普通高等学校招生全国统一考试'理科数学【全国卷3-】.doc

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1、绝密绝密启用前启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学年普通高等学校招生全国统一考试理科数学【全国卷全国卷 3】适应地区：（重庆、四川、广西、陕西） ；考试时间：120 分钟；编辑：韦绵辉第第 I I 卷（选择题）卷（选择题）一、选择题（一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是最符合题目要求的.）1设集合,则（ ） 。0) 3)(2(xxxS0xxTTS A B C D 32，)32 ,(，)3，), 320(，2若,则（ ）iz2114 zziA B C D11ii3已知向量则（ ），)21 23()23 21( B

2、CBAABCA B C D 3045601204某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低AC15B气温约为。下面叙述不正确的是 ( )C5A.各月的平均最低气温都在以上 C0B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.平均最高气温高于的月份有个 C205D.三月和十一月的平均最高气温基本相同5若，则（ ）43tan2sin2cos2A B C D 2564 2548125166已知（ ） 。421 3332 ,3 ,25abcA B C Dcabcbaacbbac7执行右面的程序框图，如果输入

3、的，那么输出的( )6, 4banA B C D3456（第（第 7 7 题图）题图） （第（第 1010 题图）题图）8在中，边上的高等于，则（ ）ABC4BBCBC31AcosA. B. C. D.10103 1010 1010101039如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体1 的表面积为（ ）A. B. C. D.5361851854908110在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球。若，111CBAABC VBCAB 6AB，则的最大值是（ ）8BC31AAVA B C D 429633211.已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为OFC)0( 1

4、2222 baby axAB的左，右顶点。为上一点，且轴。过点的直线 与线段交于点，CPCxPF AlPFM与轴交于点。若直线经过的中点，则的离心率为（ ）yEBMOECA B C D31 21 32 4312.定义“规范数列”如下：共有项，其中项为，项为 ，且对任意01 na nam2m0m1，中的个数不少于 的个数。若，则不同的“规范数列”mk2kaaaa.,321014m01共有（ ）A B C D个18个16个14个12第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）二、填空题（二、填空题（每空 5 分，共 20 分,只要求在每道题相应的横线上填写最后结果。仔细审题。 ）13若满足约束条件

5、， 则的最大值为_yx, 0220201yxyxyx yxz14函数的图像可由函数的图像至少向右平移xxycos3sinxxycos3sin_个单位长度得到。15已知为偶函数，当 时，则曲线在点)(xf0xxxxf3)ln()()(xfy 处的切线方程式是 )31 ( ，16已知直线 ：与圆交于两点，过分别作l033mymx1222 yxBA,BA,的垂线与轴交于两点，若，则 lxDC,32ABCD评卷人得分 三、解答题本大题共三、解答题本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答须写出文字分解答须写出文字 说明、证明过程和演算步骤。说明、证明过程和演算步骤。（17） （本小题满分 12

6、分）已知数列前项和,其中 nannnaS10（）证明是等比数列，并求其通项公式； （）若，求。 na32315S（18） （本小题满分 12 分）下图是我国年至年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图。20082014注：年份代码分别对应年份。7120142008 （）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与 的关系，请用相关系数加以说明；yt（）建立关于 的回归方程（系数精确到） ，预测年我国生活垃圾无害化处yt01. 02016 理量.附注：参考数据：，。32. 971 niy17.4071 niiyt55. 0)(71 niyy646. 27 参考公式：相关系数 回归方程 中斜率和截距的

7、 ninniinniiyyttyytt r11221)()()( tbay最小二乘估计公式分别为：，。 nninniittyytt b121)()(tbya（19） （本小题满分 12 分）如图，四棱锥中，底面，ABCDPPAABCD3,/ACADABBCAD。为线段上一点，为的中点。4 BCPAMADMDAM2NPC（）证明平面；/MNPAB （）求直线与平面所成角的正弦值。ANPMN（20） （本小题满分 12 分）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于，Cxy22Fx21,llCA两点，交的准线于两点。BCQP,（）若在线段上，是的中点，证明；FABRPQFQAR/（）若的面积

8、是的面积的两倍，求中点的轨迹方程。PQFABFAB（21） （本小题满分 12 分）设函数，其中，记的最大值为。) 1)(cos1(2cos)(xaxaxf1a)(xfA（）求； （）求； （）证明。)(xf AAxf2)(请考生在请考生在 2224 题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。（22） （本小题满分 10 分）选修：几何证明选讲14如图，中弧的中点为，弦，分别交于两点。OABPPCPDABFE,（）若，求的大小；PCDPFB2PCD（）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明。ECFDGCDOG （23） （本小题满分 10

