人教版陕西省西安电子科技大学附属中学高考数学研讨会 压轴题的解题思路与方法课件.ppt

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1、高考数学压轴题的解题思路和方法高考数学压轴题的解题思路和方法2021/8/9 星期一1关于关于“压轴题压轴题”的几点说明：的几点说明：1.1.一题压的轴变为多题压轴；一题压的轴变为多题压轴；2.2.解析几何题重点在于几何问题代数化的转化的解析几何题重点在于几何问题代数化的转化的训练；训练；3.3.函数导数题重点体现创新能力的考查，有一定函数导数题重点体现创新能力的考查，有一定难度；难度；4.4.和数列的结合往往增大了压轴题的难度和数列的结合往往增大了压轴题的难度;5.5.我省与全国卷相比，压轴题比较稳，体现在考我省与全国卷相比，压轴题比较稳，体现在考查知识点、方法上稳中有进。查知识点、方法上稳

2、中有进。2/662/662021/8/9 星期一2一、总体认识（研究考纲教材考题）一、总体认识（研究考纲教材考题）二、规律探索（总结解题思路方法）二、规律探索（总结解题思路方法）三、应对策略（教学辅导实践反思）三、应对策略（教学辅导实践反思）压压 轴轴 题题 函数、导数、方程、不等式综合题函数、导数、方程、不等式综合题3/663/662021/8/9 星期一3一、总体认识一、总体认识（一）考纲的角度（一）考纲的角度（二）教材的角度（二）教材的角度（三）试题的角度（三）试题的角度4/664/662021/8/9 星期一4（一）考纲的角度（一）考纲的角度（二）函数概念与基本初等函数（二）函数概念与

3、基本初等函数5 5函数与方程函数与方程 结合结合二次函数二次函数的图象，的图象，了解了解函数的零点与方函数的零点与方程根的联系，程根的联系，判断判断一元二次方程根的存在性与根一元二次方程根的存在性与根的个数的个数5/665/662021/8/9 星期一5（十三）不等式（十三）不等式2 2一元二次不等式一元二次不等式（1 1）会会从实际问题的情境中抽象出一元二次从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型不等式模型（2 2）通过函数图像了解一元二次不等式与相）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系应的二次函数、一元二次方程的联系（3 3）会解会解一元二次不等式，对给定的

4、一元二一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，次不等式，会会设计求解的程序框图设计求解的程序框图6/666/662021/8/9 星期一6（一）考纲的角度（一）考纲的角度（文）（十六）导数及其应用（文）（十六）导数及其应用（4 4）能能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则导数的四则运算法则求求简单函数的导数简单函数的导数.（理）（十七）导数及其应用（理）（十七）导数及其应用（4 4）能能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则导数的四则运算法则求求简单函数的导数，并简单函数的导数，并

5、了解了解复合函数求导法则，复合函数求导法则，能求能求简单复合函数（仅限于简单复合函数（仅限于形如形如 复合函数）的导数复合函数）的导数.7/667/662021/8/9 星期一7导数及其应用（文理）导数及其应用（文理）（5 5）了解了解函数的单调性与导数的关系；能利用导函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，数研究函数的单调性，会求会求函数的单调区间函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）（其中多项式函数不超过三次）.（6 6）了解了解函数在某点取得极值的必要条件和充分函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；条件；会用会用导数求函数的极大值、极小值（其中导数求函数的极大值、极小

6、值（其中多项式函数不超过三次）；多项式函数不超过三次）；会求会求闭区间上函数的闭区间上函数的最大值、最小值最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）（其中多项式函数不超过三次）（7 7）会用会用导数解决实际问题导数解决实际问题.（一）考纲的角度（一）考纲的角度8/668/662021/8/9 星期一8（二）教材的角度（二）教材的角度 从从高等数学高等数学的角度，导数概念的起点是极限，的角度，导数概念的起点是极限，从数列的极限从数列的极限函数的极限函数的极限导数。导数。新课标教材新课标教材（北师大版）对于导数的引入做了一定的简化，（北师大版）对于导数的引入做了一定的简化，从变化率入手，用形象直观

