数学文化概论学习教案.pptx

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1、会计学1数学数学(shxu)文化概论文化概论第一页，共31页。抽象性抽象性精确性精确性应用应用(yngyng)的的广泛性广泛性 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 数学数学数学数学(shxu)(shxu)(shxu)(shxu)的特点的特点的特点的特点第2页/共31页第二页，共31页。v数学数学(shxu)(shxu)的研究对象本身就是抽象的；的研究对象本身就是抽象的；v在数学在数学(shxu)(shxu)的抽象中只保留量的关系和空间形式的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；而舍弃了其他一切；v数学数学(shxu)(shxu)的抽象是一级一级逐步提高的，它们所的抽象是一

2、级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象；达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象；v核心数学核心数学(shxu)(shxu)主要处理抽象概念和它们的相互关主要处理抽象概念和它们的相互关系。系。1 1、抽象性、抽象性、抽象性、抽象性有的同学因数学的抽象性而感觉数学枯燥、难学；有的同学因数学的抽象性而感觉数学枯燥、难学；其实，其实，“抽象抽象”是数学的武器，是数学的优势。是数学的武器，是数学的优势。我们应该喜爱我们应该喜爱“抽象抽象”，学会，学会(xuhu)“(xuhu)“抽象抽象”的手段。的手段。第3页/共31页第三页，共31页。哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡

3、七桥问题哥尼斯堡七桥问题(wnt)(wnt)一笔画一笔画一笔画一笔画问题问题问题问题(wnt)(wnt)岛岛1 1岛岛2 2 A AB BDDCCB BCCA ADD模型模型模型模型(mxng)(mxng)地地桥桥边边第4页/共31页第四页，共31页。数学的精确性表现在数学推数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的确理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑性。定无疑性。汉克尔说：汉克尔说：“在大多数科学在大多数科学里，一代人要推倒里，一代人要推倒(tu do)另另一代人所修筑的东西，只有数学，一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼。层新

4、楼。”作为对照的三个例子：作为对照的三个例子：电子管电路电子管电路 半导体电路半导体电路 集成电路集成电路 托勒密地心说托勒密地心说哥白尼日心哥白尼日心说说开普勒三定律开普勒三定律 高温超导的上界（朱经武）高温超导的上界（朱经武）30K90K120K 240K2 2 2 2、精确性、精确性第5页/共31页第五页，共31页。关于关于“晶体晶体(jngt)的结构有的结构有多少种多少种”的讨论的讨论 n n曾经，许多物理学家、化学家、曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了各不相同的结晶体学家给出了各不相同的结论。论。n n数学家介入以后，运用数学家介入以后，运用“群群”的理论，得到了明确的理论，

5、得到了明确(mngqu)的答案：晶体的结的答案：晶体的结构只能有构只能有230种。种。n n而且，数学家的推理是如此精而且，数学家的推理是如此精确，让人信服，使得之后就不确，让人信服，使得之后就不再有人去研究这一问题了，因再有人去研究这一问题了，因为结论已经确定无疑。为结论已经确定无疑。第6页/共31页第六页，共31页。7华罗庚：华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用生物之谜，日用(ryng)之繁，之繁，数学无处不在。数学无处不在。例子：例子：哈雷彗星的发现；哈雷彗星的发现；海王星的发现；海王星的发现；电磁波的

6、发现。电磁波的发现。3 3 3 3、应用、应用、应用、应用(yngyng)(yngyng)(yngyng)(yngyng)的广泛性的广泛性的广泛性的广泛性第7页/共31页第七页，共31页。古古古古时时时时人人人人们们们们认认认认为为为为彗彗彗彗星星星星的的的的出出出出现现现现是是是是不不不不祥祥祥祥之之之之兆兆兆兆，直直直直到到到到1717世世世世纪纪纪纪，英英英英国国国国天天天天文文文文学学学学家家家家哈哈哈哈雷雷雷雷开开开开始始始始计计计计算算算算彗彗彗彗星星星星轨轨轨轨道道道道时时时时，发发发发现现现现(fxin)1682(fxin)1682年年年年、16071607年年年年和和和和15

