江西省萍乡市高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3.1 直线与圆的位置关系课件 北师大必修2.ppt

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1、2.3直线与圆、圆与圆的位置关系2021/8/8 星期日1第1课时直线与圆的位置关系2021/8/8 星期日21.能根据给定直线及圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.会求过一点的圆的切线方程.3.能利用直线方程和圆的方程解决一些有关圆的简单问题.2021/8/8 星期日3其中,为联立直线方程与圆的方程消元后得到的一元二次方程根的判别式.2021/8/8 星期日4【做一做1】直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是()A.相交但直线不过圆心B.相切C.相交且直线过圆心D.相离解析:圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.圆心到直线的距离答案:D2021/8/8 星期日5

2、2021/8/8 星期日6题型一题型二题型三题型四【例1】已知直线l:3x+y-6=0和圆C:x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求出它们交点的坐标.解:方法一:由直线与圆的方程得方程组消去y,得x2-3x+2=0.=(-3)2-412=10,直线与圆相交,有两个交点.由方程组解得交点坐标为(2,0),(1,3).2021/8/8 星期日7题型一题型二题型三题型四反思反思若仅判断直线和圆的位置关系,则可直接利用几何法,即比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小;若需要求解直线和圆的交点坐标,则应该利用代数法,即解由直线方程和圆的方程组成的方程组.2021/8/8 星期日

3、8题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定答案:B2021/8/8 星期日9题型一题型二题型三题型四2021/8/8 星期日10题型一题型二题型三题型四即12x-5y-9=0.若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=2也符合题意.所求直线l的方程为x=2.综上可知,所求直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2.2021/8/8 星期日11题型一题型二题型三题型四反思反思1.求过圆上一点的圆的切线方程的一般步骤:(1)求切点与圆心连线的斜率k(k存在且k0);(2)由垂直关系

4、得切线斜率为(3)代入点斜式方程得切线方程.2.求过圆外一点的圆的切线方程的方法:(1)几何法当斜率存在时,则设切线方程为y-y0=k(x-x0)(k存在),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而求出切线方程.当斜率不存在时,过点(x0,y0)的直线方程为x=x0,直接分析这条直线是否与圆相切.2021/8/8 星期日12题型一题型二题型三题型四(2)代数法当斜率存在时,则设切线方程为y-y0=k(x-x0)(k存在),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由=0求得k,切线方程即可求出.当斜率不存在时,过点(x0,y0)的直线

5、方程为x=x0,直接分析这条直线是否与圆相切.特别地,当过点(a,b)的切线的斜率不存在时,可由图形直接得切线方程为x=a.2021/8/8 星期日13题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5),求过点A且与圆C相切的切线方程.解:圆C:x2+y2-4x-6y+12=0化为标准方程为(x-2)2+(y-3)2=1,圆心为C(2,3),半径r=1,因为(3-2)2+(5-3)21,所以点A在圆外,切线应该有两条.当切线的斜率不存在时,有直线方程x=3,C(2,3)到直线的距离为3-2=1,满足条件;当切线的斜率存在时,设直线方程为y-5=k(

6、x-3),即y=kx+5-3k,2021/8/8 星期日14题型一题型二题型三题型四【例3】过点P(4,-4)的直线l被圆C:x2+y2-2x-4y-20=0截得的弦AB的长度为8,求直线l的方程.分析:设出直线l的方程,由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长构成直角三角形求解.注意讨论斜率存在与否.2021/8/8 星期日15题型一题型二题型三题型四2021/8/8 星期日16题型一题型二题型三题型四反思反思设出所求直线的方程,利用半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形来确定所需未知系数,最后写出所需结论.对题目进行正确的分析,可以帮助我们寻找解题的正确思路和捷径,可以提高我们分析和解决问题的

7、能力,为我们今后进一步学习数学奠定良好的基础.2021/8/8 星期日17题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知圆x2+y2-4x+6y-12=0内一点A(4,-2),求以A为中点的弦所在直线的方程.解:方法一:当斜率不存在时,直线x=4不能满足题设要求.当斜率存在时,设直线的斜率为k,则过点A的直线为y+2=k(x-4),即y=k(x-4)-2,代入圆的方程得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0.1+k20,0,可设两个交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),所求直线的方程是2x+y-6=0.2021/8/8 星期日18题型一题型二题型三题型四2021/8

8、/8 星期日19题型一题型二题型三题型四方法三:由几何性质知,圆心与点A的连线与弦所在直线垂直,由此可知弦所在直线的斜率.由圆心O(2,-3),A(4,-2),得kOA=,所以k=-2.所以所求直线的方程是2x+y-6=0.2021/8/8 星期日20题型一题型二题型三题型四2021/8/8 星期日21题型一题型二题型三题型四2021/8/8 星期日22题型一题型二题型三题型四【变式训练4】过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求其切线的方程.解:由于(2-1)2+(4+3)2=501,故点M在圆外.当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=

9、0,由于直线与圆相切,又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.2021/8/8 星期日231 2 3 4 51.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相切B.相交但直线不过圆心C.相交且直线过圆心D.相离解析:圆心(0,0)到直线y=x+1的距离为 ,圆的半径r=1,0d0),即x+y-b=0,答案:A2021/8/8 星期日251 2 3 4 5答案:C 2021/8/8 星期日261 2 3 4 54直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A,B两点,则|AB|=.2021/8/8 星期日271 2 3 4 52021/8/8 星期日281 2 3 4 55已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),求过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积.2021/8/8 星期日292021/8/8 星期日30