9、 分）选修：坐标系与参数方程44在直线坐标系中，曲线的参数方程为（为参数） 。以坐标xoy1C sincos3 yx原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x2C。22)4sin(（）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C2C（）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标。P1CQ2CPQP（24） （本小题满分 10 分） ，选修：不等式选讲54已知函数aaxxf 2)(（）当时，求不等式的解集；2a6)(xf（）设函数，当时，求的取值范围。12)(xxgRx3)()(xgxfa2016 年全国统一高考数学试卷（新课标年全国统一高考数学试卷（新课标） （理科）（理科）参

10、考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的.1 （5 分）设集合 S=x|（x2） （x3）0，T=x|x0，则 ST=（ ）A2，3B （，23，+）C3，+）D （0，23，+）【考点】交集及其运算菁优网版权所有 【分析】求出 S 中不等式的解集确定出 S，找出 S 与 T 的交集即可【解答】解：由 S 中不等式解得：x2 或 x3，即 S=（，23，+） ，T=（0，+） ， ST=（0，23，+） ， 故选：D

11、 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分）若 z=1+2i，则=（ ）A1B1CiDi【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有 【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可【解答】解：z=1+2i，则=i故选：C 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力3 （5 分）已知向量=（，） ，=（，） ，则ABC=（ ）A30B45C60D120 【考点】数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出 cosABC 的值，根据ABC 的范围便可得出ABC 的值【解答】解：，；又 0A

12、BC180；ABC=30 故选 A 【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的 余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角4 （5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和 平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15，B 点表示四月的平 均最低气温约为 5，下面叙述不正确的是（ ）A各月的平均最低气温都在 0以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大 C三月和十一月的平均最高气温基本相同 D平均最高气温高于 20的月份有 5 个 【考点】进行简单的合情推理菁优网版权所有 【分析】根据平均最高气温和平均最

13、低气温的雷达图进行推理判断即可 【解答】解：A由雷达图知各月的平均最低气温都在 0以上，正确 B七月的平均温差大约在 10左右，一月的平均温差在 5左右，故七月的平均温差比一月 的平均温差大，正确 C三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为 10，正确 D平均最高气温高于 20的月份有 7，8 两个月，故 D 错误， 故选：D 【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图， 利用图象法进行判断是解决本题的关键5 （5 分）若 tan=，则 cos2+2sin2=（ ）ABC1D【考点】三角函数的化简求值菁优网版权所有【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos

14、2+sin2） ，再将“弦”化“切”即可得到答案【解答】解：tan=，cos2+2sin2=故选：A 【点评】本题考查三角函数的化简求值， “弦”化“切”是关键，是基础题6 （5 分）已知 a=2，b=3，c=25，则（ ）AbacBabcCbcaDcab 【考点】对数函数图象与性质的综合应用；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的实际应 用菁优网版权所有【分析】b=4=，c=25=，结合幂函数的单调性，可比较 a，b，c，进而得到答案【解答】解：a=2=，b=3，c=25=，综上可得：bac， 故选 A 【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的 综合应用，难

15、度中档7 （5 分）执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（ ）A3B4C5D6 【考点】程序框图菁优网版权所有 【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的 a，b，s，n 的值， 当 s=20 时满足条件 s16，退出循环，输出 n 的值为 4 【解答】解：模拟执行程序，可得 a=4，b=6，n=0，s=0 执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=6，a

16、=4，s=20，n=4满足条件 s16，退出循环，输出 n 的值为 4 故选：B 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的 a，b，s 的值是解题的关键，属于基础题8 （5 分）在ABC 中，B=，BC 边上的高等于BC，则 cosA=（ ）ABCD【考点】三角形中的几何计算菁优网版权所有【分析】作出图形，令DAC=，依题意，可求得cos=，sin=，利用两角和的余弦即可求得答案【解答】解：设ABC 中角 A、B、C、对应的边分别为 a、b、c，ADBC 于 D，令 DAC=，在ABC 中，B=，BC 边上的高 AD=h=BC=a，BD=AD=a，CD=a，在

17、 RtADC 中，cos=，故 sin=，cosA=cos（+）=coscossinsin=故选：C 【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令DAC=，利用两角和的余弦求 cosA 是关键， 也是亮点，属于中档题9 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的表面积为（ ）A18+36B54+18C90D81 【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，进而得到答 案 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱， 其底面面积为：36=18， 前后侧面的

