分式及其运算完整.pptx

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1、4.1 4.1 分式的概念分式的概念第1页/共109页问题1：请将下列的几个代数式按照你认为的共同特征进行分类，并将同一类移入一个圈内（圈的个数自己选定,若不够可再画），并说明理由。特征：。第2页/共109页 被除数除数34 被除数 除数 =（商数）整数 整数 分数3 4 =3 4 =被除式除式ta-x被除式除式 =（商式）整式 整式 分式t (a-x)=类比类比第3页/共109页分式的概念:用A A、B B表示两个整式，ABAB就可以表示成 形式。如果B B中含有字母，式子 就叫做分式。其中，A A叫做分式的分子，B B叫做分式的分母。分式的特征是:分子、分母 都是；分母中含有。字母整式第4

2、页/共109页思考：1 1、两个整式相除叫做分式，对吗？请举例说明。2 2、在式子 中，A A、B B可为任意整式，是吗？请举例说明。第5页/共109页分式有理式整式单项式多项式分类：第6页/共109页练习练习2：把下列各式的题号分别填入表中整整 式式分分 式式有有 理理 式式(2)(3)(5)(1)(4)(6)(7)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)第7页/共109页探索与发现（求代数式的值）x-2-1012xx-2x-14x+1xx+1-10-100-1-1-1思考：1、第2个分式在什么情况下无意义？2、这三个分式在什么情况下有意义？3、这三个分式在什么情况下值为零？无意义无意义第

3、8页/共109页1 1、归纳：对于分式、归纳：对于分式（1 1）分式无意义的条件是分式无意义的条件是 。（2）分式有意义的条件是 。（3）分式的值为零的条件是 。练习3：B=0B0B0且A=02、当x 时，分式 有意义。3、当x 时，分式 没有意义，当x 时，分式 的 值为零。2=-0.25=1第9页/共109页4 4、当a=1=1，2 2时，分别求分式 的值。a+1+12a 5 5、a取何值时，分式 有意义？a+1+12a变式训练：（1）当a取什么值时，分式 有意义。(2)当y是什么值时，分式 的值是0？(3)当y是什么值时，分式 的值是0？第10页/共109页9、选择：1.使分式 有意义的

4、 值必为（）A B C D 任意有理数 B分析：分母 得2.当 时，分式 无意义的是A B C D()C第11页/共109页10、判断：1、对于任意有理数 ，分式 有意义 （）2、若分式 无意义，则 的值一定是-3 （）则无论 取何值，分析第12页/共109页观察下面一列有规律的数：探索规律探索规律 请在上面横线上填写第七个数。根据规律可知，第n n个数应是 （n n为正整数）,，,2338415524635748980863n+1(n+1)2-1n+1n(n+2)或第13页/共109页分子分母都是整式分母中必含有字母v分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义v当分子为零且分母不为零时

5、，分式值为零。v分式的概念第14页/共109页第第2 2课时课时第15页/共109页（一）问题情景（一）问题情景问题问题1 小学学过分数计算，请你快小学学过分数计算，请你快速计算下列各式，并说出计算根据：速计算下列各式，并说出计算根据：分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不不等于零等于零的数，分数的值不变的数，分数的值不变.复习分数的基本性质复习分数的基本性质第16页/共109页1.下列从左到右的变形成立吗？为什么？（类比分数的基本性质，得出分式的基本性质）（类比分数的基本性质，得出分式的基本性质）（二）类比归纳（二）类比归纳2.你能归纳出以上所体现的变

6、形吗？3.会用字母表达式表示吗？第17页/共109页分式的基本性质分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的不等于的整式整式，分式的值不变。，分式的值不变。用式子表示为：用式子表示为：其中，是整式其中，是整式.第18页/共109页例例1 1（补充）下列等式的右边是怎样从左边得（补充）下列等式的右边是怎样从左边得到的？到的？（三）例题设计（三）例题设计（1）分子分母都 分子分母都 分子分母都 第19页/共109页观察分子分母如何变化观察分子分母如何变化例例2（课本（课本P5)填空：填空：第20页/共109页第21页/共109页例3（补充）判断下列变

7、形是否正确.()(c0)()()（1）（2）（3）（4）()第22页/共109页1.（补充）下列等式的右边是怎样从左边得到的？,分子分母都（2）,分子分母都 ,分子分母都 （四）课堂练习（四）课堂练习第23页/共109页2.2.（补充）填空：（补充）填空：第24页/共109页例4（补充）.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“”号：归纳符号法则：归纳符号法则：（五）符号规律（五）符号规律 分式的分子、分母和分式本身的符号，分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。改变其中任何两个，分式的值不变。第25页/共109页15.2 分式的运算分式的运算乘除法则乘除法则八

