数学建模模型学习教案.pptx

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1、数学数学(shxu)建模模型建模模型第一页，共76页。动态动态(dn(dngtigti)模模型型 描述描述(mio sh)对象特征随时间对象特征随时间(空间空间)的演的演变过程变过程.分析分析(fnx)对象特征的变化规对象特征的变化规律律.预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态.研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段.根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数.微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设.按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程.第1页/共76页第二页，共7

2、6页。5.1 传染病模型传染病模型(mxng)描述传染病的传播描述传染病的传播(chunb)过程过程.分析分析(fnx)受感染人数的变受感染人数的变化规律化规律.预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻.预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段.不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是而是按照传播过程的一般规律建立数学模型按照传播过程的一般规律建立数学模型.背景背景 与与问题问题传染病的极大危害传染病的极大危害(艾滋病、艾滋病、SARS、)基本基本方法方法第2页/共76页第三页，共76页。已感染人数已感染人数(rn sh)(病病人人)i(t)每

3、个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(jich)(足以使人致病足以使人致病)人人数为数为 模型模型(mxng)1假设假设若有效接触的是病人若有效接触的是病人,则则不能使病人数增加不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模?第3页/共76页第四页，共76页。模型模型(mxng)2区分区分(qfn)已感染者已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健健康人康人)假设假设(ji(jish)sh)1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为 .2）每个病人每天有效接触人数为）每个病人每天有效接触人数

4、为,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病.建模建模 日日接触率接触率SI 模型模型第4页/共76页第五页，共76页。模型模型(mxng)21/2tmii010ttm传染病高潮到来传染病高潮到来(doli)时刻时刻 (日接触日接触(jich)率率)tm Logistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最最大大第5页/共76页第六页，共76页。模型模型(mxng)3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成为病人治愈成为(chngwi)健康人，健康人可再次被健康人，健康人可再次被感染感染.增加增加(zngji)假设假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈

5、的比例为 日日治愈率治愈率建模建模 日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的有每个病人的有效接触人数，称为效接触人数，称为接触数接触数./=第6页/共76页第七页，共76页。模型模型(mxng)3i0i0接触接触(jich)数数 =1 阈值阈值感染感染(gnrn)期内有效接触使健期内有效接触使健康者感染康者感染(gnrn)的人数不超过的人数不超过原有的病人数原有的病人数1-1/i0模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1,i01/i(t)先升后降至先升后降至0P2

6、:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈值阈值P3P4P2S0第12页/共76页第十三页，共76页。模型模型(mxng)4SIR模型模型(mxng)预防传染病蔓延预防传染病蔓延(mn yn)的手段的手段 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/的估计的估计 降低降低 s0提高提高 r0 提高阈值提高阈值 1/降低降低 (=/),群体免疫群体免疫忽略忽略i0第13页/共76页第十四页，共76页。模型模型(mxng)4预防预防(yfng)传染病蔓延的传染病蔓延的手段手段 降低降低(jingd)日接日接触率触率 提高日

7、提高日治愈率治愈率 提高移出比例提高移出比例r0 以最终未感染比例以最终未感染比例s 和病人比例最大值和病人比例最大值im为度量指标为度量指标.1/s0i0s i 10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.02

8、0.67550.0200 ,s0 (r0 )s ,im s ,im 第14页/共76页第十五页，共76页。模型模型(mxng)4SIR模型模型(mxng)被传染被传染(chunrn)人数的估计人数的估计记被传染人数比例记被传染人数比例x 03)经济经济(jngj)增长增长的条件的条件 劳动力相对劳动力相对(xingdu)增长率增长率第23页/共76页第二十四页，共76页。每个劳动力的产值每个劳动力的产值(chnzh)Z(t)=Q(t)/L(t)增长增长dZ/dt03)经济增长经济增长(zngzhng)的条件的条件劳动力增长率小于初始投资增长率劳动力增长率小于初始投资增长率第24页/共76页第二

9、十五页，共76页。5.3 正规战与游击战正规战与游击战战争分类战争分类(fn li)：正规战争，游击战争，混：正规战争，游击战争，混合战争合战争.只考虑双方兵力只考虑双方兵力(bngl)多少和战斗力强弱多少和战斗力强弱.兵力兵力(bngl)因战斗及非战斗减员而减少，因增援而因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加增加.战斗力与射击次数及命中率有关战斗力与射击次数及命中率有关.建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例的实际问题提供了可借鉴的示例.第一次世界大战第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型提出预测战役结局的模

