高考数学一轮复习 6.2 等差数列及其前n项和精品课件 新人教A.ppt

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1、要点梳理要点梳理1.1.等差数列的定义等差数列的定义 如果一个数列如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母，通常用字母 表示表示.2.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式 如果等差数列如果等差数列 a an n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为d d，那么它的，那么它的 通项公式是通项公式是 .6.2 6.2 等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和从第二项起每一项与它相邻前面一项从第二项起每一项与它相邻前面一项的差是同一个常数的差是同一个常数公差公差d da an n=a a1 1

2、+（n n-1-1）d d基础知识基础知识 自主学习自主学习2021/8/11 星期三13.3.等差中项等差中项 如果如果 ，那么，那么A A叫做叫做a a与与b b的等差中项的等差中项.4.4.等差数列的常用性质等差数列的常用性质（1 1）通项公式的推广：）通项公式的推广：a an n=a am m+，（，（n n，m mN N*）.（2 2）若）若 a an n 为等差数列，且为等差数列，且k k+l l=m m+n n，（，（k k，l l，m m，n nN N*），则），则 .（3 3）若）若 a an n 是等差数列，公差为是等差数列，公差为d d，则，则 a a2 2n n 也是等

3、也是等 差数列，公差为差数列，公差为 .（4 4）若）若 a an n，b bn n 是等差数列，则是等差数列，则 papan n+qbqbn n 是是 .2 2d da ak k+a al l=a am m+a an n(n n-m m)d d等差等差数列数列2021/8/11 星期三2 （5 5）若若 a an n 是是等等差差数数列列，则则a ak k，a ak k+m m，a ak k+2+2m m，（k k，m mN N*）是公差为）是公差为 的等差数列的等差数列.5.5.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式 设等差数列设等差数列 a an n 的公差为的公差为d d，其前

4、，其前n n项和项和S Sn n=或或S Sn n=.6.6.等差数列的前等差数列的前n n项和公式与函数的关系项和公式与函数的关系 S Sn n=.数数列列 a an n 是是等等差差数数列列的的充充要要条条件件是是其其前前n n项项和和公公式式S Sn n=f f（n n）是）是n n的的 ，即，即S Sn n=.mdmdAnAn2 2+BnBn，（，（A A2 2+B B2 200）二次函数或一次函数且不含常数二次函数或一次函数且不含常数项项2021/8/11 星期三37.7.在等差数列在等差数列 a an n 中，中，a a1 10 0，d d0 0，则，则S Sn n存在最存在最 值

5、；若值；若a a1 10,0,d d0,0,则则S Sn n存在最存在最 值值.8.8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质等差数列与等差数列各项的和有关的性质 （1 1）若）若 a an n 是等差数列，则是等差数列，则 也成也成 数数列，列，其首项与其首项与 a an n 首项相同，公差是首项相同，公差是 a an n 公差的公差的 .（2 2）S Sm m，S S2 2m m，S S3 3m m分别为分别为 a an n 的前的前m m项，前项，前2 2m m项，项，前前3 3m m项的和，项的和，S Sm m，S S2 2m m-S Sm m，S S3 3m m-S-S2 2m m成成

6、 数列数列.小小等差等差等差等差大大2021/8/11 星期三4（3 3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质）关于等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为若项数为2 2n n，则，则S S偶偶-S S奇奇=，=.若项数为若项数为2 2n n-1-1，则，则S S偶偶=（n n-1-1）a an n，S S奇奇=a an n，S S奇奇-S S偶偶=，(4)(4)两个等差数列两个等差数列 a an n、b bn n 的前的前n n项和项和S Sn n、T Tn n之间之间的关系为：的关系为：=.ndndn na an n2021/8/11 星期三5基础自测基础自测1.1.（20092009辽宁文，辽宁

7、文，3 3）a an n 为等差数列，且为等差数列，且a a7 7-2 2a a4 4=-1,=-1,a a3 3=0,=0,则公差则公差d d=（）A.-2 A.-2 B.B.C.C.D.2D.2 解析解析 根据题意得根据题意得a a7 7-2-2a a4 4=a a1 1+6+6d d-2(-2(a a1 1+3+3d d)=-1,)=-1,a a1 1=1.=1.又又a a3 3=a a1 1+2+2d d=0,=0,d d=B2021/8/11 星期三62.2.已知数列已知数列 a an n 中中,a a1 1=1,=1,则则a a1010等于（等于（）A.B.A.B.C.D.C.D.

