大学定积分学习.pptx

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1、一、问题的提出一、问题的提出二、定积分的定义二、定积分的定义三、存在定理三、存在定理四、几何意义四、几何意义五、定积分的性质五、定积分的性质五、小结五、小结第1页/共97页abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）一、问题的提出一、问题的提出第2页/共97页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）第3页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放第4页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第5页/共97页观察下列演示过程，注意当分

2、割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第6页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第7页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第8页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第9页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第10页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第11页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第12页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和

3、与曲边梯形面积的关系第13页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第14页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第15页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第16页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第17页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第18页/共97页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系第19页/共97页曲边梯形如图所示，第20页/共97页曲边梯形面积的近似值为

4、曲边梯形面积为第21页/共97页二、定积分二、定积分(definite integraldefinite integral)的定义的定义定义定义第22页/共97页被积函数被积表达式积分变量记为记为积分上限积分下限积分和第23页/共97页注意：注意：第24页/共97页定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理定理定理第25页/共97页对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小第26页/共97页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义第27页/共97页几何意义：几何意

5、义：第28页/共97页五、小结五、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限第29页/共97页对定积分的补充规定补充规定:在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小说明说明定积分的性质定积分的性质一、基本内容一、基本内容(性质证明不作要求性质证明不作要求)第30页/共97页性质性质1 1性质性质2 2性质1+性质2 得：第31页/共97页推广：推广：即线性组合的定积分等于定积分的线性组合即线性组合的定积分等于定积分的线性组合说明定积分也具有线性运算性质线性运算性

6、质第32页/共97页补充补充：不论 的相对位置如何,上式总成立.例例 若则（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）性质性质3 3第33页/共97页性质性质5 5（非负性）（非负性）性质性质4 4令于是 解解第34页/共97页性质性质5 5的推论：（比较定理）的推论：（比较定理）（1）（2）说明：说明：可积性是显然的.性质性质6 6（估值定理）（估值定理）（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）第35页/共97页第36页/共97页第37页/共97页积分中值公式性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式的几何解释：积分中值

7、公式的几何解释：第38页/共97页定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小二、小结二、小结第39页/共97页第二讲第二讲 微积分基本公微积分基本公式式内容提要 1.变上限的定积分；2.牛顿莱布尼兹公式。教学要求 1.理解作为变上限的函数的定积分及求导方法；2.熟悉牛顿莱布尼兹公式。第40页/共97页记为称它为变上限定积分所确定的函数（积分上限函数或变上限积分）。一、积分上限函数一、积分上限函数第41页/共97页积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证第42页/共97页由积分中值定理得第43页/共97页补充补充第44页/共97页解解练习

8、第45页/共97页例例2 2 求求解解分析：分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.第46页/共97页一般地，若?设物体作直线运动，其速度 ，则在 时间间隔 若已知路程函数的路程也可表示为内所经过的路程为则在 时间间隔 内经过二、牛顿二、牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式第47页/共97页定理2微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题.第48页/共97页牛顿（英国牛顿（英国 1642.12.251727.3.20）莱布尼兹（德国莱布尼兹（德国1646.7.11716.11.14）第49页/共97页说明：这样，牛顿 莱布尼兹公式又可写成或解解牛顿 莱布尼兹公式第5

9、0页/共97页解第51页/共97页3.牛顿莱布尼兹公式1.变上限定积分 2.变上限定积分的导数小结小结牛顿莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数之间的关系第52页/共97页作业作业:学习指导书:P 172 D 3(1)(2);D 4(7)(9)第53页/共97页第三节定积分的换元法第三节定积分的换元法 上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。第54页/共97页先来看一

10、个例子例1换元求不定积分 令则故第55页/共97页为去掉根号令则 当 x 从0连续地增加到4时，t 相应地从1连续地增加到3于是尝试一下直接换元求定积分第56页/共97页将上例一般化就得到定积分的换元积分公式 由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量第57页/共97页一、换元公式一、换元公式第58页/共97页应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）第59页/共97页计算解1 由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积解2 故o例2第60页/共9

