数理方程与特殊函数钟尔杰总复习学习教案.pptx

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1、会计学1数理方程与特殊函数数理方程与特殊函数(hnsh)钟尔杰总复钟尔杰总复习习第一页，共132页。5.1 Fourier5.1 Fourier变换变换(binhun)(binhun)一、Fourier变换(binhun)的定义定理定理1 若若 ,且在一个周期内只有有限且在一个周期内只有有限个第一类间断个第一类间断(jindun)点与极值点，则点与极值点，则其中其中 第1页/共132页第二页，共132页。定义定义(dngy)1 称为称为f(x)的的Fourier变换，变换，f(x)称称为为 的的Fourier逆变换。逆变换。Fourier变换有多种形式。这些形式的差异主要体现在积分号前的系数(

2、xsh)以及被积函数中指数函数的指数符号。本书采用工程应用中典型的定义形式，这样的Fourier变换许多性质也可以从物理上得到解释。第2页/共132页第三页，共132页。二、正（余）弦变换(binhun)的定义定义定义(dngy)2 Fourier余弦变换是指余弦变换是指定义定义(dngy)3 Fourier逆余弦变换是指逆余弦变换是指第3页/共132页第四页，共132页。定义定义(dngy)4 Fourier正弦变换是指正弦变换是指定义定义(dngy)5 Fourier逆正弦变换是指逆正弦变换是指第4页/共132页第五页，共132页。三、Fourier变换(binhun)的基本性质性质性质(

3、xngzh)1 Fourier变换是一个线性变换：对于任意常数变换是一个线性变换：对于任意常数 、与任意函数与任意函数 、有有定义定义(dngy)6 设设 都满足都满足Fourier变换的条件，则变换的条件，则称称为为 的卷积。记为的卷积。记为第5页/共132页第六页，共132页。性质性质2 的卷积的的卷积的Fourier变换变换(binhun)等于等于 的的Fourier变换变换(binhun)的乘积：的乘积：第6页/共132页第七页，共132页。性质性质(xngzh)3 乘积的乘积的Fourier变换等于它们各自的变换等于它们各自的Fourier变换的卷积再乘以系数变换的卷积再乘以系数 ，

4、即，即 性质性质(xngzh)4 第7页/共132页第八页，共132页。性质性质(xngzh)5 性质性质6 设为任意设为任意(rny)常常数，则数，则 性质性质(xngzh)7 设设 为任意常数，则为任意常数，则 性质性质8 第8页/共132页第九页，共132页。性质性质(xngzh)9 性质性质(xngzh)10 性质性质(xngzh)11 性质性质12 第9页/共132页第十页，共132页。四、n维Fourier变换(binhun)第10页/共132页第十一页，共132页。n维Fourier变换(binhun)具有的性质 第11页/共132页第十二页，共132页。五、Fourier变换在

5、常微分方程(wi fn fn chn)中的应用例3 求解(qi ji)第12页/共132页第十三页，共132页。5.2 Fourier5.2 Fourier变换变换(binhun)(binhun)的应用的应用Fourier变换法求解(qi ji)步骤为：（1）对定解问题作Fourier变换(binhun)；（2）求解像函数；（3）对像函数作Fourier逆变换(binhun)。第13页/共132页第十四页，共132页。5.3 Laplace5.3 Laplace变换变换(binhun)(binhun)一、Laplace变换(binhun)的定义定义定义(dngy)1 积分变换积分变换 称为称为

6、 的的Laplace变换，记作变换，记作 称为称为 Laplace逆变换，逆变换，记记作作第14页/共132页第十五页，共132页。二、Laplace变换的存在(cnzi)定理定理定理1 若若f(x)函数满足下述条件：函数满足下述条件：（1）当）当x0上的解为第63页/共132页第六十四页，共132页。推论推论2 Laplace方程方程(fngchng)Dirichlet问题问题在半空间(kngjin)z0上的解为第64页/共132页第六十五页，共132页。二、圆和半平面(pngmin)上的Green函数定理定理3 平面平面(pngmin)Poisson方程方程Dirichlet问题问题的解为