8、年级八年级 上册上册第26页/共109页在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？探索分式的乘除法法则 问题3 计算：第27页/共109页如何用文字语言来描述？如何用文字语言来描述？乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.探索分式的乘除法法则 分式的乘除法法则：第28页/共109页探索分式的乘除法法则 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.如何用文字语言来描述？如何用文字语言来描述？分式的乘除法法则：第29页/

9、共109页动脑思考，例题解析例1计算：解解:第30页/共109页课堂练习练习1计算：第31页/共109页课堂练习练习2计算：第32页/共109页15.2 分式的运算分式的运算加减法则加减法则 八年级八年级 上册上册第33页/共109页感受学习分式加减法的必要性 问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？第34页/共109页感受学习分式加减法的必要性 问题22009年、2010年、201

10、1年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？（1）什么是增长率？（2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？（3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多 少？第35页/共109页探索分式的加减法法则 分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？第36页/共109页探索分式的加减法法则 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减第37页/共109页运用分式的加减法法则 解

11、：例计算：第38页/共109页运用分式的加减法法则 解：例计算：第39页/共109页课堂练习 练习1计算：第40页/共109页课堂练习 练习2计算：第41页/共109页运用分式的加减法法则 问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？解：即两队共同工作一天完成这项工程的第42页/共109页问题22009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？运用分式的加减法法则 解：第43页/共109页问题22009年、2010年、2011年

12、某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？运用分式的加减法法则 解：即2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了 第44页/共109页15.2 分式的运算分式的运算分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算八年级八年级 上册上册第45页/共109页例1计算：解解：探究分式的乘除混合运算第46页/共109页课堂练习练习1计算:第47页/共109页猜想：n 为正整数时你能写出推导过程吗？试试看你能用文字语言叙述得到的结论吗？探究分式的乘方法则思考你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？第4

13、8页/共109页这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方即即探究分式的乘方法则分式的乘方法则：一般地，当n 是正整数时，第49页/共109页运用分式的乘方法则计算解：例2计算：第50页/共109页运用分式的乘方法则计算解：例3计算：第51页/共109页课堂练习练习2计算：第52页/共109页x2x-353-2x(2)+=4 3x-14x(1)=解方程解方程思考题思考题:解关于解关于x的方程的方程 产生增根产生增根,则常数则常数m的值等于的值等于()(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2x-3x-1x-1m=第53页/共109页两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单两个工程队共同参与一项筑路

14、工程，甲队单独施工独施工1个月完成总工程的三分之一，这时个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成工程全部完成.分析分析:甲队甲队甲队甲队1 1个月完成总工程的个月完成总工程的个月完成总工程的个月完成总工程的 ,设乙队如果设乙队如果设乙队如果设乙队如果单独施工单独施工单独施工单独施工1 1个月完成总工程的个月完成总工程的个月完成总工程的个月完成总工程的 ,那么甲队那么甲队那么甲队那么甲队半个月完成总工程的半个月完成总工程的半个月完成总工程的半个月完成总工程的_,_,乙队半个月完乙队半个月完乙队半个月完乙队半个月完成总工

15、程的成总工程的成总工程的成总工程的_,_,两队半个月完成总工程两队半个月完成总工程两队半个月完成总工程两队半个月完成总工程的的的的_._.例题分析例题分析:哪个队的施工速度快哪个队的施工速度快哪个队的施工速度快哪个队的施工速度快?第55页/共109页列方程的关键是什么？问题中的哪个等量关系可以用来列方程？甲队施工1个月的工作量+甲乙共施工半个月的工作量=总工作量第56页/共109页解解:设乙队如果单独施工设乙队如果单独施工1 1个月完成总工程的个月完成总工程的 .依题意得依题意得方程两边同乘方程两边同乘方程两边同乘方程两边同乘6x,6x,得得得得 2X+X+3=6X2X+X+3=6X解得解得解

16、得解得 x=1x=1检验检验:x=1:x=1时时6x0,x=16x0,x=1是原分式方程的解是原分式方程的解答：答：由上可知由上可知,若乙队单独施工若乙队单独施工1 1个月可以完成全部个月可以完成全部任务任务,而而 甲队甲队1 1个月完成总工程的个月完成总工程的 ,可知乙队施工可知乙队施工速度快速度快.第57页/共109页 1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知