8、以上都不对以上都不对 解析解析 由由a a1 1=1,=1,得得 为等差数列为等差数列.B2021/8/11 星期三73.3.（20092009福福建建理理，3 3）等等差差数数列列 a an n 的的前前n n项项和和为为S Sn n,且且S S3 3=6,=6,a a3 3=4,=4,则公差则公差d d等于等于（）A.1 A.1B.B.C.2 C.2D.3D.3 解析解析 设设 a an n 首项为首项为a a1 1,公差为公差为d d,则则S S3 3=3=3a a1 1+d d=3=3a a1 1+3+3d d=6,=6,a a3 3=a a1 1+2+2d d=4,=4,a a1 1

9、=0,=0,d d=2.=2.C2021/8/11 星期三84.4.已知等差数列已知等差数列 a an n 的前的前1313项之和为项之和为3939，则，则a a6 6+a a7 7+a a8 8 等于等于（）A.6 A.6B.9B.9C.12C.12D.18D.18 解析解析 由由S S1313=13=13a a7 7=39=39得得a a7 7=3=3，a a6 6+a a7 7+a a8 8=3=3a a7 7=9.=9.B2021/8/11 星期三95.5.设设S Sn n是等差数列是等差数列 a an n 的前的前n n项和，若项和，若 则则 等于等于（）A.1 A.1B.-1B.-

10、1C.2C.2D.D.解析解析 由等差数列的性质，由等差数列的性质，A2021/8/11 星期三10题型一题型一 等差数列的判定等差数列的判定【例例1 1】已知数列】已知数列 a an n 的通项公式的通项公式a an n=pnpn2 2+qnqn (p p、q qR R，且，且p p、q q为常数为常数).).（1 1）当）当p p和和q q满足什么条件时，数列满足什么条件时，数列 a an n 是等差数列；是等差数列；（2 2）求证：对任意实数）求证：对任意实数p p和和q q,数列数列 a an n+1+1-a an n 是等差数是等差数列列.(1)(1)由定义知由定义知,a an n

11、为等差数列为等差数列,a an n+1+1-a an n必为一个常数必为一个常数.(2)(2)只需推证只需推证(a an n+2+2-a an n+1+1)-()-(a an n+1+1-a an n)为一个常数为一个常数.思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析2021/8/11 星期三11(1)(1)解解 a an n+1+1-a an n=p p(n n+1)+1)2 2+q q(n n+1)+1)-(-(pnpn2 2+qnqn)=2=2pnpn+p p+q q,要使要使 a an n 是等差数列是等差数列,则则2 2pnpn+p p+q q应是一个与应是一个与n n无关的无

12、关的常数常数,所以只有所以只有2 2p p=0,=0,即即p p=0,.=0,.故当故当p p=0,=0,时，数列时，数列 a an n 是等差数列是等差数列.(2)(2)证明证明 a an n+1+1-a an n=2=2pnpn+p p+q q,a an n+2+2-a an n+1+1=2=2p p(n n+1)+1)+p p+q q,(a an n+2+2-a an n+1+1)-()-(a an n+1+1-a an n)=2)=2p p为一个常数为一个常数.a an n+1+1-a an n 是等差数列是等差数列.2021/8/11 星期三12 探探究究提提高高 证证明明或或判判断

13、断一一个个数数列列为为等等差差数数列列,通通常常有有两两种种方方法法:(1):(1)定定义义法法:a an n+1+1-a an n=d d;(2);(2)等等差差中中项项法法:2:2a an n+1+1=a an n+a an n+2+2.就就本本例例而而言言,第第(2)(2)问问中中,需需证证明明(a an n+2+2-a an+n+1 1)-()-(a an+n+1 1-a an n)是常数是常数,而不是证而不是证a an n+1+1-a an n为常数为常数.知知 能能 迁迁 移移1 1 设设 两两 个个 数数 列列 a an n ,b bn n 满满 足足b bn n=若若 b bn