7、第65页/共132页第六十六页，共132页。推论推论3 平面平面Laplace方程方程(fngchng)Dirichlet问题问题的解为第66页/共132页第六十七页，共132页。定理定理(dngl)4 上半平面上半平面Poisson方程方程Dirichlet问题问题的解的表达式为第67页/共132页第六十八页，共132页。推论推论4 上半平面上半平面(pngmin)Laplace方程方程Dirichlet问题问题的解的表达式为第68页/共132页第六十九页，共132页。三、第一(dy)象限上的Green函数平面第一象限上的Green函数(hnsh)相当于求解定解问题第69页/共132页第七十

8、页，共132页。6.6 Laplace6.6 Laplace方程方程(fngchng)(fngchng)与热传导方程与热传导方程(fngchng)(fngchng)的基本解的基本解一、Lu=0型方程(fngchng)的基本解定义定义1 方程方程 的解称为方程的解称为方程 的的Green函数，又称为基本解。函数，又称为基本解。放置于坐标放置于坐标(zubio)原点的电量为的点电荷的场的势原点的电量为的点电荷的场的势函数满足函数满足Poisson方程：方程：第70页/共132页第七十一页，共132页。定义定义2 方程方程 的解称为的解称为Poisson方程方程 的基本解。的基本解。定理定理1 若若

9、U是一个基本解，是一个基本解，u是相应齐次方程是相应齐次方程 的任一解，则的任一解，则 仍是基本解，而且仍是基本解，而且(r qi)方程的全体基本解都可以表示成这方程的全体基本解都可以表示成这种形式。种形式。定理定理2 若若 是连续函数，是连续函数，满足方程满足方程 ，则卷积，则卷积第71页/共132页第七十二页，共132页。二、Poisson方程(fngchng)的基本解定理定理3 空间空间(kngjin)Poisson方程的特解为方程的特解为其中(qzhng)，第72页/共132页第七十三页，共132页。三、热传导方程(fngchng)Cauchy问题的基本解定理(dngl)4 设 是连续

10、函数，且存在，则定解问题的解为第73页/共132页第七十四页，共132页。定理定理(dngl)5（1）一维热传导方程(fngchng)Cauchy问题的基本解为（2）二维热传导方程(fngchng)Cauchy问题的基本解为（3）三维热传导方程(fngchng)Cauchy问题的基本解为第74页/共132页第七十五页，共132页。四、热传导方程(fngchng)边值问题的基本解定义定义(dngy)3 定解问题定解问题 的解 称为(chn wi)的基本解。第75页/共132页第七十六页，共132页。定理定理(dngl)7 热传导方程边值问题热传导方程边值问题的解为第76页/共132页第七十七页，

11、共132页。6.7 6.7 波动方程波动方程(fngchng)(fngchng)的基本解的基本解一、波动方程(fngchng)Cauchy问题的基本解定义定义(dngy)1 定解问题定解问题的解 称为Cauchy问题第77页/共132页第七十八页，共132页。定理定理1 设设 都是连续函数，都是连续函数，都存在都存在(cnzi)，则，则Cauchy问题问题的解为第78页/共132页第七十九页，共132页。二、波动方程(fngchng)边值问题的基本解定义定义(dngy)2 定解问题定解问题的解 称为(chn wi)边值问题的基本解。第79页/共132页第八十页，共132页。定理定理(dngl)

12、3 设设 都是连续函数，则边都是连续函数，则边值问题值问题的解为第80页/共132页第八十一页，共132页。6.8 Poisson6.8 Poisson方程方程(fngchng)(fngchng)边值问题近似求法简介边值问题近似求法简介一、Ritz法定义定义1 称为称为(chn wi)极值问题的极值问题的EulerLagrange方程。方程。第81页/共132页第八十二页，共132页。二、Ritz法Dirichlet定理(dngl)定理定理1（Dirichlet）Laplace方程第三方程第三(d sn)边值问题边值问题的解，使泛函取得最小值；反之，使泛函取得的解，使泛函取得最小值；反之，使泛