7、311531年年年年出出出出现现现现的的的的彗彗彗彗星星星星有有有有相相相相似似似似的的的的轨轨轨轨道道道道，他他他他判判判判断断断断这这这这三三三三颗颗颗颗彗彗彗彗星星星星其其其其实实实实是是是是同同同同一一一一颗颗颗颗彗彗彗彗星星星星，并并并并预预预预言言言言它它它它将将将将在在在在17581758年年年年底底底底或或或或17591759年年年年初初初初再再再再次次次次出出出出现现现现。17591759年年年年，这这这这颗颗颗颗彗彗彗彗星星星星果果果果然然然然出出出出现现现现了了了了。虽虽虽虽然然然然哈哈哈哈雷雷雷雷已已已已在在在在此此此此前前前前的的的的17421742年年年年逝逝逝逝世

8、世世世，但但但但为为为为了了了了纪纪纪纪念念念念他他他他，这这这这颗颗颗颗彗彗彗彗星星星星称称称称为为为为“哈雷彗星哈雷彗星哈雷彗星哈雷彗星”。哈哈哈哈雷雷雷雷彗彗彗彗星星星星的的的的回回回回归归归归周周周周期期期期为为为为7676年年年年，最最最最近近近近一一一一次次次次的回归是在的回归是在的回归是在的回归是在19861986年；下一次回归是在年；下一次回归是在年；下一次回归是在年；下一次回归是在20622062年。年。年。年。哈雷彗星哈雷彗星哈雷彗星哈雷彗星(h li hu xn)(h li hu xn)(h li hu xn)(h li hu xn)的发现的发现的发现的发现第8页/共31

9、页第八页，共31页。这个太阳系最远的行星（之一）这个太阳系最远的行星（之一），是，是18461846年在数学计算的基础年在数学计算的基础上发现上发现(fxin)(fxin)的。天文学家分的。天文学家分析了天王星运动的不规律性，析了天王星运动的不规律性，推断出这是由其他行星的引力推断出这是由其他行星的引力而产生的。勒未累计算出它应而产生的。勒未累计算出它应处的位置，观察员在指定位置处的位置，观察员在指定位置发现发现(fxin)(fxin)了该行星。了该行星。航海家航海家2 2号拍摄号拍摄(pish),(pish),1989.8.1989.8.海王星的发现海王星的发现海王星的发现海王星的发现(fx

10、in)(fxin)(fxin)(fxin)第9页/共31页第九页，共31页。英英英英国国国国物物物物理理理理学学学学家家家家麦麦麦麦克克克克斯斯斯斯韦韦韦韦概概概概括括括括了了了了由由由由实实实实验验验验建建建建立立立立起起起起来来来来的的的的电电电电磁磁磁磁现现现现象象象象规规规规律律律律，把把把把这这这这些些些些规规规规律律律律表表表表述述述述为为为为“方方方方程程程程的的的的形形形形式式式式”，用用用用纯纯纯纯粹粹粹粹数数数数学学学学的的的的方方方方法法法法推推推推导导导导出出出出可可可可能能能能存存存存在在在在着着着着电电电电磁磁磁磁波波波波并并并并且且且且这这这这些些些些电电电电磁磁

11、磁磁波波波波应应应应该该该该以以以以光光光光速速速速传传传传播播播播者者者者。据据据据此此此此，他他他他提提提提出出出出了了了了光光光光的的的的电电电电磁磁磁磁理理理理论论论论。此此此此外外外外(c(c wi)wi)，他他他他的的的的结结结结论论论论还还还还推推推推动动动动了了了了人人人人们们们们去去去去寻寻寻寻找找找找纯纯纯纯电电电电起起起起源源源源的电磁波。的电磁波。的电磁波。的电磁波。电磁波的发现电磁波的发现电磁波的发现电磁波的发现(fxin)(fxin)(fxin)(fxin)2424年年后后，德德国国物物理理学学家家赫赫兹兹在在振振荡荡放放电电实实验验中中证证实实了了电电磁磁波波的的