17、数的方法，叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷.第58页/共109页 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做做6个，甲做个，甲做90个零件所用的时间和乙做个零件所用的时间和乙做60个零件所用时个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？解：设甲每小时做解：设甲每小时做x个零件则乙每小时做（个零件则乙每小时做（x 6）个零件，）个零件，依题意得：依题意得

18、：经检验经检验X=18是原方程的根。是原方程的根。答：甲每小时做18个，乙每小时12个请审题分析题意设元我们所列的是一个分式方程，这是分式方程的应用由x18得x6=12等量关系：甲用时间等量关系：甲用时间=乙用时间乙用时间第59页/共109页 1、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做多做6个，甲做个，甲做90个零件所用的时间和乙做个零件所用的时间和乙做60个零件所用个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？2、甲、乙两人每时共能做、甲、乙两人每时共能做35个零件，当甲做了个零件，当甲做了90个

19、零件时，乙做了个零件时，乙做了120个。问甲、乙每时各做多少个机个。问甲、乙每时各做多少个机器零件？器零件？解：设甲每小时做解：设甲每小时做X个，乙每小时做（个，乙每小时做（35-x)个，则个，则第60页/共109页1.填空：(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是_小时；(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是_;(3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为_千克.第61页/共109页2 2、甲加工、甲加工180180个零件所用的时间，乙可以加工个零件所用的时间，

20、乙可以加工240240个零件，已知甲每小时比乙少加工个零件，已知甲每小时比乙少加工5 5个零件，个零件，求两人每小时各加工的零件个数求两人每小时各加工的零件个数.解：设乙每小时加工解：设乙每小时加工x个，甲每小时加工（个，甲每小时加工（x-5）个，则）个，则解得解得x=20检验：检验：x=20时时x(x-5)0,x=20是原分式方程的解。是原分式方程的解。答：乙每小时加工答：乙每小时加工20个，甲每小时加工个，甲每小时加工15个。个。x-5=15第62页/共109页3 3、某工人师傅先后两次加工零件各、某工人师傅先后两次加工零件各15001500个，当第个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了

21、操作方法，结二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了果比第一次少用了1818个小时个小时.已知他第二次加工效已知他第二次加工效率是第一次的率是第一次的2.52.5倍，求他第二次加工时每小时加倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件工多少零件?解：设他第一次每小时加工解：设他第一次每小时加工x个，第二次每小时加个，第二次每小时加 工工2.5x个，则个，则第63页/共109页【例例2 2】从从20042004年年5 5月起某列车平均提速月起某列车平均提速v v千米千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶小时，用相同的时间，列车提速前行驶s s千米，千米，提速后比提速前多行驶提速后

22、比提速前多行驶5050千米，提速前列车的千米，提速前列车的平均速度为多少？平均速度为多少？解：设提速前的速度为解：设提速前的速度为x,提速后为提速后为x+v,则则解得解得检验：检验：时，时，x(x+v)0,是方程的解。是方程的解。答：提速前列车的平均速度为答：提速前列车的平均速度为千米千米/小时。小时。第64页/共109页 1 1、一队学生去校外参观，他们出发、一队学生去校外参观，他们出发3030分钟时，学校分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行进速度若骑车的

23、速度是队伍行进速度的的2 2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是1515千米，问千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?解：设队伍的速度为解：设队伍的速度为x，骑车的速度为，骑车的速度为2x,则则解得解得x=15经检验经检验x=15是原方程的解。是原方程的解。答：这名学生追上队伍用了答：这名学生追上队伍用了0.5小时。小时。第65页/共109页 2 2、某人骑自行车比步行每小时多走、某人骑自行车比步行每小时多走8 8千米，如果千米，如果他步行他步行1212千米所用时间与骑车行千米所用时间与骑车行3636千米所

24、用的时间相千米所用的时间相等，求他步行等，求他步行4040千米用多少小时千米用多少小时?解：设步行每小时行解：设步行每小时行x千米，骑车每小时行（千米，骑车每小时行（x+8)千米，则千米，则解得解得x=4404=10(小时）小时）经检验经检验x=4是方程的解。是方程的解。答：他步行答：他步行40千米用千米用10个小时。个小时。第66页/共109页 3 3、A A，B B两地相距135135千米，两辆汽车从A A地开往B B地，大汽车比小汽车早出发5 5小时，小汽车比大汽车晚到3030分钟.已知小汽车与大汽车的速度之比是5 5：2 2，求两辆汽车各自的速度.解：设小汽车的速度为解：设小汽车的速度

