数学物理方法PPT学习教案.pptx

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1、数学数学(shxu)物理方法物理方法第一页，共69页。称级数称级数(j sh)复数复数(fsh)项级数和项级数和前前n 项和项和若若有限有限(yuxin)收敛于收敛于F这时这时也收敛也收敛3.1 3.1 复数项级数复数项级数1 1、复数项级数复数项级数第1页/共69页第二页，共69页。科西收敛科西收敛(shulin)判据：判据：(级数收敛级数收敛(shulin)必要条件必要条件)对于任意对于任意(rny)0,有有N，使，使得得nN时时p 为任意为任意(rny)正正整数整数绝对收敛：绝对收敛：收敛收敛2 2、复变函数项级数、复变函数项级数各项都是各项都是z 的函数的函数对于对于B（或（或l 上）

2、任意上）任意z,给定给定 0,有有N，使得，使得nN()时时称为级数在称为级数在B上一致收敛上一致收敛此时，若每项连续，则此时，若每项连续，则和连续和连续第2页/共69页第三页，共69页。令：令：1 1、比值、比值(bzh)(bzh)判别法判别法3.2 3.2 幂级数幂级数讨论讨论(toln(toln)幂级数幂级数为以为以z0 为中心为中心(zhngxn)的幂级数的幂级数考虑考虑绝对收敛绝对收敛发散发散绝对收敛绝对收敛第3页/共69页第四页，共69页。2 2、根值判别、根值判别(pnbi)(pnbi)法法发散发散(fsn)绝对绝对(judu)收收敛敛发散发散绝对收敛绝对收敛发散发散第4页/共6

3、9页第五页，共69页。3 3、收敛、收敛(shulin)(shulin)圆与收敛圆与收敛(shulin)(shulin)半径半径的收敛的收敛(shulin)半径半径例：求幂级数例：求幂级数以以z0为圆心半径为为圆心半径为R的圆内级数绝对收敛的圆内级数绝对收敛(shulin)，这个圆称为收敛这个圆称为收敛(shulin)圆。圆。R为收敛为收敛(shulin)半半径径事实上：事实上：解：解：收敛圆：收敛圆：以以0为圆心为圆心半径为半径为1如如第5页/共69页第六页，共69页。的收敛的收敛(shulin)半径半径例：求幂级数例：求幂级数公比公比(n b)为为解：解：收敛圆：收敛圆：以以0为圆心为圆心

4、(yunxn)半径为半径为1如如的的收敛半径收敛半径例：求幂级数例：求幂级数解：解：第6页/共69页第七页，共69页。定理：设定理：设f(z)在以在以z0为圆心的圆为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意内解析，则对圆内的任意(rny)z点，点，f(z)可展开为可展开为其中其中(qzhng)：3.3 3.3 泰勒级数泰勒级数(j sh)(j sh)展开展开CR1为为圆圆CR内包含内包含z且与且与CR同同心的圆心的圆CR1CR第7页/共69页第八页，共69页。证：证：cauch公式公式(gngsh)CRCR1第8页/共69页第九页，共69页。而由而由cauch公式公式(gngsh)第9页/共69页第

5、十页，共69页。展开展开(zhn ki)例：在例：在z0=0邻域邻域(ln y)上把上把公比公比(n b)为为解：解：第10页/共69页第十一页，共69页。展开展开(zhn ki)例：在例：在z0=0邻域邻域(ln y)上把上把解：解：和和第11页/共69页第十二页，共69页。展开展开(zhn ki)例：在例：在z0=0邻域邻域(ln y)上把上把解：解：展开展开(zhn ki)例：在例：在z0=0邻域上把邻域上把第12页/共69页第十三页，共69页。展开展开(zhn ki)例：在例：在z0=1邻域邻域(ln y)上把上把解：解：第13页/共69页第十四页，共69页。第14页/共69页第十五页