12、存存在在，不不久久，意意大大利利的的马马可可尼尼和和俄俄国国人人波波波波夫夫又又在在此此基基础础上上独独立立地地发发明明了了无无线线电电报报(wxin(wxin dinbo)dinbo)。从此，电磁波走进了千家万户。从此，电磁波走进了千家万户。第10页/共31页第十页，共31页。语语语语 言言言言 是是是是 表表表表 达达达达 思思思思 想想想想 的的的的，是是是是 人人人人 类类类类 相相相相 互互互互(xingh)(xingh)交流的工具。交流的工具。交流的工具。交流的工具。数数数数学学学学语语语语言言言言则则则则是是是是人人人人们们们们进进进进行行行行数数数数学学学学表表表表达达达达和和

13、和和数数数数学交流的工具。学交流的工具。学交流的工具。学交流的工具。1.3.2 1.3.2 自然语言与数学自然语言与数学(shxu)(shxu)语言语言第11页/共31页第十一页，共31页。n n 自然语言是具体的语言，自然语言是具体的语言，n n 数数学学语语言言是是形形式式化化的的语言。语言。n n中中国国人人说说汉汉语语，美美国国人人说说英英语语(yn y)，这这些些是是自自然然语语言言；上上海海人人说说上上海海话话，四四川川人人说说四四川川话话，广广东东人人说说广广东东话话，这这些些也是自然语言。也是自然语言。n n如如同同生生物物界界有有“濒濒危危物物种种”一一样样，自自然然语语言言

14、中中也也有有“濒濒危危语语言言”。下下面面的的一一个个自自然然段段，摘摘自自新新华华社的一则报道。社的一则报道。n n 国国际际自自然然及及自自然然资资源源保保护护联联盟盟为为衡衡量量濒濒危危物物种种灭灭绝绝的的危危险险程程度度，制制定定了了一一套套国国际际通通用用的的评评判判标标准准。英英国国东东英英吉吉利利亚亚大大学学的的威威廉廉萨萨沙沙兰兰德德教教授授别别出出心心裁裁地地用用这这套套标标准准，对对世世界界上上共共约约6800种种语语言言进进行行了了分分类类，发现其中发现其中1676种有灭绝的危险。种有灭绝的危险。第12页/共31页第十二页，共31页。这些让我们形象地了解到，自然语言这些让

15、我们形象地了解到，自然语言这些让我们形象地了解到，自然语言这些让我们形象地了解到，自然语言(y(y yn)yn)是具体是具体是具体是具体的语言的语言的语言的语言(y(y yn)yn)，随民族、地域而有所不同。，随民族、地域而有所不同。，随民族、地域而有所不同。，随民族、地域而有所不同。数学语言数学语言数学语言数学语言(y(y yn)yn)虽然要以自然语言虽然要以自然语言虽然要以自然语言虽然要以自然语言(y(y yn)yn)作为载作为载作为载作为载体，但它是形式化的语言体，但它是形式化的语言体，但它是形式化的语言体，但它是形式化的语言(y(y yn)yn)，在形式化的方面，在形式化的方面，在形式

16、化的方面，在形式化的方面，不随民族、地域的不同而不同。数学语言不随民族、地域的不同而不同。数学语言不随民族、地域的不同而不同。数学语言不随民族、地域的不同而不同。数学语言(y(y yn)yn)是是是是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言(y(y yn)yn)构成的科学语言构成的科学语言构成的科学语言构成的科学语言(y(y yn)yn)。语言语言语言语言(y(y yn)yn)都是用来描述事物的。自然语言都是用来描述事物的。自然语言都是用来描述事物的。自然语言

17、都是用来描述事物的。自然语言(y(y yn)yn)可以用来描述事物的各个方面，数学语言可以用来描述事物的各个方面，数学语言可以用来描述事物的各个方面，数学语言可以用来描述事物的各个方面，数学语言(y(y yn)yn)则主要用来描述事物的数量关系、空间形式，则主要用来描述事物的数量关系、空间形式，则主要用来描述事物的数量关系、空间形式，则主要用来描述事物的数量关系、空间形式，以及事物的结构、逻辑关系等等。以及事物的结构、逻辑关系等等。以及事物的结构、逻辑关系等等。以及事物的结构、逻辑关系等等。第13页/共31页第十三页，共31页。例如一个工厂有四种产品，要向北京、天津、上海、重例如一个工厂有四种