14、 n 为为等等差差数数列列，求求证证：a an n 也为等差数列也为等差数列.证明证明 由题意有由题意有a a1 1+2+2a a2 2+3+3a a3 3+nanan n=从而有从而有a a1 1+2+2a a2 2+3+3a a3 3+（n n-1-1）a an n-1-1=b bn n-1-1，（，（n n22）2021/8/11 星期三13由由-，得，得nanan n=整理得整理得a an n=其中其中d d为为 b bn n 的公差（的公差（n n22）.从而从而a an n+1+1-a an n=（n n22）.又又a a1 1=b b1 1,a a2 2=d d+b b1 1,a

15、 a2 2-a a1 1=d d,所以所以 a an n 是等差数列是等差数列.2021/8/11 星期三14题型二题型二 等差数列的基本运算等差数列的基本运算【例例2 2】在等差数列】在等差数列 a an n 中，中，（1 1）已知）已知a a1515=33,=33,a a4545=153,=153,求求a a6161;（2 2）已知）已知a a6 6=10,=10,S S5 5=5=5，求，求a a8 8和和S S8 8；（3 3）已知前）已知前3 3项和为项和为1212，前，前3 3项积为项积为4848，且，且d d0,0,求求a a1 1.在在等等差差数数列列中中，五五个个重重要要的的

16、量量，只只要要已已知知三三个个量量，就就可可求求出出其其他他两两个个量量，其其中中a a1 1和和d d是是两两个个最最基基本本量量，利利用用通通项项公公式式与与前前n n项项和和公公式式，先先求求出出a a1 1和和d d.思维启迪思维启迪2021/8/11 星期三15解解 （1 1）方法一方法一 设首项为设首项为a a1 1,公差为公差为d d,依条件得依条件得 33=33=a a1 1+14+14d d a a1 1=-23,=-23,153=153=a a1 1+44+44d d d d=4.=4.a a6161=-23+(61-1)4=217.=-23+(61-1)4=217.方法二

17、方法二 由由 由由a an n=a am m+(+(n n-m m)d d,得得a a6161=a a4545+16+16d d=153+164=217.=153+164=217.,解方程组得解方程组得（2 2）a a6 6=10,=10,S S5 5=5,=5,解方程组得解方程组得a a1 1=-5,=-5,d d=3,=3,a a8 8=a a6 6+2+2d d=10+23=16,=10+23=16,a a1 1+5+5d d=10=105 5a a1 1+10+10d d=5.=5.2021/8/11 星期三16S S8 8=8 =44.=8 =44.(3)(3)设数列的前三项分别为设

18、数列的前三项分别为a a-d d,a a,a a+d d,依题意有依题意有 (a a-d d)+)+a a+(+(a a+d d)=12)=12 (a a-d d)a a(a a+d d)=48,)=48,a a=4 =4 a a=4=4 a a(a a2 2-d d2 2)=48 )=48 d d=2.=2.d d0,0,d d=2,=2,a a-d d=2.=2.首项为首项为2.2.a a1 1=2.=2.,方方程程思思想想是是解解决决数数列列问问题题的的基基本本思思想想，通通过过公公差差列列方方程程（组组）来来求求解解基基本本量量是是数数列列中中最最基基本本的的方方法法，同同时时在在解解

19、题题中中也也要要注注意意数数列列性性质质的的应用应用.探究提高探究提高2021/8/11 星期三17知知能能迁迁移移2 2 设设 a an n 是是一一个个公公差差为为d d (d d0)0)的的等等差差数数列列，它的前它的前1010项和项和S S1010=110=110且且a a1 1,a a2 2,a a4 4成等比数列成等比数列.（1 1）证明）证明a a1 1=d d;（2 2）求公差）求公差d d的值和数列的值和数列 a an n 的通项公式的通项公式.（1 1）证明证明 因为因为a a1 1,a a2 2,a a4 4成等比数列，故成等比数列，故 =a a1 1a a4 4.而而