10、型.第25页/共76页第二十六页，共76页。一般一般(ybn)模模型型 每方战斗每方战斗(zhndu)减员率取决于双方的兵力和战减员率取决于双方的兵力和战斗斗(zhndu)力力.每方非战斗减员每方非战斗减员(jin yun)率与本方兵力成正比率与本方兵力成正比.甲乙双方的增援率为甲乙双方的增援率为u(t),v(t).f,g 取决于战争类型取决于战争类型x(t)甲方兵力，甲方兵力，y(t)乙方兵力乙方兵力模型模型假设假设模型模型第26页/共76页第二十七页，共76页。正规正规(zhnggu)战战争模型争模型 甲方战斗甲方战斗(zhndu)减员率只取决于乙方的兵力和战减员率只取决于乙方的兵力和战斗

11、斗(zhndu)力力双方双方(shungfng)均以正均以正规部队作战规部队作战 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援f(x,y)=ay,a 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率a=ry py,ry 射击率，射击率，py 命中率命中率第27页/共76页第二十八页，共76页。0正规战争正规战争(zhnzhng)模模型型为判断为判断(pndun)战争的结局，不求战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论而在相平面上讨论 x 与与 y 的关系的关系.平方平方(pngfng)律律 模型模型乙方胜乙方胜第28页/共76页第二十九页，共76页。游击战争模型游击战争模型(mxn

12、g)双方双方(shungfng)都用游都用游击部队作战击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方战斗减员率还随着(su zhe)甲方兵力的增加甲方兵力的增加而增加而增加 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援f(x,y)=cxy,c 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率c=ry pyry射击率射击率py 命中率命中率py=sry/sxsx 甲方活动面积甲方活动面积sry 乙方射击有效面乙方射击有效面积积第29页/共76页第三十页，共76页。0游击战争模型游击战争模型(mxng)线性律线性律 模型模型(mxng)第30页/共76页第三十一页，共76页。0混合战争混合战争(zhnzh

13、ng)模模型型甲方为游击甲方为游击(yuj)部队，乙方为正规部队，乙方为正规部队部队乙方必须乙方必须(bx)10倍于甲方倍于甲方的兵力的兵力!设设 x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)第31页/共76页第三十二页，共76页。5.4 药物药物(yow)在体内的分布与在体内的分布与排除排除 药物进入药物进入(jnr)(jnr)机体形成血药浓度机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量单位体积血液的药物量).).血药浓度需保持在一定血药浓度需保持在一定(ydng)(ydng)范围内范围内给药给药方案设计方案设计.药物在体内吸收、分布和排除过程药物在体内吸

14、收、分布和排除过程 药物动力学药物动力学.建立建立房室模型房室模型药物动力学的基本步骤药物动力学的基本步骤.房室房室机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移，在房室间按一定规律转移.本节讨论本节讨论二室模型二室模型中心室中心室(心、肺、肾等心、肺、肾等)和周边和周边室室(四肢、肌肉等四肢、肌肉等).).第32页/共76页第三十三页，共76页。模型模型(mxng)假设假设 中心室中心室(1)(1)和周边和周边(zhu bin)(zhu bin)室室(2),(2),容积不变容积不变.药物药物(yow)(yo

15、w)在房室间转移速率及向体外排除速在房室间转移速率及向体外排除速率与该室血药浓度成正比率与该室血药浓度成正比.药物从体外进入中心室，在二室间相互转移药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从从中心室排出体外中心室排出体外.模型建立模型建立 中心室中心室周边室周边室给药给药排除排除c1(t),x1(t)V1c2(t),x2(t)V2转移转移第33页/共76页第三十四页，共76页。线性常系数线性常系数(xsh)非非齐次方程齐次方程对应对应(duyng)齐次方程齐次方程通解通解模型模型(mxng)建立建立第34页/共76页第三十五页，共76页。几种常见几种常见(chn jin)的给药方式的给药方式1