18、产品，要向北京、天津、上海、重例如一个工厂有四种产品，要向北京、天津、上海、重例如一个工厂有四种产品，要向北京、天津、上海、重庆、武汉、沈阳六地发货。如果采用自然语言，需要具庆、武汉、沈阳六地发货。如果采用自然语言，需要具庆、武汉、沈阳六地发货。如果采用自然语言，需要具庆、武汉、沈阳六地发货。如果采用自然语言，需要具体说上很长一段话，每种产品向每个城市各发货多少体说上很长一段话，每种产品向每个城市各发货多少体说上很长一段话，每种产品向每个城市各发货多少体说上很长一段话，每种产品向每个城市各发货多少(dush(dush o)o)。但如果采用数学语言，只要写出一个。但如果采用数学语言，只要写出一个

19、。但如果采用数学语言，只要写出一个。但如果采用数学语言，只要写出一个4 4行行行行6 6列列列列的矩阵，每行表示一种产品，每列表示一个城市，交叉的矩阵，每行表示一种产品，每列表示一个城市，交叉的矩阵，每行表示一种产品，每列表示一个城市，交叉的矩阵，每行表示一种产品，每列表示一个城市，交叉点填上相应的发货数量（比如以吨为单位）。点填上相应的发货数量（比如以吨为单位）。点填上相应的发货数量（比如以吨为单位）。点填上相应的发货数量（比如以吨为单位）。所以说，自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的所以说，自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的所以说，自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的所以说，

20、自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的语言。语言。语言。语言。第14页/共31页第十四页，共31页。n n数学语言使科学精确化。数学语言使科学精确化。n n 以下三段名言是关于这个小以下三段名言是关于这个小标题很好的注释：标题很好的注释：n n“数学进入一门科学的程度，数学进入一门科学的程度，反映了这门科学成熟的程度。反映了这门科学成熟的程度。”n n“世界这本大书，是用数学的世界这本大书，是用数学的语言写成的。语言写成的。”n n“要是没有数学语言，宇宙几要是没有数学语言，宇宙几乎是不可乎是不可(bk)描述的！描述的！”第15页/共31页第十五页，共31页。事实上，牛顿用数学语言展示了他的

21、三大定律。事实上，牛顿用数学语言展示了他的三大定律。事实上，牛顿用数学语言展示了他的三大定律。事实上，牛顿用数学语言展示了他的三大定律。爱因斯坦用黎曼几何的语言阐述了他的广义相对论；爱因斯坦用黎曼几何的语言阐述了他的广义相对论；爱因斯坦用黎曼几何的语言阐述了他的广义相对论；爱因斯坦用黎曼几何的语言阐述了他的广义相对论；数学家用群论的语言解决了晶体分类的问题。数学家用群论的语言解决了晶体分类的问题。数学家用群论的语言解决了晶体分类的问题。数学家用群论的语言解决了晶体分类的问题。经济学家用数学语言表述了经济运行的规律。经济学家用数学语言表述了经济运行的规律。经济学家用数学语言表述了经济运行的规律。

22、经济学家用数学语言表述了经济运行的规律。物理中的布朗运动成为概率论中的语言。物理中的布朗运动成为概率论中的语言。物理中的布朗运动成为概率论中的语言。物理中的布朗运动成为概率论中的语言。生物中的遗传基因生物中的遗传基因生物中的遗传基因生物中的遗传基因DNADNA，原来，原来，原来，原来(yunli)(yunli)是数学中的是数学中的是数学中的是数学中的双螺旋线。双螺旋线。双螺旋线。双螺旋线。医学上已经出现医学上已经出现医学上已经出现医学上已经出现“数字化人体数字化人体数字化人体数字化人体”的概念和实物。的概念和实物。的概念和实物。的概念和实物。现在，任何一个科学工作者要使自己的工作精确现在，任何

23、一个科学工作者要使自己的工作精确现在，任何一个科学工作者要使自己的工作精确现在，任何一个科学工作者要使自己的工作精确化，都必须借助于数学语言。化，都必须借助于数学语言。化，都必须借助于数学语言。化，都必须借助于数学语言。第16页/共31页第十六页，共31页。n n数学语言是人类文明的共同语数学语言是人类文明的共同语言言(n tn y yn)n n由于数学语言往往需要依靠符由于数学语言往往需要依靠符号来表达，而世界各国又采用号来表达，而世界各国又采用相同的数学符号，这就使得数相同的数学符号，这就使得数学语言成为人类文明的共同语学语言成为人类文明的共同语言言(n tn y yn)。n n 例如，对