20、a an n 是等差数列，有是等差数列，有a a2 2=a a1 1+d d,a a4 4=a a1 1+3+3d d.于是于是(a a1 1+d d)2 2=a a1 1(a a1 1+3+3d d),),即即 +2 +2a a1 1d d+d d2 2=+3=+3a a1 1d d.化简得化简得a a1 1=d d.（2 2）解解 因为因为S S1010=110=110，S S1010=10=10a a1 1+d d，所以所以1010a a1 1+45+45d d=110.=110.由（由（1 1）a a1 1=d d,代入上式得代入上式得5555d d=110,=110,故故d d=2,

21、=2,a an n=a a1 1+(+(n n-1)-1)d d=2=2n n.因此，数列因此，数列 a an n 的通项公式为的通项公式为a an n=2=2n n,n n=1,2,3,.=1,2,3,.2021/8/11 星期三18题型三题型三 等差数列的性质及综合应用等差数列的性质及综合应用【例例3 3】（1212分分）在在等等差差数数列列 a an n 中中，已已知知a a1 1=20,=20,前前n n项项和和为为S Sn n，且且S S1010=S S1515，求求当当n n取取何何值值时时，S Sn n取取得得最最大值，并求出它的最大值大值，并求出它的最大值.（1 1）由由a a

22、1 1=20=20及及S S1010=S S1515可可求求得得d d,进进而而求求得得通通项项，由由通通项项得得到到此此数数列列前前多多少少项项为为正正，或或利利用用S Sn n是是关关于于n n的的二二次次函函数数，利利用用二二次次函函数数求求最最值值的的方方法法求求解解.（2 2）利利用用等等差差数数列列的的性性质质，判判断断出出数数列从第几项开始变号列从第几项开始变号.思维启迪思维启迪2021/8/11 星期三19解解 方法一方法一 a a1 1=20=20，S S1010=S S1515，1020+1020+d d=1520+=1520+d d，d d=4=4分分a an n=20+

23、=20+（n n-1-1）8 8分分a a1313=0.=0.即当即当n n1212时，时，a an n0,0,n n1414时，时，a an n0.100.10分分当当n n=12=12或或1313时，时，S Sn n取得最大值，且最大值为取得最大值，且最大值为S S1212=S S1313=1220+=130.12=1220+=130.12分分2021/8/11 星期三20方法二方法二 同方法一求得同方法一求得d d=4 4分分S Sn n=20=20n n+=8 8分分n nN N+,当当n n=12=12或或1313时，时，S Sn n有最大值，有最大值，且最大值为且最大值为S S12

24、12=S S1313=130.=130.12 12分分方法三方法三 同方法一得同方法一得d d=4=4分分又由又由S S1010=S S1515,得得a a1111+a a1212+a a1313+a a1414+a a1515=0.8=0.8分分55a a1313=0,=0,即即a a1313=0.=0.10 10分分当当n n=12=12或或1313时，时，S Sn n有最大值，有最大值，且最大值为且最大值为S S1212=S S1313=130.12=130.12分分2021/8/11 星期三21探究提高探究提高 求等差数列前求等差数列前n n项和的最值，常用的方法：项和的最值，常用的方

25、法：（1 1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2 2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3 3）利用等差数列的前）利用等差数列的前n n项和项和S Sn n=AnAn2 2+BnBn（A A、B B为常数）为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值为二次函数，根据二次函数的性质求最值.2021/8/11 星期三22知知能能迁迁移移3 3 在在等等差差数数列列 a an n 中中，a a1616+a a1717+a a1818=a a9 9=-36,=-36,其前其前n n项和为项和为

26、S Sn n.（1 1）求）求S Sn n的最小值，并求出的最小值，并求出S Sn n取最小值时取最小值时n n的值；的值；（2 2）求）求T Tn n=|=|a a1 1|+|+|a a2 2|+|+|a an n|.|.解解 （1 1）设等差数列）设等差数列 a an n 的首项为的首项为a a1 1,公差为公差为d d,a a1616+a a1717+a a1818=3=3a a1717=-36,=-36,a a1717=-12,=-12,d d=3,=3,a an n=a a9 9+(+(n n-9)-9)d d=3=3n n-63,-63,a an n+1+1=3=3n n-60,-

