二重积分习题.pptx

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1、1其中一、二重积分的概念与性质 是各小闭区域的直径中的最大值.几何意义二重积分I表示以D为底,柱体的体积.z=f(x,y)为曲顶,侧面是（一）二重积分的定义,几何意义与物理意义定义1.平面上有界闭区域D上二元有界函数z=f(x,y)的二重积分2.当连续函数以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面的曲顶一般情形,知识要点 第1页/共31页2物理意义3.xOy平面上方的曲顶柱体体积减xOy平面下方的曲顶柱体体积.若平面薄片占有平面内有界闭区域D,则它的质量M为:它的面密度为连续函数第2页/共31页3性质1(线性运算性质)为常数,则(重积分与定积分有类似的性质)性质2 将区域D分为两个子域对积分区域的

2、可加性质.（二）二重积分的性质第3页/共31页4以1为高的性质3(几何应用)若 为D的面积 注既可看成是以D为底,柱体体积.又可看成是D的面积.特殊地性质4(比较性质)则(保序性)第4页/共31页5几何意义以m为高和以M为高的性质5(估值性质)为D的面积,则则曲顶柱体的体积介于以D为底,两个平顶柱体体积之间.第5页/共31页6性质6(二重积分中值定理)体体积等于以D为底几何意义域D上连续,为D的面积,则在D上至少存在一点使得则曲顶柱 为高的平顶柱体体积.设f(x,y)在闭区第6页/共31页7(1)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.若D关于则x轴对称,f(x,y)对y为奇函数,即 f(x,y)

3、对y为偶函数,即则其中（三）对称区域上奇偶函数的积分性质第7页/共31页8(2)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.若D关于则 y轴对称,f(x,y)对x为奇函数,即 f(x,y)对x为偶函数,即则其中第8页/共31页9(3)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.(4)若将D分成两部分第9页/共31页10其中函数 在区间a,b上连续.二、在直角坐标系中化二重积分为累次积分(1)设f(x,y)在平面有界闭区域D上连续.先对y 后对x的二次积分第10页/共31页11其中函数 在区间c,d上连续.(2)设f(x,y)在平面有界闭区域D上连续.先对x 后对y的二次积分.第11页/共31页12极坐标系中的

4、面积元素三、在极坐标系中化二重积分为累次积分(1)设f(x,y)在平面有界平面闭区域D上连续.其中函数第12页/共31页13(2)设f(x,y)在平面有界平面闭区域D上连续.其中函数第13页/共31页14极坐标系下区域的面积(3)设f(x,y)在平面有界平面闭区域D上连续.其中函数第14页/共31页15再确定交换积分次1.交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域D的不等式,并画D的草图;序后的积分限;2.如被积函数为圆环域时,或积分域为圆域、扇形域、则用极坐标计算;解题技巧第15页/共31页16 3.注意利用对称性质,数中的绝对值符号.以便简化计算;4.被积函数中含有绝对值符号时,应将积分域

5、分割成几个子域,使被积函数在每个子域中保持同一符号,以消除被积函第16页/共31页17解例 计算积分交换积分次序.原式=典型例题1.交换积分次序第17页/共31页18计算解 积分域是圆故关于x、y轴、故将被积函数分项积分:而极坐标又所以原式=对称,例直线2.利用对称性第18页/共31页19证所围立体的体积等于是连续的正值函数,所求立体在xOy面上的投影区域为有:例 证明:第19页/共31页20解 原式=用极坐标.对称性积分区域关于x轴对称例 3.坐标系的选择第20页/共31页21若函数 f(x,y)在矩形区域D:解上连续,且求 f(x,y).设两边积分,得例 第21页/共31页22计算二重积分

6、D2极坐标例将D分成D1与D2两部分.D1其中解由于直角坐标3.被积函数带绝对值、最大(小)值符号的积分第22页/共31页23其中因此第23页/共31页24其中 选择适当的坐标计算:解原式=例第24页/共31页25其中 选择适当的坐标计算:解原式=例第25页/共31页26例分析 由被积函数的表达式及积分区域的情况,的公共部分的面积.解无公共部分,第26页/共31页27例无公共部分,综上所述,第27页/共31页28解例交换二次积分的次序,并把它化为极坐标系下的二次积分.这是无界区域上的二重积分.在极坐标下,D的边界线故第28页/共31页29某城市受地理限制呈直角三角形分布,解 试计算该市总的税收收入.这是一个二重积分的应用问题,临一条河.斜边和12km,由于交通关系,城市发展不太平衡,这一点可从税收状况反映出来.若以两直角边为坐标轴建立直角坐标系,则位于x轴和y轴上的城市长度各为16km且税收情况与地理位置的关系大体为其中积分区域D围成.于是所求总税收收入为(万元).例由x轴、y轴及直线第29页/共31页30解其中先将累次积分表成二重积分,则有例于是第30页/共31页31感谢您的观看。第31页/共31页