24、于数学语言例如，对于数学语言n n （a+b）2 =a 2+b 2+2ab 和和 Sin2x+Cos2x =1n n 表达的意思，任何一个民表达的意思，任何一个民族、任何一个地域的人都能明族、任何一个地域的人都能明白。白。第17页/共31页第十七页，共31页。n n数数学学语语言言是是宇宇宙宙文文明明的的共共同同语言语言n n地地球球上上不不同同地地域域的的人人类类文文明明发发展展到到某某一一阶阶段段时时，都都各各自自(gz)独独立立地地发发现现了了“圆圆周周长长与与直直径径的的比比是是一一个个常常数数”，各各自自(gz)独独立立地地发发现现了了“直直角角三三角角形形斜斜边边的的平平方方等等于

25、两条直角边的平方和于两条直角边的平方和”。n n地地球球文文明明如如此此，宇宇宙宙文文明明也也一一定定如如此此；于于是是自自然然地地想想到到，数数学学语语言言能能够够成成为为宇宇宙宙文文明明的共同语言。的共同语言。第18页/共31页第十八页，共31页。上上上上个个个个世世世世纪纪纪纪7070年年年年代代代代，美美美美国国国国曾曾曾曾经经经经发发发发射射射射过过过过一一一一艘艘艘艘宇宇宇宇宙宙宙宙飞飞飞飞船船船船，目目目目的的的的(md)(md)是是是是与与与与可可可可能能能能存存存存在在在在的的的的“外外外外星星星星人人人人”取取取取得得得得联联联联系系系系。为为为为了了了了让让让让星星星星外

26、外外外文文文文明明明明了了了了解解解解地地地地球球球球文文文文明明明明，这这这这艘艘艘艘宇宇宇宇宙宙宙宙飞飞飞飞船船船船带带带带去去去去了了了了地地地地球球球球上上上上山山山山川川川川、河河河河流流流流、白白白白云云云云、海海海海洋洋洋洋的的的的照照照照片片片片，地地地地球球球球上上上上各种动物、植物、微生物的照片，以及各种各种动物、植物、微生物的照片，以及各种各种动物、植物、微生物的照片，以及各种各种动物、植物、微生物的照片，以及各种年年龄龄、性性别别、民民族族的的人人类类照照片片；还还带带去去了了地地球球上上的的许许多多声声音音，如如狂狂风风暴暴雨雨的的声声音音、森森林林中中的的鸟鸟鸣鸣声

27、声、大大海海的的浪浪涛涛声声，以以及及不不同同民民族族的的人人类类叫叫“妈妈妈妈”的的声声音音；同同时时还还带带去去了了刻刻有有右右边边图图形形(txng)(txng)的的黄黄金金制制作作（以以防防锈锈蚀蚀损损毁毁）的图板。的图板。第19页/共31页第十九页，共31页。n n明晰明晰n n 这这含含有有两两个个方方面面的的意意思思，一一是是数数学学语语言言是是明明确确的的，一一是是数学语言是有条理的。数学语言是有条理的。n n 数数学学语语言言是是精精确确的的，是是从从不含糊的。不含糊的。n n“大大 于于”与与“大大 于于 等等 于于(dngy)”的的涵涵义义，是是明明确确不不同的；同的；n

28、 n“都都属属于于集集合合A”与与“有有的的属属于集合于集合A”也是明确不同的；也是明确不同的；n n“存存在在左左极极限限”与与“存存在在极极限限”也是明确不同的。也是明确不同的。1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 数学语言数学语言数学语言数学语言(yyn)(yyn)(yyn)(yyn)的特点的特点的特点的特点第20页/共31页第二十页，共31页。数学语言又是有条理的。数学语言又是有条理的。数学语言又是有条理的。数学语言又是有条理的。一段话的叙述中，先说哪个层次一段话的叙述中，先说哪个层次一段话的叙述中，先说哪个层次一段话的叙述中，先说哪个层次(cngc)(cngc)，后说，后说

