编出了假设我们通过查看，已经编出了一个给定分子所具一个给定分子所具有的全部对称元素列表有的全部对称元素列表。那么我们可以。那么我们可以列出每个元素所列出每个元素所产生的全部对称操作产生的全部对称操作。第一个目的是论证满足数学群第一个目的是论证满足数学群四准则，对称操作的这种完整表格四准则，对称操作的这种完整表格 确定后，就确定后，就可以可以自由地运用有关群性质的一些原理来帮助处理分子对称自由地运用有关群性质的一些原理来帮助处理分子

45、对称性问题性问题。首先，详细说明对于一个具体分子，对称操作的完首先，详细说明对于一个具体分子，对称操作的完全集合的意义。全集合的意义。完全集合是这样一种集合，其中两个操完全集合是这样一种集合，其中两个操作的乘积也是集合中的一个操作，作的乘积也是集合中的一个操作，作为一个例子，研究作为一个例子，研究一组可以作用于一组可以作用于平面型平面型AB3分子的操作分子的操作。它们是（见下。它们是（见下页）（？）显然不可能有其他的对称页）（？）显然不可能有其他的对称操作。操作。如图所示把如图所示把B原子编号，我们可以逐一求出所有原子编号，我们可以逐一求出所有的二元乘积；例如：的二元乘积；例如：缺哪一个？缺哪

46、一个？逐一求出二元乘积，例如逐一求出二元乘积，例如vC3=/v，等等。可等等。可以练习求出。以练习求出。核对所有的组合均属于集合中的元素核对所有的组合均属于集合中的元素；存在恒等元素：存在恒等元素：E EX=XE=X；结合律成立；结合律成立；每个群元素有逆元素：每个群元素有逆元素：RS=SR=E；对映面的逆是其自身对映面的逆是其自身，E；Cnm逆逆操作为操作为Cnn-m,Cnm Cnn-m=Cnn=E;非真转动非真转动Snm的逆操作与的逆操作与n为偶数或奇数有关。为偶数或奇数有关。n为为偶数时，偶数时，Snm的逆操作为的逆操作为Snn-m;当当n为奇数为奇数m为偶数时，为偶数时，Snm的逆操作

47、为的逆操作为Cnn-m当当n、m都为奇数时，都为奇数时，Snm的逆为的逆为Cnn-m 或或Sn2n-m 对称操作的各种可能的集合将得到什么类型对称操作的各种可能的集合将得到什么类型的群？的群？所有的对称元素交于一点，此点任何对称所有的对称元素交于一点，此点任何对称元素都不能使之移动，相应的集合称为点群。元素都不能使之移动，相应的集合称为点群。对称情况分析对称情况分析：1、对称元素只有、对称元素只有C1，即即E，C1的一阶群；的一阶群；2、唯一对称元素是一个平面这种元素只生成两唯一对称元素是一个平面这种元素只生成两个操作，即个操作，即和和2E因此这个群是二阶的，符因此这个群是二阶的，符号是号是C

48、s;还可能有一种分子还可能有一种分子，它的唯一的对称元它的唯一的对称元素是一个反演中心素是一个反演中心反演中心生成的仅有操作是反演中心生成的仅有操作是i和和i2E，我们又有一个二阶群；这个群通常表我们又有一个二阶群；这个群通常表为为C i。3、现在考虑唯一的对称元素是一个真轴现在考虑唯一的对称元素是一个真轴Cn的情况。的情况。它生成一组操作它生成一组操作Cn1，Cn2，Cn3，Cn nE。因此具有因此具有Cn作为自身唯作为自身唯一对称元素的分子应该属于一对称元素的分子应该属于n阶群阶群，表为，表为Cn。应该指出，。应该指出，Cn群是一个循环群，因而群是一个循环群，因而也是一个阿贝耳群也是一个阿

49、贝耳群。4、非真轴情况、非真轴情况 当存在一个非真轴时，必须考虑它是当存在一个非真轴时，必须考虑它是偶数偶数的还的还是是奇数奇数的。的。当当Sn轴属于偶数阶时，所生成的操作群轴属于偶数阶时，所生成的操作群称为称为Sn，并由并由n个元素个元素E,Sn,Cn/2,Sn3.Snn-1组成组成。S2群是一个特殊情况群是一个特殊情况，因为如前面所指出的，因为如前面所指出的，对称对称元素元素S2等价于等价于i,因此称为因此称为S2的群，实际上就是的群，实际上就是Ci,由一个由一个Sn轴所生成的操作所组成的群，己经指出当轴所生成的操作所组成的群，己经指出当n是奇数时，应该由包括是奇数时，应该由包括h和由和由

50、Cn所生成的操作的所生成的操作的2n个元素所组成个元素所组成。按习惯这种群表为。按习惯这种群表为Cnh这个符号这个符号强调有一个强调有一个Cn轴和一个水平面轴和一个水平面；这些对称元素的；这些对称元素的组合当然意味着存在组合当然意味着存在Sn。5、当存在两个或多个对称元素时，所产生的群当存在两个或多个对称元素时，所产生的群:把讨论分为两部分进行，把讨论分为两部分进行，首先研究高于二阶的轴首先研究高于二阶的轴不多于一个的情况，然后研究由多个高阶轴所产不多于一个的情况，然后研究由多个高阶轴所产生的群。生的群。若分子具有一个真轴若分子具有一个真轴Cn和一个垂直于它的二和一个垂直于它的二重轴，则必须有