7、的从变化率入手，用形象直观的“逼近逼近”方法定义方法定义导数，旨在强调导数的几何意义，从而顺利的过导数，旨在强调导数的几何意义，从而顺利的过渡到导数与单调性之间的关系，突出了导数在研渡到导数与单调性之间的关系，突出了导数在研究函数单调性、最值等问题中的工具性作用。究函数单调性、最值等问题中的工具性作用。9/669/662021/8/9 星期一9 从从函数的角度函数的角度，四个二次四个二次（二次函数二次函数,二次方程二次方程及其根的分布、二次不等式、二次三项式及其根的分布、二次不等式、二次三项式）它们在它们在高考中占有重要的地位高考中占有重要的地位,二次函数是高中新课程中二次函数是高中新课程中一

8、个最基本的函数，其有关性质仍是我们研究函数一个最基本的函数，其有关性质仍是我们研究函数性质最基本、也是最主要的简单基本初等函数，而性质最基本、也是最主要的简单基本初等函数，而二次函数的定义域及值域的考查也以灵活多变的方二次函数的定义域及值域的考查也以灵活多变的方式出现、式出现、三次函数、指数函数、对数函数、对勾函三次函数、指数函数、对数函数、对勾函数、分式函数、分段函数数、分式函数、分段函数在考题中多有出现在考题中多有出现,应予应予特别关注特别关注.10/6610/662021/8/9 星期一101.1.设问特点；设问特点；2.2.交叉知识点；交叉知识点；3.3.函数模型；函数模型；4.4.数

9、学思想方法；数学思想方法；（三）试题的角度（三）试题的角度11/6611/662021/8/9 星期一11近近5 5年来陕西卷压轴题试题特点年来陕西卷压轴题试题特点年份年份设问设问特点特点涉及涉及知知识识点点函数模函数模型型数学数学思想方法思想方法2011年年单调单调区区间间最最值值恒成立恒成立单调单调性性最最值值不等式不等式含含lnx的的分数函分数函数数分分类讨论类讨论2012年年零点存在性零点存在性参数范参数范围围数列数列单调单调性性零点存在零点存在定理定理数列放数列放缩缩不等式不等式多多项项式式函数函数分分类讨论类讨论化化归转归转化化12/6612/662021/8/9 星期一12年份年

10、份设问设问特点特点涉及涉及知知识识点点函数模函数模型型数学数学思想方法思想方法2013年年参数参数值值公共点个数公共点个数比比较较大小大小导导数几何意数几何意义义最最值值 型函型函数数分分类讨论类讨论2014年年函数表达式函数表达式参数范参数范围围比比较较大小大小最最值值，单调单调性性定定积积分分数列数列含含lnx的的函数函数分分类讨论类讨论数学数学归纳归纳法法2015年年函数零点函数零点比比较较大小大小零点存在定理零点存在定理数列放数列放缩缩多多项项式式函数函数分分类讨论类讨论化化归转归转化化近近5 5年来陕西卷压轴题试题特点年来陕西卷压轴题试题特点2021/8/9 星期一13近近5 5年来

11、新课标全国年来新课标全国卷压轴题试题特点卷压轴题试题特点年份年份设问设问特点特点涉及涉及知知识识点点函数模型函数模型数学数学思想方法思想方法2011年年知切知切线线求求值值恒成立求恒成立求参数范参数范围围导导数几何意数几何意义义不等式不等式证证明明含含lnx的分的分数函数数函数分分类讨论类讨论构造函数构造函数2012年年解析式解析式单调单调区区间间参数最大参数最大值值单调单调区区间间不等式不等式含含 型的型的函数函数分分类讨论类讨论构造函数构造函数14/6614/662021/8/9 星期一14年份年份设问设问特点特点涉及涉及知知识识点点函数模型函数模型数学数学思想方法思想方法2013年年知切

12、知切线线求求值值证证明不等式明不等式导导数几何意数几何意义义最最值值单调单调性性 型型+二二次函数次函数分分类讨论类讨论构造函数构造函数2014年年知切知切线线求求值值证证明不等式明不等式导导数几何意数几何意义义最最值值单调单调性性 +lnx型型函数函数分分类讨论类讨论构造函数构造函数分离参数分离参数2015年年知切知切线线求求值值 零点个数零点个数零点存在定理零点存在定理切切线线单调单调性性lnx型型+多多项项式函数式函数分分类讨论类讨论数形数形结结合合近近5 5年来新课标全国年来新课标全国卷压轴题试题特点卷压轴题试题特点15/6615/662021/8/9 星期一15年份年份设问设问特点特

