数学分析极值与条件极值学习教案.pptx

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1、数学分析数学分析(sh xu fn x)极值与条件极值极值与条件极值第一页，共29页。第一节第一节 极值极值(j zh)(j zh)与最小二乘法与最小二乘法一、一、多元函数多元函数(hnsh)的极值的极值 定义定义(dngy):若若函数函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有第1页/共29页第二页，共29页。说明说明:使偏导数使偏导数(do sh)都为都为 0 的点称的点称为驻点为驻点.例如(lr),定理定理(dngl)1(必要条件必要条件)函数偏

2、导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故第2页/共29页第三页，共29页。定理定理(dngl)2(充充分条件分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续(linx)偏导数,且令若函数(hnsh)时,具有极值则:1)当2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.时取极小值;时取极大值;第3页/共29页第四页，共29页。二、最值应用二、最值应用(yngyng)问题问题函数(hnsh)f 在闭域上连续函数(hnsh)f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 稳定点，偏导数不存在的

3、点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,为极小 值为最小 值(大大)(大大)依据第4页/共29页第五页，共29页。第二节 条件极值与拉格朗日乘数(chn sh)法三、条件极值三、条件极值极值(j zh)问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法(fngf)1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化第5页/共29页第六页，共29页。方法方法(fngf)2 拉格朗拉格朗日乘数法日乘数法.如方法(fngf)1 所述,则问题(wnt)等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点

4、必满足设 记例如例如,故 故有第6页/共29页第七页，共29页。引入辅助(fzh)函数辅助(fzh)函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用(lyng)拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.第7页/共29页第八页，共29页。例例1.求求 满足满足(mnz)约束条件约束条件的最大值。的最大值。解：作拉格朗日函数解：作拉格朗日函数(hnsh)：令令即，稳定即，稳定(wndng)点：点：第8页/共29页第九页，共29页。由实际问题知所求最大值必存在，而稳定(wndng)点又唯一，因此唯一的稳定(wndng)点就是最大值点。故球内接长方体中以正方体的体积最大。

5、第9页/共29页第十页，共29页。例例2.求在求在 约束条件约束条件下的极小值；下的极小值；并证明并证明(zhngmng)不等式：不等式：第10页/共29页第十一页，共29页。解：作拉格朗日函数解：作拉格朗日函数(hnsh)：令令即，稳定即，稳定(wndng)点：点：第11页/共29页第十二页，共29页。下面判别稳定下面判别稳定(wndng)点是点是极值点极值点记记则则故方程故方程(fngchng)在稳定点在稳定点 附近附近(fjn)可可唯一确定可微数唯一确定可微数第12页/共29页第十三页，共29页。令令现在现在(xinzi)用二元函数取极值的充分条件判用二元函数取极值的充分条件判别别是是

6、的极的极值值(j zh)点。点。由约束条件得：由约束条件得：从而从而(cng r)第13页/共29页第十四页，共29页。故故 在在 点有点有.因此因此(ync)在在 取极取极小值小值,这等价这等价(dngji)于于 在在 取极小值取极小值 第14页/共29页第十五页，共29页。分析(fnx)约束集 是一无界集。当 在 内远离(yun l)原点时，函数将 趋于正无穷。因此(ync)，函数 的唯一极小值点是函数的 最小值点，即 代入得，第15页/共29页第十六页，共29页。推广推广(tugung)拉格朗日乘数(chn sh)法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到(d do)条件

7、极值的可疑点.例如例如,求函数下的极值.在条件第16页/共29页第十七页，共29页。内容(nirng)小节1.函数函数(hnsh)的极值问题的极值问题第一步 利用(lyng)必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法第17页/共29页第十八页，共29页。设拉格朗日函数(hnsh)如求二元函数(hnsh)下的极值(j zh),解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件

8、)3.函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点.第18页/共29页第十九页，共29页。习题(xt)例例1.1.求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点(zh din).(zh din).得驻点(zh din):(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数第19页/共29页第二十页，共29页。在点(3,0)处不是(b shi)极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是(b shi)极值;第20页/共29页第二十一页，共29页。例例2.讨论讨论(toln)函数函数及是否取得(qd)极值.解解:显然显然(xin

9、rn)(0,0)都是它都是它们的驻点们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此为极小值.正正负负0在点(0,0)并且在(0,0)都有 可能为第21页/共29页第二十二页，共29页。例例3 3.解解:设水箱设水箱(shuxing)长长,宽分别为宽分别为 x,y m,则高为则高为则水箱所用(su yn)材料的面积为令得驻点(zh din)某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.第22页/共29页第二十三页，共2

10、9页。例例4.有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁的长方形铁板板(ti bn),把它折起来做成解解:设折起来的边长为 x cm,则断面(dun min)面积x24一个(y)断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面第23页/共29页第二十四页，共29页。令解得:由题意(t y)知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有(zhyu)一个(y)驻点,故此点即为所求.第24页/共29页第二十五页，共29页。例例5.要设计(shj)一个容量为则问题(wnt)为求x,y,令解方程组解解:设设 x,y,z 分别分别(fnbi)表示长、表示长、宽、高宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问 第25页/共29页第二十六页，共29页。补充(bchng)题已知平面(pngmin)上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆(tuyun)圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:设 C 点坐标为(x,y),则 第26页/共29页第二十七页，共29页。设拉格朗日函数(hnsh)解方程组得驻点(zh din)对应(duyng)面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.第27页/共29页第二十八页，共29页。作业(zuy)P102:2.4.6第28页/共29页第二十九页，共29页。