16、.快速快速(kui s)静脉静脉注射注射t=0 瞬时注射剂量瞬时注射剂量D0的的药物进入药物进入(jnr)中心室中心室,血药浓度立即为血药浓度立即为D0/V1给药速率给药速率 f0(t)和初始条件和初始条件第35页/共76页第三十六页，共76页。2.恒速静脉滴注恒速静脉滴注(jn mi d zh)t T,c1(t)和和 c2(t)按指数按指数(zhsh)规律规律趋于零趋于零0t T 药物以速率药物以速率k0进入进入(jnr)中心室中心室第36页/共76页第三十七页，共76页。3.口服口服(kuf)或肌肉或肌肉注射注射相当于药物相当于药物(yow)(剂量剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中先进入

17、吸收室，吸收后进入中心室心室.吸收吸收(xshu)室室药量药量x0(t)吸收室吸收室中心室中心室D0第37页/共76页第三十八页，共76页。参数估计参数估计各种给药方式各种给药方式(fngsh)下的下的 c1(t),c2(t)取决于参数取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速快速(kui s)静脉注射静脉注射D0,在在ti(i=1,2,n)测得测得c1(ti)由较大的由较大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A,由较小的由较小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B,第38页/共76页第三十九页，共76页。参数估计参数估计进入中心室的药物全部排除进入中心室的药物全部排除第39页/共76

18、页第四十页，共76页。建立房室模型建立房室模型,研究体内血药浓度变化过程研究体内血药浓度变化过程,确定确定(qudng)(qudng)转移速率、排除速率等参数转移速率、排除速率等参数,为制订给药方案提供依据为制订给药方案提供依据.机理分析确定模型机理分析确定模型(mxng)(mxng)形式，测试分析估计形式，测试分析估计模型模型(mxng)(mxng)参数参数.药物药物(yow)(yow)在体内的分布与排在体内的分布与排除除房室模型：房室模型：一室模型一室模型二室模型二室模型多室模型多室模型非线性非线性(一室一室)模型模型c1较小时近似于线性较小时近似于线性 一级一级排除过程排除过程如如c1较

19、大时近似于常数较大时近似于常数 零级零级排除过程排除过程第40页/共76页第四十一页，共76页。过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么(shn(shn me)me)关系关系?人体吸入的毒物量与哪些因素人体吸入的毒物量与哪些因素(yn s)(yn s)有关，有关，其中什么因素其中什么因素(yn s)(yn s)影响大，什么因素影响大，什么因素(yn(yn s)s)影响小影响小?模型模型(mxng)分析分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型烟过程的数学模型.设想一个设想一个“机器人机器人”在典型环境下吸烟，吸烟在

20、典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境在整个过程中不变方式和外部环境在整个过程中不变.问题问题5.5 香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用第41页/共76页第四十二页，共76页。模型模型(mxng)假设假设定性分析定性分析(dngxngfnx)1）l1烟草长，烟草长，l2过滤嘴长，过滤嘴长，l=l1+l2，毒物毒物(dw)量量M均匀分布，密度均匀分布，密度w0=M/l1.2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是行的数量比是a:a,a+a=1.3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的的(单位时间单位时间)吸收率分别

21、是吸收率分别是b和和 .4）烟雾沿香烟穿行速度是常数）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧，香烟燃烧速度是常数速度是常数u，v u.Q 吸一支烟毒物进入人体总量吸一支烟毒物进入人体总量第42页/共76页第四十三页，共76页。模模型型(mxng)建建立立0t=0,x=0，点燃，点燃(din rn)香烟香烟q(x,t)毒物毒物(dw)流量流量w(x,t)毒物密度毒物密度1)求求q(x,0)=q(x)流量守恒流量守恒第43页/共76页第四十四页，共76页。t 时刻时刻(shk)，香烟燃至，香烟燃至 x=ut1)求求q(x,0)=q(x)2)求求q(l,t)第44页/共76页第四十五页，共76页。3)

22、求求w(ut,t)考察考察(koch)t内毒物密内毒物密度的增量度的增量(单位长度烟雾毒物被吸收部分单位长度烟雾毒物被吸收部分)第45页/共76页第四十六页，共76页。4)计算计算(j sun)QQ 吸一支吸一支(y zh)烟毒物进入烟毒物进入人体总量人体总量第46页/共76页第四十七页，共76页。结果结果(ji gu)分分析析烟草烟草(ynco)为什么有为什么有作用作用?1）Q与与a,M成正比，成正比，aM是毒物是毒物(dw)集中在集中在x=l 处的处的吸入量吸入量2)过滤嘴因素，过滤嘴因素，,l2 负指数负指数作用作用是毒物集中在是毒物集中在x=l1 处的吸入处的吸入量量3）(r)烟草的吸

