高考数学一轮复习二次函数课件.ppt

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1、隆回九中数学第二隆回九中数学第二课堂堂 第二章第二章 函数函数2.6 2.6 二次函数二次函数2021/8/11 星期三1二次函数是最重要的初等函数之一，有二次函数是最重要的初等函数之一，有着丰富内涵。二次函数的研究对近、现着丰富内涵。二次函数的研究对近、现代数学的发展，影响深远代数学的发展，影响深远.二次函数是二次函数是历年来数学竞赛和高考中的重点考查内历年来数学竞赛和高考中的重点考查内容同时，它是联系数学和其它学科的容同时，它是联系数学和其它学科的重要的数学基础之一重要的数学基础之一“四个二次型四个二次型”:”:二次三项式，二次函数，一二次三项式，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式元二

2、次方程，一元二次不等式,合称为合称为“四个四个二次型二次型”。其中二次三项式。其中二次三项式axax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)是是基础，二次函数基础，二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)是是“四个四个二次型二次型”的中心。的中心。2021/8/11 星期三2二次函数的表达式二次函数的表达式1 1标准式：标准式：f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c.(a0)+bx+c.(a0)2 2顶点式：顶点式：f(x)=a(x-h)f(x)=a(x-h)2 2+k.(a0)+k.(a0)3 3两根式：两根式：f(x)=a(x-xf(x)=a(x-x1 1

3、)(x-x)(x-x2 2).(a0).(a0)4 4三点式：过三三点式：过三A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),C(x),C(x3 3,y,y3 3)的二次函数的表达式是：的二次函数的表达式是：2021/8/11 星期三3二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质一二次函数的图象：抛物线一二次函数的图象：抛物线开口方向：开口方向：对称轴和函数的单调性对称轴和函数的单调性:顶点坐标：顶点坐标：最值：最值：（）（）x R时时 (2)x m,n(m0,a0,则则x=-b/2a,yx=-b/2a,yminmin=f(-b/2a)=(4ac-b=f(-b/2a)=

4、(4ac-b2 2)/4a)/4a2021/8/11 星期三4ymax=maxf(m),f(n)(或比较区间端点与对称或比较区间端点与对称轴距离的大小来确定轴距离的大小来确定,在离对称轴远的端点处在离对称轴远的端点处取得最大值取得最大值.)a0,ymax=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a,ymin=minf(m),f(n(或仿照或仿照ymax的方法确定的方法确定)n-b/2an-b/2am-b/2a时时,二次函数是单调函数二次函数是单调函数,可根据函数的单调性或图象确定最值可根据函数的单调性或图象确定最值.函数值大小的比较函数值大小的比较:设设P,QP,Q是二次函数图象是二次函数图象上

5、二点上二点,则当则当a0a0时时,距离对称轴越近的点距离对称轴越近的点,其其纵坐标越小纵坐标越小,而当而当a0a0时时,则反之则反之.2021/8/11 星期三61、求下列二次函数的最大值、求下列二次函数的最大值或最小值或最小值 x0yx=11-2热身训练热身训练、求下列二次函数的最大值、求下列二次函数的最大值或最小值或最小值x0y-31ymin=4.25 ymax=f(1)=2x0yx=1142021/8/11 星期三70 xy1-3x0y-122021/8/11 星期三8根据闭区间函数最值的求法求最植。根据闭区间函数最值的求法求最植。2、判断判断-b/2a是否在闭区间内。是否在闭区间内。3

6、、求求闭区区间上二次函上二次函数的最数的最值的步的步骤1、配方，求二次函数图象的对称轴配方，求二次函数图象的对称轴方程方程x=-b/2a;2021/8/11 星期三9：解：解：yx0-112021/8/11 星期三10 x0y-11x0y1-1x0y-112021/8/11 星期三114:解解:x0y1tt+1x0yt t+1当当x=t+1时时 ymin=t2+22021/8/11 星期三12x0ytt+1x0y1t t+1当当x=t时时ymin=t2-2t+3当当x=t+1 时时2021/8/11 星期三13解题金点子解题金点子1.1.已知已知f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+bx满

7、足满足求求f(-2)f(-2)的取值范围的取值范围.分析分析1:1:待定系数法待定系数法:f(-2)=4a-2b=mf(-1)+nf(1)=m(a-b)+n(a+b)f(-2)=4a-2b=mf(-1)+nf(1)=m(a-b)+n(a+b)m+n=4,-m+n=-2.m+n=4,-m+n=-2.解得解得:m=3,n=1:m=3,n=1一一.待定系数法的妙用待定系数法的妙用:不仅可以用待定系数不仅可以用待定系数法法,由已知条件确定函数表达式由已知条件确定函数表达式,还可以用待还可以用待定系数法求函数值的范围定系数法求函数值的范围.2021/8/11 星期三14分析分析2:2:将将a,ba,b用

8、用f(-1)f(-1)和和 f(1)f(1)表示表示.f(1)=a+b,f(-1)=a-b,f(1)=a+b,f(-1)=a-b,得得a=f(1)+f(-1)/2,b=f(1)-f(-1)/2.a=f(1)+f(-1)/2,b=f(1)-f(-1)/2.f(x)=axf(x)=ax2 2+bx=f(1)(x+bx=f(1)(x2 2+x)/2+f(-1)(x+x)/2+f(-1)(x2 2-x)/2-x)/2由此得由此得:f(2)=f(1)+3f(-1)5,10:f(2)=f(1)+3f(-1)5,10说明说明:第一种解法是利用待定系数法第一种解法是利用待定系数法,直接将直接将f(2)表达为表

