高二杨辉三角和二项式系数的性质 人教.ppt

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1、杨辉三角和二项式系数性质杨辉三角和二项式系数性质10.4 二项式定理2021/8/11 星期三1杨辉三角杨辉三角九九章章算算术术杨杨辉辉2021/8/11 星期三2杨辉三角杨辉三角详详解解九九章章算算法法中中记记载载的的表表2021/8/11 星期三31“杨辉三角杨辉三角”的来历及规的来历及规律律 杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 2021/8/11 星期三4杨辉三角杨辉三角点击图片可以演示“杨辉三角”课件2021/8/11 星期三5第第5行行 1 5 5

2、 1第第0行行1杨杨辉辉三三角角杨杨辉辉三三角角第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 11第第n行行 11 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+342021/8/11 星期三6 125第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第1行行 1 1第第0行行1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 1138132134如图，

3、写出斜线上各行数字的和，有什么规律？如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第第8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 从第三个数起，任一数都等于前两个数的和从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的这就是著名的斐波那契数列斐波那契数列。2021/8/11 星期三7二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是：从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是：当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点2021/8/11 星期三8二项式系数的性质二项式系

4、数的性质2二项式系数的性质二项式系数的性质（1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到图象的对称轴：图象的对称轴：2021/8/11 星期三9二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值）增减性与最大值 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 2021/8/11 星期三10二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值）增减性与最大值 由由：二项式系数是逐渐增大的，由对称性可二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取

5、知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。得最大值。可知，当可知，当 时，时，2021/8/11 星期三11二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值）增减性与最大值 因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式系数系数 取得最大值；取得最大值；当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。2021/8/11 星期三12（3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 二项式系数的性质二项式系数的性质在二项式定理中，令 ，则：这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式 2021/8/11 星期三13 例例1 证明在证明在 的展开式中，奇的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项式系数的和2021/8/11 星期三144项的二项式系数是倒数第项的二项式系数是倒数第2项的二项式系项的二项式系数的数的7倍，求展开式中倍，求展开式中x的一次项的一次项例例2 已知已知 的展开式中，第的展开式中，第2021/8/11 星期三15