23、收作用烟草的吸收作用b,l1 线性线性作作用用第47页/共76页第四十八页，共76页。带过滤嘴带过滤嘴不带过滤嘴不带过滤嘴结果结果(ji gu)分分析析4)与另一支不带过滤嘴的香烟与另一支不带过滤嘴的香烟(xingyn)比较，比较，w0,b,a,v,l 均相同，吸至均相同，吸至 x=l1扔掉扔掉.提高提高-b 与加长与加长l2，效果，效果(xiogu)相同相同.第48页/共76页第四十九页，共76页。香烟香烟(xingyn)(xingyn)过滤嘴的过滤嘴的作用作用 在基本合理的简化假设下，用精确的数学工具在基本合理的简化假设下，用精确的数学工具(gngj)解决一个看来不易下手的实际问题解决一个

24、看来不易下手的实际问题.引入两个基本函数：流量引入两个基本函数：流量q(x,t)和密度和密度w(x,t)，运用，运用物理学的守恒定律建立微分方程物理学的守恒定律建立微分方程(wi fn fn chn)，构造动态模型，构造动态模型.对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎实际的对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎实际的结论结论.第49页/共76页第五十页，共76页。背景背景(bijng)年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界世界(shji)人口增长概况人口增长概况中国中国(zhn u)人口增长概况人口增

25、长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长5.6 人口预测和控制人口预测和控制做出较准确的预报做出较准确的预报 建立人口数学模型建立人口数学模型 第50页/共76页第五十一页，共76页。指数指数(zhsh)(zhsh)增长模型增长模型马尔萨斯马尔萨斯17981798年提出年提出常用常用(chn yn)的计算公式的计算公式x(t)时刻时刻(shk)t的人口的人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)

26、增长率增长率 r 是常数是常数今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 rk年后人口年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长.与常用公式的一致与常用公式的一致rtextx0)(=?第51页/共76页第五十二页，共76页。指数增长模型指数增长模型(mxng)的应用及局限性的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲世纪以前欧洲(u zhu)一些地区人口统计数据吻合一些地区人口统计数据吻合.适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民世纪后迁往加拿大的欧洲移民(y mn)后代后代.可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测.不符合不符合1919世纪后多数地区人口增长

27、规律世纪后多数地区人口增长规律.不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程.1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)第52页/共76页第五十三页，共76页。阻滞阻滞(z zh)(z zh)增长模型增长模型逻辑斯蒂逻辑斯蒂(Logistic)(Logistic)模型模型人口增长到一定数量人口增长到一定数量(shling)后，增长率下降的原因：后，增长率下降的原因：资源资源(zyun)、环境等因素对人口增长的阻滞作用、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增长率固

28、有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是是x的减函数的减函数第53页/共76页第五十四页，共76页。dx/dtx0 xmxm/2tx0 x增加增加(zngji)先快后慢先快后慢xmx0 xm/2阻滞增长阻滞增长(zngzhng)(zngzhng)模型模型(Logistic(Logistic模型模型)指数增指数增长长(zngzhng)模模型型Logistic 模型的应用模型的应用 经济领域中的增长规律经济领域中的增长规律(耐用消费品的售量耐用消费品的售量).).种群数量模型种群数量模型(鱼塘中的鱼群鱼塘中的鱼群,森林中的树木森

29、林中的树木).S形曲线形曲线第54页/共76页第五十五页，共76页。参数估计参数估计用指数用指数(zhsh)增长模型或阻滞增长模型作人口增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r,xm.模型的参数估计、检验模型的参数估计、检验(jinyn)(jinyn)和预报和预报 指数指数(zhsh)增长模型增长模型阻滞增长模型阻滞增长模型由统计数据用由统计数据用线性最小二乘法线性最小二乘法作参数估计作参数估计例：美国人口数据例：美国人口数据(百万百万)1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 2000 31.4 38.6 50.2