13、函取得最小值的函数最小值的函数 ，一定是，一定是Laplace方程第三方程第三(d sn)边值问题的解。边值问题的解。第82页/共132页第八十三页，共132页。7.1 Bessel方程及其幂级数解方程及其幂级数解7.2 Bessel函数的母函数及递推公式函数的母函数及递推公式7.3 Bessel函数的正交性及其应用函数的正交性及其应用(yngyng)7.4 Bessel函数的其他类型函数的其他类型 第七章第七章 Bessel Bessel函数函数(hnsh)(hnsh)第83页/共132页第八十四页，共132页。7.1 Bessel7.1 Bessel方程方程(fngchng)(fngchn

14、g)及其幂级数解及其幂级数解一、Bessel方程(fngchng)的引出例1 设有一个半径为的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律。例2 在圆柱内传播的电磁波问题。设沿方向均匀的电磁波在底半径为1的圆柱域内传播，在侧面沿法向方向导数为零，从静止状态开始(kish)传播，初始速度为。求其传播规律（假设对极角对称）。第84页/共132页第八十五页，共132页。二、Bessel方程(fngchng)的求解定义定义(dngy)1 Neumann函数函数称为(chn wi)第二类Bessel函数。这个无穷级数所确定的函数，称为阶第一类Besse

15、l函数，记作第85页/共132页第八十六页，共132页。7.2 Bessel7.2 Bessel函数函数(hnsh)(hnsh)的母函数的母函数(hnsh)(hnsh)及递推公式及递推公式一、Bessel函数(hnsh)的母函数(hnsh)（生成函数(hnsh)）定义定义(dngy)1 函数函数 称为称为Bessel函数的母函数。函数的母函数。第86页/共132页第八十七页，共132页。二、Bessel函数(hnsh)的积分表达式第87页/共132页第八十八页，共132页。三、Bessel函数(hnsh)的递推公式第二类Bessel函数也具有(jyu)与第一类Bessel函数相同的递推公式：第

16、88页/共132页第八十九页，共132页。四、渐近公式、衰减振荡(zhndng)性和零点Bessel函数(hnsh)的渐近公式 零点(ln din)的近似公式的无穷多个实零点是关于原点对称分布的，必有无穷多个正零点。第89页/共132页第九十页，共132页。1 有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在轴上关于原点是对称分布(fnb)的。因而，必有无穷多个正的零点；2 的零点与 的零点是彼此相间分布(fnb)的，即 的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个 的零点；3以 表示 的正零点，则 当时无限地接近于 ，即 几乎是以2 为周期的周期函数。第90页/共132页第九十一页，共132页。7.3

17、 Bessel7.3 Bessel函数函数(hnsh)(hnsh)的正交性及其应用的正交性及其应用一、Bessel函数(hnsh)的正交性定理定理(dngl)1 Bessel函数系函数系 具有正交性：具有正交性：第91页/共132页第九十二页，共132页。定义定义1 定积分定积分 的平方根，称为的平方根，称为(chn wi)Bessel函数函数的模值。的模值。定理定理2 若若 在区间在区间0,R至多有有限个跳跃至多有有限个跳跃型间断点，则型间断点，则f(x)在区间（在区间（0,R）内在）内在(nizi)连续点连续点处的处的Bessel展开级数收敛于该点的函数值，在间断点收展开级数收敛于该点的函

18、数值，在间断点收敛于该点左右极限的平均值。敛于该点左右极限的平均值。第92页/共132页第九十三页，共132页。二、Bessel函数(hnsh)应用举例例1 设 是方程的 所有(suyu)正根，试将函数展开成Bessel函数 的级数。例2 半径为b，高为h的均匀圆柱体，下底和侧面保持为零度，上底温度分布(fnb)为 。求圆柱内的稳定温度分布(fnb)。第93页/共132页第九十四页，共132页。7.4 Bessel7.4 Bessel函数函数(hnsh)(hnsh)的其他类型的其他类型一、第三类Bessel函数(hnsh)第三类Bessel函数又名Hankel函数，它是由下列公式(gngsh)