18、面积为：362=36，左右侧面的面积为：32=18，故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18 故选：B 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何 体的形状是解答的关键10 （5 分）在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的最大值是（ ）A4BC6D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【分析】根据已知可得直三棱柱 ABCA1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案 【解答】解：ABBC，AB=6，BC=8， AC=10故三角形 ABC 的内切圆半径 r=2，又由

19、 AA1=3，故直三棱柱 ABCA1B1C1的内切球半径为，此时 V 的最大值=，故选：B 【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键11 （5 分）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：+=1（ab0）的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）ABCD【考点】椭圆的简单性质菁优网版权所有【分析】由题意可得 F，A，B 的坐标，设出直线 AE 的方程为 y=k（x+a） ，分别令x=c，x=0，可得

20、M，E 的坐标，再由中点坐标公式可得 H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值【解答】解：由题意可设 F（c，0） ，A（a，0） ，B（a，0） ，令 x=c，代入椭圆方程可得 y=b=，可得 P（c，） ，设直线 AE 的方程为 y=k（x+a） ，令 x=c，可得 M（c，k（ac） ） ，令 x=0，可得 E（0，ka） ，设 OE 的中点为 H，可得 H（0，） ，由 B，H，M 三点共线，可得 kBH=kBM，即为=，化简可得=，即为 a=3c，可得 e=故选：A 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运 用和三

21、点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题12 （5 分）定义“规范 01 数列”an如下：an共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且 对任意 k2m，a1，a2，ak中 0 的个数不少于 1 的个数，若 m=4，则不同的“规范 01 数 列”共有（ ） A18 个B16 个C14 个D12 个 【考点】数列的应用菁优网版权所有 【分析】由新定义可得， “规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项 为 0，末项为 1，当 m=4 时，数列中有四个 0 和四个 1，然后一一列举得答案 【解答】解：由题意可知， “规范 01 数列”有偶

22、数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首 项为 0，末项为 1，若 m=4，说明数列有 8 项，满足条件的数列有： 0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1； 0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1； 0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共

23、 14 个 故选：C【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏， 是压轴题二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13 （5 分） （2015新课标 II）若 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为 【考点】简单线性规划菁优网版权所有 【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在 y 轴的截距最大 值 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z 最大，由得 D（1，） ，所以 z=x+y 的最大值为 1+；故答案为：【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是

24、：画出平面区域；分析目标函数， 确定求最值的条件14 （5 分）函数 y=sinxcosx 的图象可由函数 y=sinx+cosx 的图象至少向右平移 个单位长度得到【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【分析】令 f（x）=sinx+cosx=2in（x+） ，则 f（x）=2in（x+） ，依题意可得2in（x+）=2in（x） ，由=2k（kZ） ，可得答案【解答】解：y=f（x）=sinx+cosx=2in（x+） ，y=sinxcosx=2in（x） ，f（x）=2in（x+） （0） ，令 2in（x+）=2in（x） ，则=2k（kZ） ，即 =2k（kZ）

25、，当 k=0 时，正数 min=，故答案为：【点评】本题考查函数 y=sinx 的图象变换得到 y=Asin（x+） （A0，0）的图象，得到=2k（kZ）是关键，也是难点，属于中档题15 （5 分）已知 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线 y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是 2x+y+1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【分析】由偶函数的定义，可得 f（x）=f（x） ，即有 x0 时，f（x）=lnx3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程【解答】解：f（x）为偶函数，可得 f（x）=f（x） ，当 x0 时，

26、f（x）=ln（x）+3x，即有x0 时，f（x）=lnx3x，f（x）=3，可得 f（1）=ln13=3，f（1）=13=2，则曲线 y=f（x）在点（1，3）处的切线方程为 y（3）=2（x1） ，即为 2x+y+1=0 故答案为：2x+y+1=0 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考 查运算能力，属于中档题16 （5 分）已知直线 l：mx+y+3m=0 与圆 x2+y2=12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB|=2，则|CD|= 4 【考点】直线与圆相交的性质菁优网版权所有 【分析】先求出

27、m，可得直线 l 的倾斜角为 30，再利用三角函数求出|CD|即可 【解答】解：由题意，|AB|=2，圆心到直线的距离 d=3，=3，m=直线 l 的倾斜角为 30， 过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，|CD|=4故答案为：4 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基 础三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn=1+an，其中 0 （1）证明an是等比数列，并求其通项公式；（2）若 S5=，求 【考点】数列递推式；等比关