27、60,a an n=3=3n n-630-630 a an n+1+1=3=3n n-600-600 S S2020=S S2121=当当n n=20=20或或2121时，时，S Sn n最小且最小值为最小且最小值为-630.-630.令令,得得2020n n21,21,2021/8/11 星期三23（2 2）由（）由（1 1）知前）知前2020项小于零，第项小于零，第2121项等于项等于0 0，以后，以后各项均为正数各项均为正数.当当n n2121时，时，T Tn n=-=-S Sn n=当当n n2121时，时，T Tn n=S Sn n-2-2S S2121=综上，综上，T Tn n=（

28、n n2121，n nN N*）（n n21,21,n nN N*）.2021/8/11 星期三24方法与技巧方法与技巧1.1.等差数列的判断方法有等差数列的判断方法有 (1)(1)定定义义法法：a an n+1+1-a an n=d d (d d是是常常数数)a an n 是是等等差差数数列列.(2)(2)中中项项公公式式：2 2a an n+1+1=a an n+a an n+2+2 (n nN N*)a an n 是是等等差差数数列列.(3)(3)通通项项公公式式：a an n=pnpn+q q(p p,q q为为常常数数）a an n 是是等等差差数列数列.(4)(4)前前n n项项和

29、和公公式式：S Sn n=AnAn2 2+BnBn （A A、B B为为常常数数）a an n 是等差数列是等差数列.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2021/8/11 星期三252.2.方方程程思思想想和和基基本本量量思思想想：在在解解有有关关等等差差数数列列的的问问题题时时可可以以考考虑虑化化归归为为a a1 1和和d d等等基基本本量量，通通过过建建立立方方程程（组）获得解（组）获得解.3.3.等差数列的通项公式本身可以由累加法得到等差数列的通项公式本身可以由累加法得到.4.4.等等差差数数列列的的前前n n项项和和公公式式S Sn n=很很像像梯梯形形面面积积公公式式，其其推推导导方

30、方法法也也与与梯梯形形面面积积公公式式的的推推导导方方法法完全一样完全一样.5.5.等等差差数数列列的的前前n n项项和和公公式式S Sn n=nana1 1+d d可可以以变变形形为为 类类似似于于匀匀加加速速直直线线运运动动的的路路程公式，只要把程公式，只要把d d理解为加速度理解为加速度.2021/8/11 星期三26失误与防范失误与防范1.1.如如果果p p+q q=r r+s s,则则a ap p+a aq q=a ar r+a as s,一一般般地地，a ap p+a aq qa ap p+q q，必须是两项相加，当然可以是必须是两项相加，当然可以是a ap p-t t+a ap

31、p+t t=2=2a ap p.2.2.等等差差数数列列的的通通项项公公式式通通常常是是n n的的一一次次函函数数，除除非非公公差差d d=0.=0.3.3.公公差差不不为为0 0的的等等差差数数列列的的前前n n项项和和公公式式是是n n的的二二次次函函数数，且且常常数数项项为为0.0.若若某某数数列列的的前前n n项项和和公公式式是是n n的的常常数数项项不不为为0 0的的二二次次函函数数，则则该该数数列列不不是是等等差差数数列列，它从第二项起成等差数列它从第二项起成等差数列.4.4.公差公差d d=类似于由两点坐标求直线斜率的计算类似于由两点坐标求直线斜率的计算.5.5.当当d d不为零

32、时，等差数列必为单调数列不为零时，等差数列必为单调数列.6.6.从从一一个个等等差差数数列列中中，每每隔隔一一定定项项抽抽出出一一项项，组组成成的的数列仍是等差数列数列仍是等差数列.2021/8/11 星期三27一、选择题一、选择题1.1.（20082008广广东东理理，2 2）记记等等差差数数列列 a an n 的的前前n n项项和和为为S Sn n，若，若a a1 1=，S S4 4=20=20，则，则S S6 6等于等于（）A.16 A.16B.24B.24C.36C.36D.48D.48 解析解析 S S4 4=2+6=2+6d d=20=20，d d=3=3，故，故S S6 6=3+