29、，后说，后说哪个层次哪个层次哪个层次哪个层次(cngc)(cngc)，是有讲究的；，是有讲究的；，是有讲究的；，是有讲究的；一个层次一个层次一个层次一个层次(cngc)(cngc)中，先说哪句话，后说哪句话，中，先说哪句话，后说哪句话，中，先说哪句话，后说哪句话，中，先说哪句话，后说哪句话，也是有讲究的。也是有讲究的。也是有讲究的。也是有讲究的。数学语言中必须有数学语言中必须有数学语言中必须有数学语言中必须有“因因因因”有有有有“果果果果”，“因因因因”“”“果果果果”分明，不能把分明，不能把分明，不能把分明，不能把“因因因因”说成说成说成说成“果果果果”，也不能，也不能，也不能，也不能把此把

30、此把此把此“因因因因”说成彼说成彼说成彼说成彼“因因因因”。第21页/共31页第二十一页，共31页。n n严谨严谨n n 严谨，是指逻辑推理的严格严谨，是指逻辑推理的严格和谨慎。它是数学的特点之一，和谨慎。它是数学的特点之一，也是数学语言的特点之一。也是数学语言的特点之一。n n 首先是定理首先是定理(dngl)的叙的叙述是严谨的。述是严谨的。n n 例如算术基本定理例如算术基本定理(dngl)叙述为：任一个大于叙述为：任一个大于1的自然数，都可以被表示为有限的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯且如果不计次序的话，表法

31、是唯一的。一的。n n这里，这里，“大于大于1”的条件不可少，的条件不可少，少了就欠严谨；少了就欠严谨；n n“有限个有限个”三字不可少，少了三字不可少，少了就欠严谨；就欠严谨；n n“（可以重复）（可以重复）”的注解也不的注解也不可少，少了就欠严谨；可少，少了就欠严谨；n n“如果不计次序如果不计次序”的假设也不的假设也不可少，少了就欠严谨。可少，少了就欠严谨。第22页/共31页第二十二页，共31页。其次是推理的过程是严谨的。其次是推理的过程是严谨的。其次是推理的过程是严谨的。其次是推理的过程是严谨的。推理的步骤如何，应该表达清楚；每一步的理由是推理的步骤如何，应该表达清楚；每一步的理由是推

32、理的步骤如何，应该表达清楚；每一步的理由是推理的步骤如何，应该表达清楚；每一步的理由是什么，也应该表达充分。什么，也应该表达充分。什么，也应该表达充分。什么，也应该表达充分。许多数学教师在教学中强调，学生推理时应该注意许多数学教师在教学中强调，学生推理时应该注意许多数学教师在教学中强调，学生推理时应该注意许多数学教师在教学中强调，学生推理时应该注意“步骤完整，理由充足步骤完整，理由充足步骤完整，理由充足步骤完整，理由充足”八个字，是击中要害的。八个字，是击中要害的。八个字，是击中要害的。八个字，是击中要害的。例如，一个推理本来例如，一个推理本来例如，一个推理本来例如，一个推理本来(bnli)(

33、bnli)应该由六步完成，你只写应该由六步完成，你只写应该由六步完成，你只写应该由六步完成，你只写出了五步，缺一步，就欠严谨；出了五步，缺一步，就欠严谨；出了五步，缺一步，就欠严谨；出了五步，缺一步，就欠严谨；某一步本来某一步本来某一步本来某一步本来(bnli)(bnli)应该依据三个理由，你只写出了两应该依据三个理由，你只写出了两应该依据三个理由，你只写出了两应该依据三个理由，你只写出了两个理由，缺一个，就欠严谨。个理由，缺一个，就欠严谨。个理由，缺一个，就欠严谨。个理由，缺一个，就欠严谨。如果某位学生有语言上的这种不严谨，其实是反映了他如果某位学生有语言上的这种不严谨，其实是反映了他如果某

34、位学生有语言上的这种不严谨，其实是反映了他如果某位学生有语言上的这种不严谨，其实是反映了他思维上的不严谨。思维上的不严谨。思维上的不严谨。思维上的不严谨。第23页/共31页第二十三页，共31页。n n简洁简洁n n 数学语言要求简单干净。数学语言要求简单干净。数学语言和自然语言不同。自然数学语言和自然语言不同。自然语言允许同义反复，为了描述某语言允许同义反复，为了描述某一事物的美，往往用一大串意义一事物的美，往往用一大串意义相近的词汇或并列的语句；为了相近的词汇或并列的语句；为了形容一个人的聪明智慧，也常常形容一个人的聪明智慧，也常常用一大串意义相近的词汇或并列用一大串意义相近的词汇或并列的语