28、系的确定菁优网版权所有 【分析】 （1）根据数列通项公式与前 n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定 义进行证明求解即可 （2）根据条件建立方程关系进行求解就可【解答】解：（1）Sn=1+an，0 an0当 n2 时，an=SnSn1=1+an1an1=anan1，即（1）an=an1，0，an010即 1，即=， （n2） ，an是等比数列，公比 q=，当 n=1 时，S1=1+a1=a1，即 a1=，an=（）n1（2）若 S5=，则若 S5=1+（）4=，即（）5=1=，则=，得 =1【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据 n2 时，an=SnSn1的关系进行递推是解决本

29、题的关键考查学生的运算和推理能力18 （12 分）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线 图注：年份代码 17 分别对应年份 20082014（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以证明； （2）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量 附注：参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，2.646参考公式：r=，回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=【考点】线性回归方程菁优网版权所有 【分析】 （1）由折线图看出，y

30、 与 t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数 方程，可得答案； （2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016 年对应的 t 值为 9，代入可 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 【解答】解：（1）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系，理由如下：r=0.996，0.9960.75， 故 y 与 t 之间存在较强的正相关关系；（2）=0.10，=1.3310.1040.93，y 关于 t 的回归方程=0.103+0.93，2016 年对应的 t 值为 9，故=0.109+0.93=1.83，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量为 1.83

31、亿吨 【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点 （1）证明：MN平面 PAB； （2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定菁优网版权所有 【分析】 （1）法一、取 PB 中点 G，连接 AG，NG，由三角形的中位线定理可得 NGBC，且 NG=，再由已知得 AMBC，且 AM=BC，得到 NGAM，且 NG=AM，说明四边形 AMN

32、G 为平行四边形，可得 NMAG，由线面平行的判定得到 MN平面 PAB； 法二、证明 MN平面 PAB，转化为证明平面 NEM平面 PAB，在PAC 中，过 N 作 NEAC，垂足为 E，连接 ME，由已知 PA底面 ABCD，可得 PANE，通过求解直角三角 形得到 MEAB，由面面平行的判定可得平面 NEM平面 PAB，则结论得证； （2）连接 CM，证得 CMAD，进一步得到平面 PNM平面 PAD，在平面 PAD 内，过 A 作 AFPM，交 PM 于 F，连接 NF，则ANF 为直线 AN 与平面 PMN 所成角然后求解直 角三角形可得直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 【

33、解答】 （1）证明：法一、如图，取 PB 中点 G，连接 AG，NG， N 为 PC 的中点，NGBC，且 NG=，又 AM=，BC=4，且 ADBC，AMBC，且 AM=BC，则 NGAM，且 NG=AM， 四边形 AMNG 为平行四边形，则 NMAG， AG平面 PAB，NM平面 PAB， MN平面 PAB； 法二、 在PAC 中，过 N 作 NEAC，垂足为 E，连接 ME，在ABC 中，由已知 AB=AC=3，BC=4，得 cosACB=，ADBC，cos，则 sinEAM=，在EAM 中，AM=，AE=，由余弦定理得：EM=，cosAEM=，而在ABC 中，cosBAC=，cosAE

34、M=cosBAC，即AEM=BAC， ABEM，则 EM平面 PAB 由 PA底面 ABCD，得 PAAC，又 NEAC， NEPA，则 NE平面 PAB NEEM=E， 平面 NEM平面 PAB，则 MN平面 PAB；（2）解：在AMC 中，由 AM=2，AC=3，cosMAC=，得CM2=AC2+AM22ACAMcosMAC=AM2+MC2=AC2，则 AMMC， PA底面 ABCD，PA平面 PAD， 平面 ABCD平面 PAD，且平面 ABCD平面 PAD=AD， CM平面 PAD，则平面 PNM平面 PAD 在平面 PAD 内，过 A 作 AFPM，交 PM 于 F，连接 NF，则A

35、NF 为直线 AN 与平面 PMN 所成角在 RtPAC 中，由 N 是 PC 的中点，得 AN=，在 RtPAM 中，由 PAAM=PMAF，得 AF=，sin直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化 思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题20 （12 分）已知抛物线 C：y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点 （）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ； （）若PQF 的面积是ABF 的面积的