11、7页令解4令仍可得到上述结果解3第61页/共97页解解 令 例例3 3 计算第62页/共97页证证第63页/共97页即：奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍 由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的第64页/共97页例例5 5 计算解解原式偶函数奇函数四分之一单位圆的面积第65页/共97页定积分的换元法几个特殊积分、定积分的几个等式 二、小结二、小结第66页/共97页作业作业:学习指导书:P 177 D 3(1)(3)(5);D 4(1)(5)第67页/共97页定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式三三 定积分的分部积分法定积分的分部积分

12、法(Formula for Integration by Parts)第68页/共97页例例1 1 计算计算解解令令则则第69页/共97页例例2 2 计算计算解解 注 本题是一个集凑微分法、根式换元法、分布积分法的综合题。第70页/共97页例例3 3 计算 解解第71页/共97页作业作业:学习指导书:P 183 D 1(1)(2)(5);D 2(2)(5)第72页/共97页内容提要内容提要 1.1.元素法；元素法；2.2.平面图形的平面图形的面积；面积；教学要求教学要求 1.1.熟练掌握应用微元法去解决积分中的实际应用熟练掌握应用微元法去解决积分中的实际应用题；题；2.2.熟悉各种平面面积的积

13、分表达方法；熟悉各种平面面积的积分表达方法；第五节 定积分的应用第73页/共97页 回顾 用定积分求曲边梯形面积的问题：及直线所围成的曲边梯形的面积其求解步骤如下：ab xyo一、定积分的微元法第74页/共97页ab xo第一步：分割 将区间任意分成个小区间由此曲边梯形就相应地分成个小曲边梯形。第二步：近似形面积之和即所求的曲边梯形面积A为每个小曲边梯为底的小矩形面积近似代替小曲边梯形面积第75页/共97页第三步：求和第四步：取极限总结：上述四步中，由第一步知，有关，部分量的和，可加性.分成许多小区间，的面积A这个量就相应地分成许多部分量，如果把区间具有这种性质称为所求量A对区间则所求而A是所

14、有ab xo所求面积A这个量与第76页/共97页就是定积分的被积表达式ab xo上述第二步中的近似表达式可确定定积分的被积表达式方法是：于是有再将区间则可写为称为面积A的微元，于是即记为第77页/共97页一般地，当所求量F符合下列条件：以上方法称为这就给出了定积分的被积表达式于是“微元法”第78页/共97页微元法解决实际问题的一般步骤如下：(1)根据问题的具体情况，选取一个变量 例如取为积分变量，并确定它的变化区间以上步骤要熟练掌握!第79页/共97页如：平面图形的面积；引力和平均值;液体的压力；变力做功；平面曲线的弧长；体积；注意 微元法解决实际问题的使用对象：具有可加性的量具有可加性的量等

15、等.第80页/共97页定积分的几何应用定积分的几何应用1）如果则SS即（一）、在直角坐标系下的面积问题第81页/共97页如图则第82页/共97页 熟记用微元法：第83页/共97页cd 熟记用微元法：第84页/共97页所围成的图形例例1 计算由抛物线的面积A.解解用微元法第85页/共97页确定积分区间：解解方法一：选择 x 作积分变量1从而得到积分区间区间上任取一小区间dA面积微元第86页/共97页oxy确定积分区间：面积微元方法二：选择 y 作积分变量解得 y=0,y=1从而得到积分区间区间上任取一小区间1yy+dydA第87页/共97页6.6 反常积分初步一 无穷限积分（一）无穷限积分的定义

16、和性质1 定义：第88页/共97页 上式右边两个反常积分中若有一个发散，则此无穷限积分发散，只有右边两个都收敛才收敛。第89页/共97页2 利用定义判别无穷限积分的敛散性例1 讨论下列无穷限积分的敛散性：解：第90页/共97页第91页/共97页3 无穷限积分的性质（1）性质1：（2）性质2：（3）性质3：（4）性质4：另外，定积分的换元积分法和分部积分法在无穷限积分中也是适用的。第92页/共97页4 利用性质计算无穷限积分举例例2 讨论下列无穷限积分的敛散性：（1）利用分部积分公式有：第93页/共97页 这个例题的结论很重要，后面常用它作为判别其它无穷限积分敛散性的依据。第94页/共97页作业作业:学习指导书:P 188 D 1;(这题虽然是选择题,但要对每一个选项进行说明为什么收敛或发散)D 3(5)第95页/共97页第96页/共97页感谢您的观看。第97页/共97页