33、15=3+15d d=48.=48.D定时检测定时检测2021/8/11 星期三282.2.（20092009安安徽徽文文，5 5）已已知知 a an n 为为等等差差数数列列，a a1 1+a a3 3+a a5 5=105,=105,a a2 2+a a4 4+a a6 6=99,=99,则则a a2020等于等于（）A.-1 A.-1B.1B.1C.3C.3D.7D.7 解析解析 由已知得由已知得a a1 1+a a3 3+a a5 5=3=3a a3 3=105,=105,a a2 2+a a4 4+a a6 6=3=3a a4 4=99,=99,a a3 3=35,=35,a a4

34、4=33,=33,d d=-2.=-2.a a2020=a a3 3+17+17d d=35+(-2)17=1.=35+(-2)17=1.B2021/8/11 星期三293.3.（20092009湖湖南南文文，3 3）设设S Sn n是是等等差差数数列列 a an n 的的前前n n项项和，已知和，已知a a2 2=3,=3,a a6 6=11,=11,则则S S7 7等于等于（）A.13 A.13B.35B.35C.49C.49D.63D.63 解析解析 a a1 1+a a7 7=a a2 2+a a6 6=3+11=14.=3+11=14.S S7 7=C2021/8/11 星期三304

35、.4.（20092009宁宁夏夏、海海南南理理，7 7）等等比比数数列列 a an n 的的前前n n项项和为和为S Sn n,且且4 4a a1 1,2,2a a2 2,a a3 3成等差数列，若成等差数列，若a a1 1=1,=1,则则S S4 4=（）A.7 A.7B.8B.8C.15C.15D.16D.16 解解析析 设设等等比比数数列列的的公公比比为为q q，则则由由4 4a a1 1,2,2a a2 2,a a3 3成成等等差差 数数 列列，得得 4 4a a2 2=4=4a a1 1+a a3 3.4.4a a1 1q q=4=4a a1 1+a a1 1q q2 2.q q2

36、2-4 4q q+4=0.+4=0.q q=2,=2,S S4 4=C2021/8/11 星期三315.5.已知等差数列已知等差数列 a an n 的公差为的公差为d d(d d0)0)，且，且a a3 3+a a6 6 +a a1010+a a1313=32,=32,若若a am m=8=8，则，则m m为为（）A.12 A.12B.8B.8 C.6 C.6 D.4 D.4 解析解析 由等差数列性质由等差数列性质a a3 3+a a6 6+a a1010+a a1313 =(=(a a3 3+a a1313)+()+(a a6 6+a a1010)=2)=2a a8 8+2+2a a8 8=

37、4=4a a8 8=32,=32,a a8 8=8.=8.m m=8.=8.B2021/8/11 星期三326.6.各项均不为零的等差数列各项均不为零的等差数列 a an n 中，若中，若 -a an n-1-1-a an n+1+1=0=0 (n nN N*，n n2)2)，则，则S S2 0092 009等于等于（）A.0 B.2 C.2 009 D.4 018 A.0 B.2 C.2 009 D.4 018 解析解析 =a an n-1-1+a an n+1+1=2=2a an n,a an n0,0,a an n=2.=2.S Sn n=2=2n n,S S2 0092 009=22

38、009=4 018.=22 009=4 018.D2021/8/11 星期三33二、填空题二、填空题7.7.（20092009辽辽宁宁理理，1414）等等差差数数列列 a an n 的的前前n n项项和和为为S Sn n,且且6 6S S5 5-5-5S S3 3=5,=5,则则a a4 4=.解析解析 由题意知由题意知6 6 +45 +45d d=15(=15(a a1 1+3+3d d)=15)=15a a4 4=5,=5,故故a a4 4=.=.2021/8/11 星期三348.8.（20092009全全国国理理，1414）设设等等差差数数列列 a an n 的的前前n n项项和为和为S