30、 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 tx第55页/共76页第五十六页，共76页。r=0.2022/10年，x0=6.0450 模型的参数估计、检验模型的参数估计、检验(jinyn)(jinyn)和预报和预报 指数指数(zhsh)增长模型增长模型阻滞增长阻滞增长(zngzhng)(zngzhng)模型模型r=0.2557/10年，xm=392.0886 年年实际实际人口人口计算人口计算人口(指数增长模型指数增长模型)计算人口计算人口(阻滞增长模型阻滞增长模型)17903.96.03.918005.37.45.01960179.3188.0171.31970204.023

31、0.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000422.1指数增长模型指数增长模型阻滞增长模型阻滞增长模型第56页/共76页第五十七页，共76页。模型模型(mxng)(mxng)检验检验用模型用模型(mxng)计算计算2000年美国人口年美国人口误差误差(wch)不到不到3%与实际数据与实际数据(2000年年281.4)比较比较=274.5模型的参数估计、检验和预报模型的参数估计、检验和预报 为做模型检验在参数估计时未用为做模型检验在参数估计时未用2000年实际数据年实际数据模型应用模型应用加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数

32、据后重新估计模型参数r=0.2490,xm=434.0 x(2010)=306.0预报美国预报美国2010年的人口年的人口第57页/共76页第五十八页，共76页。考虑年龄结构和生育模式的人口考虑年龄结构和生育模式的人口(rnku)模型模型 年龄分布年龄分布(fnb)对于人口预测的对于人口预测的重要性重要性.只考虑自然出生只考虑自然出生(chshng)与死亡，与死亡，不计迁移不计迁移.人口人口发展发展方程方程F(r,t)人口分布函数人口分布函数(年龄年龄r的人口的人口)p(r,t)人口密度函数人口密度函数N(t)人口总数人口总数rm()最高年龄最高年龄第58页/共76页第五十九页，共76页。人口

33、发展人口发展(fzhn)方程方程一阶偏微分方程一阶偏微分方程(wi fn fn chn)第59页/共76页第六十页，共76页。人口人口(rnku)发发展方程展方程0tr定解定解条件条件(tiojin)已知函数已知函数(hnsh)(人口调查人口调查)生育率生育率(控制手段控制手段)第60页/共76页第六十一页，共76页。生育率生育率 f(t)的分解的分解(fnji)总和总和(zngh)生育生育率率h生育生育(shngy)模模式式0第61页/共76页第六十二页，共76页。人口人口(rnku)控制系统控制系统总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多少生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育

34、的早晚和疏密 正反馈系统正反馈系统 滞后滞后(zh hu)作用很大作用很大输入输入(shr)输入输入输出输出反馈反馈第62页/共76页第六十三页，共76页。人口人口(rnku)指数指数1）人口总数）人口总数2）平均年龄）平均年龄3）平均寿命）平均寿命(pn jn shu mn)t时刻出生的人，死亡率按时刻出生的人，死亡率按(r,t)计算的平均计算的平均(pngjn)存活时存活时间间4）老龄化指数）老龄化指数控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控制 (t)不过高不过高第63页/共76页第六十四页，共76页。5.7 烟雾的扩散烟雾的扩散(kusn)与消失与消失现象现象(xinxi

35、ng)和和问题问题 炮弹炮弹(podn)在空中爆炸，烟雾向四周扩散，在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形形 成圆形不透光区域成圆形不透光区域.不透光区域不断扩大，然后区域边界逐不透光区域不断扩大，然后区域边界逐 渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失.建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分 析消失时间与各因素的关系析消失时间与各因素的关系.问题问题分析分析 无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化.观察到的烟雾消失与烟雾对光线的吸收、观察到的烟雾消失与烟

36、雾对光线的吸收、以及仪器对明暗的灵敏程度有关以及仪器对明暗的灵敏程度有关.第64页/共76页第六十五页，共76页。模型模型(mxng)假设假设1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风 的影响；扩散服从的影响；扩散服从(fcng)扩散定律扩散定律.2）光线穿过烟雾时光强的相对）光线穿过烟雾时光强的相对(xingdu)减减少与烟雾少与烟雾 浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强.3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定明暗界限由仪器灵敏度决定.模型模型建立建立1）烟雾浓度）烟雾

