重积分的计算法 (2).ppt

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1、如果积分区域为：如果积分区域为：X型型其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.二重积分的计算法二重积分的计算法(1)一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,得得如果积分区域为：如果积分区域为：Y型型 X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域

2、如图，若区域如图，则必须分割则必须分割.在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式注注）二重积分化累次积分的步骤）二重积分化累次积分的步骤画域，画域，选序，选序，定限定限）累次积分中积分的上限不小于）累次积分中积分的上限不小于 下限下限）二重积分化累次积分定限是关键，积分限）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，区域的草图，画好围成画好围成D的几条边界线，的几条边界线，若是若是X型，型，就先就先 y 后后 x若是若是Y型，就先型，就先 x 后后 y ，注意内层积分限是外层积分

3、变量的函数，外层注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。积分限是常数。解解积分区域如图积分区域如图解解积分区域如图积分区域如图例例3 计算计算D解一解一D：X型型D解二解二DY型型例例4 计算计算解解DY型型I =若先若先 y 后后 x 由于由于D的下边界曲线在的下边界曲线在 x 的不同范的不同范围内有不同的表达式，围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。须分片积分，计算较麻烦。2121 由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积分区域

4、的表达式中选取比较简单特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。例例5 计算计算解解D是是X型区域型区域要分部积分，不易计算要分部积分，不易计算若先若先 x 后后 y 则须分片则须分片易见尽管须分片积分，但易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。分相对而言也较方便。解解D原式原式解解解解解解解解曲面

5、围成的立体如图曲面围成的立体如图.例例12 计算计算解解根据积分区域的特点根据积分区域的特点14-12应先对应先对 x 后对后对 y 积分积分但由于但由于 对对 x 的积分求不出，无法计算，的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。须改变积分次序。先先 x 后后 y 有有奇函数奇函数 化二重积分为累次积分时选择积分次序的重化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来积不出来 另外交换累次积分的次序：先由累次积分另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。以上各例说明以上各例说明二、小结二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式X型型Y型型（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案