13、点涉及涉及知知识识点点函数模型函数模型数学数学思想方法思想方法2013年年求求单调单调区区间间证证明不等式明不等式零点存在定理零点存在定理切切线线单调单调性性 +lnx型函数型函数分分类讨论类讨论构造函数构造函数2014年年求求单调单调区区间间参数最大参数最大值值ln2近似近似值值基本不等式基本不等式最最值值单调单调性性 型函型函数数分分类讨论类讨论构造函数构造函数分离参数分离参数2015年年证证明明单调单调性性恒成立求参恒成立求参数范数范围围最最值值单调单调性性 型型+二二次函数次函数分分类讨论类讨论构造函数构造函数近近3 3年来新课标全国年来新课标全国卷压轴题试题特点卷压轴题试题特点16/

14、6616/662021/8/9 星期一16热热点点1 1：利用：利用导导数的几何意数的几何意义处义处理曲理曲线线的切的切线问题线问题；热热点点2 2：利用：利用导导数研究三次函数数研究三次函数,分式函数分式函数,指指对对 函数的性函数的性质问题质问题；热热点点3 3：利用：利用导导数研究函数的数研究函数的单调单调性、性、单调单调区区间间、以及已知函数的以及已知函数的单调单调性，确定函数中的性，确定函数中的 参参变变量量变变化范化范围围等等问题问题；热热点点4 4：利用：利用导导数数处处理含参数的恒成立不等式理含参数的恒成立不等式问题问题；热热点点5 5：利用：利用导导数解决数解决实际问题实际问

15、题中的最中的最优优化化问题问题.试题热点：试题热点：17/6617/662021/8/9 星期一17 通过研究通过研究2010至至2015年新课标全国卷、陕西卷的年新课标全国卷、陕西卷的15道压轴题，不难发现，这类题主要遵循道压轴题，不难发现，这类题主要遵循“化简化简构造函数构造函数求导判断单调性求导判断单调性证明恒不等关系证明恒不等关系”这这样的解题流程。但难点在于：第一，构造函数时并样的解题流程。但难点在于：第一，构造函数时并不存在通用的构造方法，如果构造不当，会出现很不存在通用的构造方法，如果构造不当，会出现很大的求导计算量，甚至无法继续解答；第二，即使大的求导计算量，甚至无法继续解答；

16、第二，即使构造函数正确，在接下来的分类讨论中，学生也很构造函数正确，在接下来的分类讨论中，学生也很难理清分类讨论的依据。难理清分类讨论的依据。18/6618/662021/8/9 星期一18二、规律探索（总结解题思路方法）二、规律探索（总结解题思路方法）（一）重视两大类解题方法（一）重视两大类解题方法 构造函数构造函数 分离参数分离参数（二）重视数形结合的新趋向（二）重视数形结合的新趋向 （三）重视三次函数的研究（文科）（三）重视三次函数的研究（文科）19/6619/662021/8/9 星期一191.1.构造函数构造函数 函数是高中数学课程学习的核心内容，能够在函数是高中数学课程学习的核心内

17、容，能够在基本初等函数的基础上构造新的函数解决相应问基本初等函数的基础上构造新的函数解决相应问题，是考生再创造能力和化归转化能力的体现，题，是考生再创造能力和化归转化能力的体现，也能体现出了考生对函数基本思想的准确理解。也能体现出了考生对函数基本思想的准确理解。因此，构造函数在压轴题的考查中几乎年年都出因此，构造函数在压轴题的考查中几乎年年都出现。现。事实上，近五年的新课标全国卷压轴题均可用事实上，近五年的新课标全国卷压轴题均可用构造函数的方法来解答。构造函数的方法来解答。20/6620/662021/8/9 星期一20 如何构造函数如何构造函数？构造函数的目的是为了通过研究构造函数构造函数的