37、浓度 的变化规律的变化规律扩散定律：扩散定律：单位时间通过单位法向面积单位时间通过单位法向面积的流量的流量q与浓度与浓度C的的梯度成正比梯度成正比.第65页/共76页第六十六页，共76页。曲面积分曲面积分(jfn)奥氏公式奥氏公式1）烟雾浓度）烟雾浓度 的变化规律的变化规律的微分形式，并利用积分中值定理的微分形式，并利用积分中值定理第66页/共76页第六十七页，共76页。初始条件初始条件Q炮弹释放炮弹释放(shfng)的的烟雾总量烟雾总量 单位单位(dnwi)强度的强度的点源函数点源函数 对任意对任意(rny)t,C的等值面是球面的等值面是球面 x2+y2+z2=R2;RC 仅当仅当 t,对任

38、意点对任意点(x,y,z),C01）烟雾浓度）烟雾浓度 的变化规律的变化规律第67页/共76页第六十八页，共76页。2）光强穿过）光强穿过(chun u)烟雾时的烟雾时的变化规律变化规律假设假设(jish)2）光强的相对减少与烟雾浓度成）光强的相对减少与烟雾浓度成正比正比.I(l)沿沿l方向方向(fngxing)的光强，的光强，C(l)沿沿l方向方向(fngxing)的烟雾强度的烟雾强度记未进入烟雾记未进入烟雾(l l0)时光强为时光强为 I(l0)=I0第68页/共76页第六十九页，共76页。3）仪器）仪器(yq)灵敏度与烟雾明暗界灵敏度与烟雾明暗界限限烟雾烟雾(ynw)浓度浓度连续变化连续

39、变化烟雾中光强连续烟雾中光强连续(linx)变化变化仪器仪器z-设光源在设光源在z=-,仪器在仪器在z=,则观测到的则观测到的明暗界限为明暗界限为不透光区域有扩大、不透光区域有扩大、缩小、消失的过程缩小、消失的过程穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定分，明暗界限由仪器灵敏度决定.不透光区域边界不透光区域边界第69页/共76页第七十页，共76页。4）不透光区域）不透光区域(qy)边界的变化边界的变化规律规律对任意对任意t,不透光区域边界是圆周不透光区域边界是圆周不透光区域不透光区域(qy)边界边界半径半径第70页/共76页第七十一页，共76

40、页。r(t)rm0t1t2t结果结果(ji gu)分析分析观测到不透光区域边界达到最大的观测到不透光区域边界达到最大的时刻时刻(shk)t1，可以预报烟雾消，可以预报烟雾消失的时刻失的时刻(shk)t2第71页/共76页第七十二页，共76页。5.8 万有引力万有引力(wn yu ynl)定律的发现定律的发现背景背景(bijng)航海航海(hnghi)业业发展发展天文观测精确天文观测精确“地心说地心说”动动摇摇哥白尼：哥白尼：“日心日心说说”伽利略：落体运动伽利略：落体运动开普勒：行星运动三定律开普勒：行星运动三定律变速运动的计算方法变速运动的计算方法牛顿：一切运动有力学原因牛顿：一切运动有力学

41、原因牛顿运动三定律牛顿运动三定律牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）开普勒三定律开普勒三定律牛顿运动第二定律牛顿运动第二定律万有引力定律万有引力定律自然科学之数学原理自然科学之数学原理(1687)第72页/共76页第七十三页，共76页。模型模型(mxng)假设假设极坐标系极坐标系(r,)1.行星行星(xngxng)轨道轨道a长半轴长半轴,b短短半轴半轴,e离心率离心率(xn l)3.行星运行周期行星运行周期 T行星位置：向径行星位置：向径2.单位时间单位时间 扫过面积为常数扫过面积为常数 Am 行星质量行星质量 绝对常数绝对常数4.行星运行受力行星运

42、行受力 太阳太阳(0,0)O rP行星行星第73页/共76页第七十四页，共76页。模型模型(mxng)建立建立O(太太阳阳)P(行星行星)r向径向径 的基向量的基向量第74页/共76页第七十五页，共76页。模型模型(mxng)建建立立只需证明只需证明 4A2/p=kM（A2/p与哪一颗行星与哪一颗行星(xngxng)无关）无关）A单位时间单位时间 扫过面积扫过面积与万有引力定律与万有引力定律比较比较T运行运行(ynxng)周期周期可以证明可以证明(习题习题10)lp/22=pA4A2/p=kM在正确假设基础上用数学建模方法得到万有引力定律在正确假设基础上用数学建模方法得到万有引力定律第75页/共76页第七十六页，共76页。