36、两倍，求 AB 中点的轨迹方程 【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程菁优网版权所有 【分析】 （）连接 RF，PF，利用等角的余角相等，证明PRA=PRF，即可证明 ARFQ； （）利用PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求出 N 的坐标，利用点差法求 AB 中点 的轨迹方程 【解答】 （）证明：连接 RF，PF， 由 AP=AF，BQ=BF 及 APBQ，得AFP+BFQ=180， PFQ=90， R 是 PQ 的中点， RF=RP=RQ， PARFAR， PAR=FAR，PRA=FRA，BQF+BFQ=180QBF=PAF=2PAR，FQB=PAR， PRA=PRF， ARFQ（）设 A（

37、x1，y1） ，B（x2，y2） ，F（，0） ，准线为 x=，SPQF=|PQ|=|y1y2|，设直线 AB 与 x 轴交点为 N，SABF=|FN|y1y2|，PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，2|FN|=1，xN=1，即 N（1，0） 设 AB 中点为 M（x，y） ，由得=2（x1x2） ，又=，=，即 y2=x1AB 中点轨迹方程为 y2=x1【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档 题21 （12 分）设函数 f（x）=acos2x+（a1） （cosx+1） ，其中 a0，记 f（x）的最大值为A （）求 f（x） ； （）求 A； （）

38、证明：|f（x）|2A 【考点】利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有 【分析】 （）根据复合函数的导数公式进行求解即可求 f（x） ； （）讨论 a 的取值，利用分类讨论的数学，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性 质进行求解； （）由（I） ，结合绝对值不等式的性质即可证明：|f（x）|2A【解答】 （I）解：f（x）=2asin2x（a1）sinx（II）当 a1 时，|f（x）|=|acos2x+（a1） （cosx+1）|a+2（a1）=3a2=f（0） ，因此A=3a2当 0a1 时，f（x）等价为 f（x）=acos2x+（a1） （cosx+1）=2acos2x+（a1）co

39、sx1，令 g（t）=2at2+（a1）t1，则 A 是|g（t）|在1，1上的最大值，g（1）=a，g（1）=3a2，且当 t=时，g（t）取得极小值，极小值为 g（）=1=，令11，得 a（舍）或 a因此 A=3a2g（1）=a，g（1）=3a+2，a3a+2，t=1 时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为 3a+2 综上可得：t=1 时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即 f（x）的最大值为 3a+2 A=3a+2当 0a时，g（t）在（1，1）内无极值点，|g（1）|=a，|g（1）|=23a，|g（1）|g（1）|，A=23a，当a1 时，由 g（1

40、）g（1）=2（1a）0，得 g（1）g（1）g（） ，又|g（）g（1）|=0，A=|g（）|=，综上，A=（III）证明：由（I）可得：|f（x）|=|2asin2x（a1）sinx|2a+|a1|，当 0a时，|f（x）|1+a24a2（23a）=2A，当a1 时，A=+1，|f（x）|1+a2A，当 a1 时，|f（x）|3a16a4=2A，综上：|f（x）|2A 【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，利用函数单调性 和导数的关系，以及换元法，转化法转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键综合 性较强，难度较大请考生在第请考生在第 22-24 题中任选一题做答

41、，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-1：几何：几何 证明选讲证明选讲 22 （10 分）如图，O 中的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点 （1）若PFB=2PCD，求PCD 的大小； （2）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明：OGCD【考点】与圆有关的比例线段菁优网版权所有【分析】 （1）连接 PA，PB，BC，设 PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4，PAB=5，运用圆的性质和四点共圆的 判断，可得 E，C，D，F 共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求PCD 的度数；

42、 （2）运用圆的定义和 E，C，D，F 共圆，可得 G 为圆心，G 在 CD 的中垂线上，即可得 证 【解答】 （1）解：连接 PA，PB，BC， 设PEB=1，PCB=2，ABC=3， PBA=4，PAB=5，由O 中的中点为 P，可得4=5， 在EBC 中，1=2+3， 又D=3+4，2=5， 即有2=4，则D=1， 则四点 E，C，D，F 共圆， 可得EFD+PCD=180， 由PFB=EFD=2PCD， 即有 3PCD=180， 可得PCD=60； （2）证明：由 C，D，E，F 共圆， 由 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G 可得 G 为圆心，即有 GC=GD， 则

43、G 在 CD 的中垂线，又 CD 为圆 G 的弦， 则 OGCD【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考 查推理能力，属于中档题选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为sin（+）=2（1）写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程菁优网版权所有【分析】 （1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 C1的普通方程，运用 x=cos，y=sin，以及两角和的正弦公式，化简可得 C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为 0，求得 t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得 P 的直角坐标【解答】解：（1）曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，移项后两边平方可