35、句。的语句。n n但数学语言则要求用词最少、但数学语言则要求用词最少、不允许同义反复。不允许同义反复。n n在数学表达中，当一个语句被在数学表达中，当一个语句被另一些语句蕴含着的时候，它就另一些语句蕴含着的时候，它就是多余的，一定要去掉这个语句。是多余的，一定要去掉这个语句。n n如果可以用三句话把意思如果可以用三句话把意思(y s)表达清楚，就最好不要用四句表达清楚，就最好不要用四句话。话。n n如果可以有甲、乙两种方式叙如果可以有甲、乙两种方式叙述同一个意思述同一个意思(y s)，那么就最，那么就最好选择用语较少的那种方式。好选择用语较少的那种方式。第24页/共31页第二十四页，共31页。

36、n n规范规范n n 自然语言当然也有约定自然语言当然也有约定俗成的规范性；而数学语言则俗成的规范性；而数学语言则更加鲜明地表现出更加鲜明地表现出“规范规范”的的特点。特点。n n一句话说出来，不能有任何一句话说出来，不能有任何(rnh)歧义。歧义。n n一个词作为一个概念被定义一个词作为一个概念被定义以后，这个定义就要随着这个以后，这个定义就要随着这个词贯彻始终，不能再有任何词贯彻始终，不能再有任何(rnh)改变。改变。第25页/共31页第二十五页，共31页。一一一一些些些些数数数数学学学学语语语语言言言言中中中中常常常常用用用用的的的的词词词词语语语语，都都都都有有有有其其其其特特特特定定

37、定定的的的的涵涵涵涵义义义义，长长长长期期期期以来形成了规范。以来形成了规范。以来形成了规范。以来形成了规范。例例例例如如如如“任任任任一一一一个个个个”，“有有有有一一一一个个个个”，“没没没没有有有有”表表表表达达达达的的的的是是是是三三三三种种种种不同的意思；不同的意思；不同的意思；不同的意思；“最最最最多多多多”、“至至至至少少少少”、“全全全全都都都都”表表表表达达达达的的的的也也也也是是是是三三三三种种种种不不不不同同同同的的的的意思；意思；意思；意思；“必必必必定定定定(bdng)”(bdng)”，“可可可可能能能能”、“不不不不可可可可能能能能”表表表表达达达达的的的的也也也也

38、是是是是三种不同的意思；三种不同的意思；三种不同的意思；三种不同的意思；“开开开开区区区区间间间间”、“闭闭闭闭区区区区间间间间”、“左左左左开开开开右右右右闭闭闭闭的的的的区区区区间间间间”表表表表达达达达的也是三种不同的意思。的也是三种不同的意思。的也是三种不同的意思。的也是三种不同的意思。再再再再例例例例如如如如，“包包包包含含含含”是是是是用用用用来来来来说说说说明明明明两两两两个个个个集集集集合合合合之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系，“属属属属于于于于”是是是是用用用用来来来来说说说说明明明明元元元元素素素素与与与与集集集集合合合合之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系，“

39、包包包包含含含含”与与与与“属于属于属于属于”不能混用。不能混用。不能混用。不能混用。第26页/共31页第二十六页，共31页。“”“”语语语语言言言言、集集集集合合合合论论论论语语语语言言言言、公公公公理理理理化化化化语语语语言言言言都都都都是是是是在在在在不不不不同同同同历历历历史史史史时时时时期期期期产产产产生生生生(ch(ch nshng)nshng)的的的的数数数数学学学学语语语语言言言言，他他他他们们们们在在在在数学发展史上都发挥了很大的作用。数学发展史上都发挥了很大的作用。数学发展史上都发挥了很大的作用。数学发展史上都发挥了很大的作用。特特特特别别别别是是是是集集集集合合合合论论论