9、达为mf(-1)+nf(1)的形式的形式;第二种解法第二种解法是将系数是将系数a,b用用f(1)和和f(-1)表示表示.殊途同归殊途同归.第二种思路有着更广泛的用途第二种思路有着更广泛的用途.2021/8/11 星期三15思考题：思考题：f(x)=ax2+bx+c(a0),I f(0)I1,If(1)I1,If(-1)I1,求证：对任意的求证：对任意的x1,11,1有有If(x)I5/4.If(x)I5/4.分析：是否可用分析：是否可用f(0),f(1),f(-1)表示表示a,b,c?提示：提示：f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b-c,f(0)=c,a=f(1)+f(-1)-2f(0)/

10、2,b=f(1)-f(-1)/2,c=f(0).f(x)=f(1)(x2+x)/2+f(-1)(x2-x)/2+f(0)(1-x2).当当x(-1,0(-1,0时时,2021/8/11 星期三16If(x)I=If(1)(x2+x)/2+f(-1)(x2-x)/2+f(0)(1-x2)I同理可得：同理可得：当当x(,）时）时,If(x)I0).+bx+c(a0).方程方程f(x)=xf(x)=x的两个实数根为的两个实数根为x x1 1,x,x2 2.若若x x1 1,x,x2 2满足满足0 x0 x1 1xx2 21/a,1/a,当当x(0,xx(0,x1 1)时时,证明证明xf(x)xxf(

11、x)0,0 x0,0 xx1 1x0,f(x)0.f(x)-x0,f(x)0.f(x)-xf(x)-x1 1=f(x)-x+(x-x=f(x)-x+(x-x1 1)=a(x-x=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)+(x-x)+(x-x1 1)=a(x-x=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2+1/a)=a(x-x+1/a)=a(x-x1 1)x+(1/a-x)x+(1/a-x2 2)故故f(x)-xf(x)-x1 1002021/8/11 星期三18三三.数形结合思想数形结合思想,是解决四个二次型问题的有力是解决四个二次型问题的有力手段手段.由二次函数的图象可知由二次函数的图象

12、可知:设设mn,mn,且且f(m)f(n)0,f(m)f(n)0).+bx+1(a0).方程方程f(x)=xf(x)=x的两个实数根为的两个实数根为x x1 1,x,x2 2.(1)(1)若若x x1 1,x,x2 2满足满足x x1 12x2x2 24-1.-1.(2)(2)若若xx1 12,x2,x2 2-x-x1 1=2,=2,求求b b的取值范围的取值范围.分析分析:设设g(x)=f(x)-x,g(x)=f(x)-x,根据二次函数的图象特征根据二次函数的图象特征,由由x x1 12x2x2 244可得可得:g(2)0.:g(2)0.2021/8/11 星期三19解解:设设g(x)=f(

13、x)-x,g(x)=f(x)-x,根据二次函数的图象特征根据二次函数的图象特征,由由x x1 12x2x2 244可得可得 g(2)0,g(2)0.g(4)0.244a+2b-10 (2)将将(1)(2)式两端分别乘以式两端分别乘以3/4a和和1/4a,得得2021/8/11 星期三20g(2)0g(0)02a+1=g(-2)0g(0)02a+1=或或解之得解之得:b7/42021/8/11 星期三21例例4.已知二次函数已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,当当x-1,1-1,1时时,有有f(x)-1,1,f(x)-1,1,求证求证:当当x-1,1-1,1时时,有有 f(x)-7,7.f(

14、x)-7,7.分析分析:联想到例联想到例1,试用试用f(-1),f(0),f(1)表示表示a,b,c.可得可得:a=f(1)+f(-1)-2f(0)/2,b=f(1)-f(-1)/2,c=f(0).f(x)=f(1)(x2+x)/2+f(-1)(x2-x)/2+f(0)(1-x2).从而获解从而获解:举一反三举一反三,关于将所学的知识与方法进行关于将所学的知识与方法进行迁移迁移,是学习数学的秘诀是学习数学的秘诀.2021/8/11 星期三22练一练练一练:已知已知已知二次函数已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a0)a0)方程方程f(x)=xf(x)=x的两个根的两个根x x1 1,x,

15、x2 2满足满足:0 x0 x1 1xx2 21/a,1/a,且函数的图象关于直且函数的图象关于直x=xx=x0 0对对称称,求证求证:x:x0 0 xx1 1/2/2分析分析:方程方程f(x)=x可化为可化为:ax2+(b-1)x+c.由已知条件和二次函数的图象可得由已知条件和二次函数的图象可得:0 x1-(b-1)/2ax21/a及及-(b-1)/2a-x1=x2-(b-1)/2a1/a-(b-1)/2a化简得化简得:-b/ax1,故得故得x0 x1/2.讨论二次方程的根的问题讨论二次方程的根的问题,总要联想到总要联想到二次函数的图象二次函数的图象,利用数形结合的思想利用数形结合的思想分析问题分析问题.2021/8/11 星期三232021/8/11 星期三24