18、目的是为了通过研究构造函数的单调性得到最值，从而证明不等式。的单调性得到最值，从而证明不等式。而通过导数研究单调性首先要判断构造函而通过导数研究单调性首先要判断构造函数的导函数的正负，因此，构造函数的关键在数的导函数的正负，因此，构造函数的关键在于其于其导函数的零点是否易求或易估导函数的零点是否易求或易估21/6621/662021/8/9 星期一21（2 2）构造函数后分类讨论的依据是什么）构造函数后分类讨论的依据是什么？1 1、导函数零点的存在性、导函数零点的存在性2 2、导函数零点大小的不确定性、导函数零点大小的不确定性3 3、函数最值问题取得的可能性、函数最值问题取得的可能性4 4、导

19、函数零点分布的不确定性、导函数零点分布的不确定性实质：四个二次的回归实质：四个二次的回归22/6622/662021/8/9 星期一2223/6623/662021/8/9 星期一23作差法构造函数作差法构造函数 24/6624/662021/8/9 星期一242021/8/9 星期一25作差法构造函数作差法构造函数 2021/8/9 星期一262021/8/9 星期一27两次利用作差法构造函数两次利用作差法构造函数 2021/8/9 星期一2829/6629/662021/8/9 星期一29分离指、对函数构造函数分离指、对函数构造函数 2021/8/9 星期一30放缩、控元构造函数放缩、控元

20、构造函数 2021/8/9 星期一31 作差法构造函数作差法构造函数是历年高考压轴题中最是历年高考压轴题中最常用的方法，在陕西近常用的方法，在陕西近5 5年的理科压轴题年的理科压轴题均是利用作差法构造函数。均是利用作差法构造函数。另外，由于陕西省高考数学压轴题是另外，由于陕西省高考数学压轴题是三个设问，所以涉及的分类讨论较简单，三个设问，所以涉及的分类讨论较简单，无需分离参数；无需分离参数；2021/8/9 星期一322021/8/9 星期一3334/6634/662021/8/9 星期一34 近近6 6年新课标全国年新课标全国、卷的卷的9 9道压轴题均可道压轴题均可用构造函数的方法求得最值用

21、构造函数的方法求得最值.但如但如20132013、20112011、20102010这三年新课标这三年新课标卷导数题即使构造函数正确，卷导数题即使构造函数正确，也存在分类讨论相当复杂的情形，考生难以继续也存在分类讨论相当复杂的情形，考生难以继续作答作答.可以利用可以利用分离参数法简化构造函数分离参数法简化构造函数，使得问题，使得问题简单求解简单求解.2.2.分离参数分离参数2021/8/9 星期一352021/8/9 星期一3637/6637/662021/8/9 星期一37洛必达法则洛必达法则2021/8/9 星期一382021/8/9 星期一392021/8/9 星期一403.3.数形结合

22、数形结合 导数除了其正负决定增减之外，还可以结合导数除了其正负决定增减之外，还可以结合极值得到函数的大致图像，意味着导数可以和图极值得到函数的大致图像，意味着导数可以和图像问题结合，即是压轴题中较多零点个数问题的像问题结合，即是压轴题中较多零点个数问题的本质本质.41/6641/662021/8/9 星期一41结合草图看零点个数结合草图看零点个数2021/8/9 星期一422021/8/9 星期一432021/8/9 星期一442021/8/9 星期一452021/8/9 星期一46 对近对近6 6年新课标全国卷的研究，我们可以年新课标全国卷的研究，我们可以发现，若要用常规思维方法解决这类发现

23、，若要用常规思维方法解决这类问题，有一定的难度，但若能够渗透数形结合问题，有一定的难度，但若能够渗透数形结合的思想方法，则很多同学都容易接受因此我的思想方法，则很多同学都容易接受因此我们在日常的教学中，应引导学生经历用数形结们在日常的教学中，应引导学生经历用数形结合思想解决数学问题的过程，积累这方面的经合思想解决数学问题的过程，积累这方面的经验，培养数形结合的能力验，培养数形结合的能力47/6647/662021/8/9 星期一47 在高考中，尤其是文科数学中对导数的在高考中，尤其是文科数学中对导数的考查，三次函数是一个不错的载体。在文科考查，三次函数是一个不错的载体。在文科数学课本选修数学课