39、 Sn n,若若a a5 5=5=5a a3 3,则则 =.解析解析 设等差数列的公差为设等差数列的公差为d d,首项为首项为a a1 1,则由则由a a5 5=5=5a a3 3知知a a1 19 92021/8/11 星期三359.9.已知已知S Sn n为等差数列为等差数列 a an n 的前的前n n项和，若项和，若a a2 2a a4 4=76 76，则，则S S7 7S S3 3等于等于 .解析解析 21212021/8/11 星期三36三、解答题三、解答题10.10.在数列在数列 a an n 中，中，a a1 1=1,3=1,3a an na an n-1-1+a an n-a

40、 an n-1-1=0(=0(n n2).2).（1 1）求证：数列）求证：数列 是等差数列；是等差数列；（2 2）求数列）求数列 a an n 的通项的通项.（1 1）证明证明 因为因为3 3a an na an n-1-1+a an n-a an n-1-1=0(=0(n n2),2),整理得整理得 =3(=3(n n2).2).所以数列所以数列 是以是以1 1为首项，为首项，3 3为公差的等差数列为公差的等差数列.（2 2）解解 由（由（1 1）可得）可得 =1+3(=1+3(n n-1)=3-1)=3n n-2,-2,所以所以a an n=2021/8/11 星期三3711.11.已已

41、知知数数列列 a an n 中中，a a1 1=，a an n=2-=2-(n n2,2,n nN N*),),数列数列 b bn n 满足满足b bn n=(=(n nN N*).).（1 1）求证：数列）求证：数列 b bn n 是等差数列；是等差数列；（2 2）求数列）求数列 a an n 中的最大项和最小项，并说明理由中的最大项和最小项，并说明理由.（1 1）证明证明 因为因为a an n=2-(=2-(n n2,2,n nN N*),),b bn n=所以当所以当n n22时，时，b bn n-b bn n-1-1=2021/8/11 星期三38 又又b b1 1=所所以以，数数列列

42、 b bn n 是是以以-为为首首项项，以以1 1为为公公差差的的等等差数列差数列.2021/8/11 星期三39（2 2）解解 由（由（1 1）知，）知，b bn n=n n-,-,则则a an n=设函数设函数f f(x x)=1+)=1+易知易知f f(x x)在区间在区间(-,)(-,)和和(,+)(,+)内为减函数内为减函数.所以，当所以，当n n=3=3时，时，a an n取得最小值取得最小值-1-1；当当n n=4=4时，时，a an n取得最大值取得最大值3.3.2021/8/11 星期三4012.12.已已 知知 数数 列列 a an n 中中，a a1 1=5=5且且 a

43、an n=2=2a an n-1-1+2+2n n-1-1(n n22且且n nN N*).).（1 1）求）求a a2 2,a a3 3的值；的值；（2 2）是否存在实数）是否存在实数 ，使得数列，使得数列 为等差数列为等差数列,若存在，求出若存在，求出 的值；若不存在的值；若不存在,请说明理由请说明理由.解解 （1 1）a a1 1=5=5，a a2 2=2=2a a1 1+2+22 2-1=13-1=13，a a3 3=2=2a a2 2+2+23 3-1=33.-1=33.（2 2）方法一方法一 假设存在实数假设存在实数 ，使得数列，使得数列 为等为等 差数列，差数列，2021/8/1

44、1 星期三41设设b bn n=,=,由由 b bn n 为等差数列，则有为等差数列，则有2 2b b2 2=b b1 1+b b3 3,22 解得解得 =-1.=-1.事实上，事实上，综上可知，存在实数综上可知，存在实数 =-1,=-1,使得数列使得数列 为等为等差数列差数列.2021/8/11 星期三42方法二方法二 假设存在实数假设存在实数 ,使得使得 为等差数列为等差数列.设设b bn n=,=,由由 b bn n 为等差数列，为等差数列，则有则有2 2b bn n+1+1=b bn n+b bn n+2+2(n nN N*)，22 =4 =4a an n+1+1-4-4a an n-a an n+2+2=2(=2(a an n+1+1-2-2a an n)-()-(a an n+2+2-2-2a an n+1+1)=2(2=2(2n n+1+1-1)-(2-1)-(2n n+2+2-1)=-1-1)=-1，综上可知，存在实数综上可知，存在实数 =-1,=-1,使得数列使得数列 为等为等差数列差数列.返回返回 2021/8/11 星期三43