25、为5x,大汽车的速度为大汽车的速度为2x,则则解得解得x=9经检验经检验x=9是方程的解。是方程的解。59=45 29=18答：小车每小时行答：小车每小时行45千米，大车每小时行千米，大车每小时行18千米。千米。第67页/共109页 4 4、已知轮船在静水中每小时行2020千米，如果此船在某江中顺流航行7272千米所用的时间与逆流航行4848千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?解：设水流的速度为解：设水流的速度为x,则则第68页/共109页想一想1 1：某次测试，初二（某次测试，初二（5）班）班55位同学中，位同学中，80分的分的有有25位，位，90分分的有的有30位，班级平

26、均分怎么算？位，班级平均分怎么算？平均分平均分=8025+903025+30=总分数总分数总人数第69页/共109页某商场把甲、乙两种糖果混合出售，并用以下公某商场把甲、乙两种糖果混合出售，并用以下公式来确定混合糖果的单价式来确定混合糖果的单价(a1、a2分别表示甲、乙两种糖果的单价，分别表示甲、乙两种糖果的单价，m1、m2分别表示甲、乙两种糖果的质量千克数分别表示甲、乙两种糖果的质量千克数)。已知。已知a1=30元元/千克，千克，a2=20元元/千克。现在单价为千克。现在单价为24元元/千克的这种混千克的这种混合糖果合糖果100千克，商场想通过增加甲种糖果，把单价提千克，商场想通过增加甲种糖

27、果，把单价提高高10%，问应加入甲种糖果多少千克？你能帮商场算，问应加入甲种糖果多少千克？你能帮商场算出结果吗？出结果吗？S=a1m1+a2m2m1+m2单价单价=总价格总价格总质量总质量想一想2 2：第70页/共109页 分式的分子与分母都乘以(或除以)_)_，分式的值不变，用式子表示为：_ (1)(1)形如_的式子叫分式；要点梳理要点梳理1 1分式的基本概念：分式的基本概念：2 2分式的基本性质：分式的基本性质：同一个不等于零的B0B0B B0 0A A0 0且B0B0整式第71页/共109页要点梳理要点梳理3 3分式的运算法则：分式的运算法则：第72页/共109页要点梳理要点梳理第73页

28、/共109页要点梳理要点梳理4 4分式的约分、通分：分式的约分、通分：第74页/共109页要点梳理要点梳理5 5分式的混合运算：分式的混合运算：6 6解分式方程解分式方程 第75页/共109页助学微博助学微博一个思想一个思想 第76页/共109页助学微博助学微博两个技巧两个技巧第77页/共109页基础自测基础自测A 第78页/共109页基础自测基础自测D 第79页/共109页基础自测基础自测D 第80页/共109页基础自测基础自测C 第81页/共109页基础自测基础自测C 第82页/共109页题型分类题型分类题型一 分式的概念,求字母的取值范围2 2第83页/共109页探究提高探究提高(1)(

29、1)首先求出使分母等于首先求出使分母等于0 0的字母的值，然后让未知数的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义；不等于这些值，便可使分式有意义；(2)(2)首先求出使分子为首先求出使分子为0 0的字母的值，再检验这个字母的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为的值是否使分母的值为0 0，当它使分母的值不为，当它使分母的值不为0 0时，时，这就是所要求的字母的值这就是所要求的字母的值第84页/共109页题型分类题型分类题型一 分式的概念,求字母的取值范围第85页/共109页题型分类题型分类题型二 分式的性质 第86页/共109页题型分类题型分类题型二 分式的性质 第87页/共

30、109页第88页/共109页探究提高探究提高(1)(1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；(2)(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；因式，然后再约分，约分应彻底；(3)(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，将要求的

31、算式向已知条件可应用逆向思维，将要求的算式向已知条件“凑凑”而求而求得结果得结果第89页/共109页题型分类题型分类题型二 分式的性质 第90页/共109页题型分类题型分类题型二 分式的性质 D 第91页/共109页题型分类题型分类题型三 分式的四则混合运算第92页/共109页探究提高探究提高第93页/共109页题型分类题型分类题型三分式的四则混合运算第94页/共109页第95页/共109页题型分类题型分类题型四分式方程的解法第96页/共109页探究提高探究提高第97页/共109页题型分类题型分类题型四分式方程的解法第98页/共109页1 1或2 2 第99页/共109页答题模板答题模板 3.分式方程的增根问题分式方程的增根问题 第100页/共109页第101页/共109页第102页/共109页答题模板答题模板第103页/共109页第104页/共109页第105页/共109页答题规范答题规范 1.勿忘分母不能为零 第106页/共109页第107页/共109页第108页/共109页感谢您的观看！第109页/共109页