24、本选修1-11-1中，也大量的以三次函数为中，也大量的以三次函数为载体对导数的应用进行训练，大小共出现了载体对导数的应用进行训练，大小共出现了2323题次。题次。新课标全国新课标全国卷中，卷中，20132013年文科第年文科第1111题题与理科第与理科第1010题为同一题目，其中涉及到一个题为同一题目，其中涉及到一个冷门：三次函数的对称中心；冷门：三次函数的对称中心；20142014年文科第年文科第2l2l题纯粹考查三次函数。题纯粹考查三次函数。4.4.三次函数（文科）三次函数（文科）2021/8/9 星期一482021/8/9 星期一49 只要深刻掌握三次函数的图象特征和性质，只要深刻掌握三

25、次函数的图象特征和性质，就能找到明确的解题思路。就能找到明确的解题思路。2021/8/9 星期一50 一轮复习及模考中暴露的问题一轮复习及模考中暴露的问题没养成解答函数题定义域先行的良好习惯没养成解答函数题定义域先行的良好习惯;对对“恒成立恒成立”问题与问题与“能成立能成立”问题的识别问题的识别 与练习不够与练习不够;有关函数应用，对有关函数应用，对“对勾函数对勾函数”f(x)=x+a/x (a0)和双曲函数和双曲函数f(x)=x-1/x理解不到位；理解不到位；文科三次函数练习不到位，理科文科三次函数练习不到位，理科ex,ln x型函数型函数 的求导应用有待加强；的求导应用有待加强；51/66

26、51/662021/8/9 星期一51三、应对策略（教学辅导实践反思）三、应对策略（教学辅导实践反思）1.1.准确定位，研究学生，提高针对性；准确定位，研究学生，提高针对性；2.2.重视知识的归纳梳理策略；重视知识的归纳梳理策略；3.3.重视例题选择和解法示范策略；重视例题选择和解法示范策略；4.4.重视解题后的反思策略重视解题后的反思策略 5.5.数学尖子生的培优方法。数学尖子生的培优方法。2021/8/9 星期一521.1.准确定位，研究学生，提高针对性准确定位，研究学生，提高针对性高考的考查要求与高考的考查要求与学生的实际水平学生的实际水平 依据学生水平以及内容价值，对所授内容进依据学生

27、水平以及内容价值，对所授内容进行合理定位行合理定位 教学教学进度进度与教学与教学难度难度 全全局局意意识识，统统筹筹安安排排整整学学年年的的复复习习，牺牺牲牲“难难度度”也也不不要要牺牺牲牲“进进度度”，保保证证完完成成既既定定的的复习进程复习进程2021/8/9 星期一53教师的教师的“讲讲”与学生的与学生的“学学”充充分分了了解解学学生生的的学学习习情情况况，课课堂堂的的“练练”，要要练练在在要要害害处处；课课堂堂的的“讲讲”，要要讲讲在在学学生生的的需需求求点点上上，缩缩小小问问题题的的切切口口，一一节节课课着着力解决一个或若干个问题力解决一个或若干个问题2021/8/9 星期一54 数

28、学复习时，不应只是把所学过的数学知数学复习时，不应只是把所学过的数学知识简单地重复，而应该把基础知识从整体上按识简单地重复，而应该把基础知识从整体上按数学的逻辑结构、知识之间的内在联系，进行数学的逻辑结构、知识之间的内在联系，进行整理，还要把平时所学的各个单元的局部的分整理，还要把平时所学的各个单元的局部的分散的零碎知识，解题的思想方法，解题的规律散的零碎知识，解题的思想方法，解题的规律进行数学联结，从而使学生能从整体上，系统进行数学联结，从而使学生能从整体上，系统上，网络上把握知识、思想和方法。上，网络上把握知识、思想和方法。2.2.重视知识的归纳梳理策略重视知识的归纳梳理策略 2021/8