6、，共69页。3.4 3.4 解析解析(ji x)(ji x)沿拓沿拓比较比较(bjio)两两个函数：个函数：除除 z=1 以外以外(ywi)设某个区域设某个区域b 上的解析函数上的解析函数f(z)，找出另一函数找出另一函数F(z),它在含有它在含有b 的一个较大的区域的一个较大的区域B上解析，且在区域上解析，且在区域b上等于上等于f(z)和和两者在较小区域等同两者在较小区域等同bB称称F(z)为为 f(z)的的解析沿拓解析沿拓1 1、解析沿拓概念、解析沿拓概念第15页/共69页第十六页，共69页。设设f(z)，F(z)在某个区域在某个区域B上解析上解析(ji x)，若在，若在B的任一子区域的任

7、一子区域b 中中f(z)F(z)，则在整个区域，则在整个区域B上必有上必有f(z)F(z)。2 2、解析、解析(ji x)(ji x)沿拓唯一性概念沿拓唯一性概念第16页/共69页第十七页，共69页。3.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开(zhn ki)(zhn ki)考虑考虑(kol)如下幂如下幂级数级数正幂部分收敛正幂部分收敛(shulin)半径为半径为R1负幂部分，记负幂部分，记 =1/(z-z0),级数级数的收敛圆半径为的收敛圆半径为 1/R2=即在即在 z-z0 =R2圆外圆外收敛圆收敛圆第17页/共69页第十八页，共69页。在圆环在圆环 R2 z-z0 R1内绝对一内绝对一致致(

8、yzh)收敛圆收敛圆定理定理(dngl)：设：设f(z)在圆环在圆环 R2 z-z0 0),可令可令 n=l+h 第34页/共69页第三十五页，共69页。令令-h=m,n=l 第35页/共69页第三十六页，共69页。Jm为为m阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数(hnsh)第36页/共69页第三十七页，共69页。3.6 3.6 孤立孤立(gl)(gl)奇点的分类奇点的分类f(z)在某点在某点z0 不可不可(bk)导，而在导，而在z0的任意小邻域内处处可导，的任意小邻域内处处可导，称称z0为为f(z)的孤立奇点的孤立奇点f(z)正幂部分称为解析正幂部分称为解析(ji x)部分，负幂部分称为主要部部分，负幂部

9、分称为主要部分分(z-z0)-1的系数的系数a-1称为称为f(z)在在 奇点奇点z0的的留数留数若若称称z0为为f(z)的的可去奇点可去奇点第37页/共69页第三十八页，共69页。若若称称z0为为f(z)的本性的本性(bnxng)奇点奇点m为为z0的阶，一阶极点的阶，一阶极点(jdin)简称为单简称为单极点极点(jdin)第38页/共69页第三十九页，共69页。第四章第四章 留数定理留数定理(dngl)(dngl)4.2 4.2 利用留数定理计算实变函数利用留数定理计算实变函数(hnsh)(hnsh)定定积分积分4.1 4.1 留数定理留数定理(dngl)(dngl)第39页/共69页第四十页

10、，共69页。4.1 4.1 留数定理留数定理(dngl)(dngl)若若l所围区域所围区域(qy)解解析，则析，则考虑考虑(kol)积分积分若若l所围区域包围一个奇所围区域包围一个奇点点z0，展开，展开f(z)，则则第40页/共69页第四十一页，共69页。由由(l不包围不包围(bowi)(l包围包围(bowi)a-1称为称为(chn wi)f(z)在在 奇点奇点z0的留数的留数第41页/共69页第四十二页，共69页。若若l所围区域所围区域(qy)包围包围n个奇点个奇点b1 b2 b3.，bn,则则称为称为(chn wi)(chn wi)留数定理留数定理如何如何(rh)求求a-1？若若z0为为单

11、极点单极点第42页/共69页第四十三页，共69页。若若第43页/共69页第四十四页，共69页。若若z0为为f(z)的的m阶极点阶极点(jdin)m阶极点阶极点(jdin)单极点单极点(jdin)留数定理留数定理第44页/共69页第四十五页，共69页。求求 Resf(0)例：例：解：解：第45页/共69页第四十六页，共69页。求求 Resf(1)例：例：解：解：第46页/共69页第四十七页，共69页。的极点的极点(jdin)，求留数，求留数例：确定例：确定(qudng)函数函数解：解：第47页/共69页第四十八页，共69页。例：计算回路例：计算回路(hul)积分积分解：解：被积函数被积函数(hn