40、论语语语语言言言言、公公公公理理理理化化化化语语语语言言言言，现现现现在在在在已已已已经经经经成成成成为为为为数学语言的核心部分和公用形式，尤其值得重视。数学语言的核心部分和公用形式，尤其值得重视。数学语言的核心部分和公用形式，尤其值得重视。数学语言的核心部分和公用形式，尤其值得重视。第27页/共31页第二十七页，共31页。语语语语言言言言是是是是思思思思维维维维的的的的反反反反映映映映。数数数数学学学学语语语语言言言言的的的的发发发发展展展展反反反反映映映映了了了了人人人人类类类类理理理理性性性性思思思思维维维维的的的的发发发发展展展展，它它它它也也也也是是是是数数数数学学学学对对对对人人人

41、人类类类类文文文文明明明明的的的的重重重重大大大大贡献之一。贡献之一。贡献之一。贡献之一。作作作作为为为为一一一一个个个个大大大大学学学学生生生生，不不不不但但但但应应应应该该该该重重重重视视视视数数数数学学学学知知知知识识识识、数数数数学学学学方方方方法法法法、数数数数学学学学思思思思想想想想的的的的学学学学习习习习，同同同同时时时时也也也也应应应应该该该该重重重重视视视视数数数数学学学学语语语语言的学习和训练。言的学习和训练。言的学习和训练。言的学习和训练。现现现现在在在在的的的的大大大大学学学学生生生生，在在在在作作作作业业业业(zuy)(zuy)中中中中习习习习惯惯惯惯性性性性地地地地

42、写写写写出出出出“等等等等号号号号成成成成立立立立”、“问问问问题题题题得得得得证证证证”等等等等词词词词语语语语的的的的大大大大有有有有人人人人在在在在；其其其其实实实实，相相相相应应应应的的的的规规规规范范范范数数数数学学学学语语语语言言言言应应应应该该该该是是是是“等等等等式式式式成成成成立立立立”和和和和“命题得证命题得证命题得证命题得证”。第28页/共31页第二十八页，共31页。语言的功夫，依赖仔细的推敲及反复的训练。语言的功夫，依赖仔细的推敲及反复的训练。语言的功夫，依赖仔细的推敲及反复的训练。语言的功夫，依赖仔细的推敲及反复的训练。数数数数学学学学语语语语言言言言的的的的训训训训

43、练练练练，包包包包括括括括口口口口头头头头表表表表达达达达和和和和书书书书面面面面表表表表达达达达两两两两种种种种形形形形式式式式，希希希希望望望望大大大大家家家家自自自自觉觉觉觉地地地地加加加加强强强强训训训训练练练练数数数数学学学学语语语语言言言言的的的的意识。意识。意识。意识。口口口口头头头头表表表表达达达达的的的的训训训训练练练练，可可可可以以以以通通通通过过过过同同同同学学学学间间间间讨讨讨讨论论论论问问问问题题题题、课堂发言、课堂报告来进行；课堂发言、课堂报告来进行；课堂发言、课堂报告来进行；课堂发言、课堂报告来进行；书书书书面面面面表表表表达达达达的的的的训训训训练练练练，主主主

44、主要要要要通通通通过过过过认认认认真真真真完完完完成成成成数数数数学学学学作作作作业业业业来来来来进进进进行行行行，也也也也可可可可以以以以通通通通过过过过撰撰撰撰写写写写读读读读书书书书报报报报告告告告和和和和撰撰撰撰写写写写小小小小论论论论文来进行。文来进行。文来进行。文来进行。善善善善 于于于于 熟熟熟熟 练练练练 地地地地 用用用用 明明明明 晰晰晰晰、严严严严 谨谨谨谨、简简简简 洁洁洁洁、规规规规 范范范范(gufn)(gufn)的的的的数数数数学学学学语语语语言言言言进进进进行行行行正正正正确确确确的的的的口口口口头头头头表表表表达达达达和和和和书书书书面面面面表表表表达达达达，是是是是数数数数学学学学能能能能力力力力的的的的重重重重要要要要方方方方面面面面，也也也也是是是是数数数数学学学学素素素素养的重要方面。养的重要方面。养的重要方面。养的重要方面。第29页/共31页第二十九页，共31页。第30页/共31页第三十页，共31页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第31页/共31页第三十一页，共31页。