29、/9 星期一55 对基础知识、基本技能的系统复习不是对对基础知识、基本技能的系统复习不是对数学知识的简单重复，而是从规律上，从内在数学知识的简单重复，而是从规律上，从内在联系上，从外部联系上形成一个网络在复习联系上，从外部联系上形成一个网络在复习中中，要精化每一个概念要精化每一个概念，夯实每一点基础知识夯实每一点基础知识，掌握好每一个思想方法掌握好每一个思想方法。56/6656/662021/8/9 星期一563.3.重视例题选择和解法示范策略重视例题选择和解法示范策略 在复习时，例题的选择很重要。对例题在复习时，例题的选择很重要。对例题的选择标准要注意典型性、示范性、综合性、的选择标准要注意

30、典型性、示范性、综合性、灵活性和探究性，每一个题目都应该是一类灵活性和探究性，每一个题目都应该是一类题的代表，要做到由题及类，触类旁通，题的代表，要做到由题及类，触类旁通，“量不在多，典型就行，题不在难，反思就灵量不在多，典型就行，题不在难，反思就灵”2021/8/9 星期一57 高考试题是经过命题组反复推敲，不断打高考试题是经过命题组反复推敲，不断打磨命制的，因此，使用好历年高考试题是最好磨命制的，因此，使用好历年高考试题是最好的选择。例如，含参数的二次函数的最值问题的选择。例如，含参数的二次函数的最值问题在复习题及高考试题中屡屡出现，但是，学生在复习题及高考试题中屡屡出现，但是，学生每次遇

31、到时还是把它看作是生题，原因就在于每次遇到时还是把它看作是生题，原因就在于这种例题肯定讲，但是精讲不够，可能只是就这种例题肯定讲，但是精讲不够，可能只是就题论题，另一方面就是再遇到这类问题时，没题论题，另一方面就是再遇到这类问题时，没有注意化归。有注意化归。让学生每时每刻有数学问题在思考！让学生每时每刻有数学问题在思考！2021/8/9 星期一584.4.重视解题后的反思策略重视解题后的反思策略 在在高高考考复复习习时时，关关键键的的问问题题是是解解决决盲盲目目解解题题的的问问题题，常常常常遇遇到到这这种种情情形形，学学生生每每天天都都做做了了许许多多题题，但但是是过过一一段段时时间间，前前面

32、面做做过过的的题题目目全忘了，无效劳动太多。全忘了，无效劳动太多。如如何何解解决决呢呢？关关键键的的一一点点就就在在于于反反思思，“功功夫夫不不是是下下在在多多解解题题上上，而而是是用用在在解解题题后后的的反反思思上上”，要要让让学学生生懂懂得得“好好题题第第三三遍遍才才能能真真正明白正明白”的道理，那么，反思什么呢？的道理，那么，反思什么呢？59/6659/662021/8/9 星期一59（1 1）对审题的反思）对审题的反思2021/8/9 星期一60（2 2）对解题思维过程的反思）对解题思维过程的反思2021/8/9 星期一61（3 3）对解法多样化的反思）对解法多样化的反思2021/8/

33、9 星期一62（4 4）对题目本身及解法本身的规律的反思）对题目本身及解法本身的规律的反思2021/8/9 星期一63 通过反思通过反思,做到做到“做一道题，会一套题，做一道题，会一套题，解决一种题型，复习一系列知识，掌握一两解决一种题型，复习一系列知识，掌握一两个规律个规律”，因此要注意解题的质量，而不是，因此要注意解题的质量，而不是数量，解题后的思考不仅是一个知识的同化数量，解题后的思考不仅是一个知识的同化和顺应过程，也是一个和顺应过程，也是一个解题与复习的思辨过解题与复习的思辨过程，强化过程和升值过程程，强化过程和升值过程有效地进行高考有效地进行高考复习，提高复习效率，提高解题质量，才能复习，提高复习效率，提高解题质量，才能做到事半功倍做到事半功倍64/6664/662021/8/9 星期一645.5.数学尖子生的培优方法数学尖子生的培优方法(1)举行数学专题讲座；举行数学专题讲座；(2)进行题组训练；进行题组训练；认真评讲，狠抓落实；认真评讲，狠抓落实；确定重点对象，加强个别辅导；确定重点对象，加强个别辅导；指导读书，培养自学能力；指导读书，培养自学能力；充分利用节假日时间进行授课和训练；充分利用节假日时间进行授课和训练；培养学生的非智力因素培养学生的非智力因素.2021/8/9 星期一65