12、sh)的奇点为的奇点为单位单位(dnwi)圆圆 z=1 内的奇点内的奇点为为第48页/共69页第四十九页，共69页。第49页/共69页第五十页，共69页。4.2 4.2 利用利用(lyng)(lyng)留数定理计算实变函数留数定理计算实变函数定积分定积分(1)、无穷、无穷(wqing)积分积分若若f(z)在实轴上无奇点，在上半平面在实轴上无奇点，在上半平面(pngmin)除有限个除有限个孤立奇点孤立奇点bk(k=1,2,n)外处处解析；在包括实轴在内的外处处解析；在包括实轴在内的上半平面上半平面(pngmin)中，当中，当z 无穷时，无穷时，zf(z)一致趋于一致趋于零，则零，则o-RRCR则

13、则至少高于至少高于 两阶两阶第50页/共69页第五十一页，共69页。证明证明(zhngmng)：o-RRCR第51页/共69页第五十二页，共69页。例：计算例：计算(j sun)积分积分解：解：上半平面上半平面(pngmin)奇点奇点为为z0=i第52页/共69页第五十三页，共69页。例：计算例：计算(j sun)积分积分解：解：被积函数被积函数(hnsh)的奇点为的奇点为上半平面上半平面(pngmin)为为n阶极点阶极点z0=in为整数为整数第53页/共69页第五十四页，共69页。第54页/共69页第五十五页，共69页。(2)、三角函数、三角函数(snjihnsh)有理积分积分有理积分积分若

14、若R(cos,sin)为为 cos,sin 的有理函数的有理函数(yu l hn sh)，且在，且在0，2 上连续，则上连续，则其中其中(qzhng)表示表示f(z)在单位圆内所有在单位圆内所有奇点的留数和奇点的留数和第55页/共69页第五十六页，共69页。证明证明(zhngmng)：第56页/共69页第五十七页，共69页。例：计算例：计算(j sun)积分积分解：解：令令有两个有两个(lin)一阶极点一阶极点(a 1)有两个有两个(lin)一阶一阶极点极点第58页/共69页第五十九页，共69页。为单极点为单极点(jdin)，在圆内在圆内第59页/共69页第六十页，共69页。例：计算例：计算(

15、j sun)积分积分解：解：令令(a1)有一个有一个(y)奇点奇点z=0,为为2n+1阶极阶极点点第60页/共69页第六十一页，共69页。第61页/共69页第六十二页，共69页。第62页/共69页第六十三页，共69页。(3)、含三角函数、含三角函数(snjihnsh)的无穷积分的无穷积分其中其中(qzhng)F(z)为偶数，为偶数，G(x)为奇数为奇数若若f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个孤立奇点在实轴上无奇点，在上半平面除有限个孤立奇点bk(k=1,2,n)外处处解析外处处解析(ji x)；在包括实轴在内的上半平面中，；在包括实轴在内的上半平面中，当当z 无穷时，无穷时，f(z)一致

16、趋于零，且一致趋于零，且m0则则第63页/共69页第六十四页，共69页。证明证明(zhngmng)：o-RRCR第64页/共69页第六十五页，共69页。o-RRCR由约定由约定(yudng)当引理当引理第65页/共69页第六十六页，共69页。o-RRCR由约定由约定(yudng)当引理当引理z 无穷无穷(wqing)时，时，f(z)在包括实轴在内的上半平在包括实轴在内的上半平面中，一致趋于零，则面中，一致趋于零，则第66页/共69页第六十七页，共69页。例：计算例：计算(j sun)积分积分解：解：有两个有两个(lin)一阶一阶极点极点上半平面上半平面(pngmin)极点极点 z=ai第67页/共69页第六十八页，共69页。例：计算例：计算(j sun)积分积分解：解：有两个有两个(lin)一阶极一阶极点点上半平面上半平面(pngmin)极点极点 z=ai第68页/共69页第六十九页，共69页。