19、来定义的：，第94页/共132页第九十五页，共132页。二、虚宗量的Bessel函数(hnsh)关于第二类虚宗量Bessel函数 定义(dngy)如下：（1）当是非(shfi)整数时（2）当为整数时 第95页/共132页第九十六页，共132页。三、Kelvin函数(hnsh)（Thomson函数(hnsh)）第96页/共132页第九十七页，共132页。四、球Bessel函数(hnsh)不论是对热传导方程(fngchng)或对波动方程(fngchng)分离变量，都会导出所谓的球Bessel方程(fngchng)第97页/共132页第九十八页，共132页。8.1 Legendre方程及其幂级数解方

20、程及其幂级数解8.2 Legendre多项式的母函数及递推公式多项式的母函数及递推公式8.3 Legendre多项式的展开及其应用多项式的展开及其应用(yngyng)8.4 连带连带Legendre多项式多项式 第八章第八章 LegendreLegendre多项式多项式第98页/共132页第九十九页，共132页。8.1 Legendre8.1 Legendre方程方程(fngchng)(fngchng)及其幂级数解及其幂级数解一、Legendre方程(fngchng)的引出在球坐标系中Laplace方程(fngchng)为第99页/共132页第一百页，共132页。二、Legendre方程(fn

21、gchng)的求解第100页/共132页第一百零一页，共132页。三、Legendre多项式1Legendre多项式其中(qzhng)第101页/共132页第一百零二页，共132页。2Legendre多项式的微分(wi fn)表达式Rodrigues公式定理定理1 满足满足(mnz)Rodrigues公式公式第102页/共132页第一百零三页，共132页。3Legendre多项式的积分(jfn)表达式定理定理2 满足满足(mnz)积分表达式积分表达式第103页/共132页第一百零四页，共132页。8.2 Legendre8.2 Legendre多项式的母函数多项式的母函数(hnsh)(hnsh

22、)及递推公式及递推公式一、Legendre多项式的母函数(hnsh)称为(chn wi)Legendre多项式的母函数。第104页/共132页第一百零五页，共132页。二、Legendre多项式的递推公式(gngsh)定理定理1 Legendre多项式满足以下多项式满足以下(yxi)的递推公式：的递推公式：第105页/共132页第一百零六页，共132页。8.3 Legendre8.3 Legendre多项式的展开多项式的展开(zhn ki)(zhn ki)及其应用及其应用一、Legendre多项式的正交性定理定理1 Legendre多项式序列多项式序列(xli)在区间在区间-1,1上正交，即上

23、正交，即第106页/共132页第一百零七页，共132页。二、Legendre多项式的归一性定理定理(dngl)2 Legendre多项式满足多项式满足第107页/共132页第一百零八页，共132页。三、展开(zhn ki)定理的叙述定理定理3 若在区间若在区间1,1至多有有限个跳跃型间断至多有有限个跳跃型间断(jindun)点，则点，则f(x)在区间在区间(1,1)内连续点处的内连续点处的Legendre多项式展开级数收敛于该点的函数值，在多项式展开级数收敛于该点的函数值，在间断间断(jindun)点处收敛于该点左右极限的平均值。点处收敛于该点左右极限的平均值。第108页/共132页第一百零九

24、页，共132页。8.4 8.4 连带连带(lindi)Legendre(lindi)Legendre多项式多项式一、连带(lindi)Legendre多项式的定义连带(lindi)Legendre方程第109页/共132页第一百一十页，共132页。二、连带(lindi)Legendre多项式的正交性和归一性第110页/共132页第一百一十一页，共132页。三、Laplace方程(fngchng)在球形区域上的Dirichlet问题第111页/共132页第一百一十二页，共132页。9.1 保角变换及其性质保角变换及其性质(xngzh)9.2 保角变换降维法保角变换降维法9.3 Laplace方程

25、的保角变换解法方程的保角变换解法 第九章第九章 保角变换保角变换(binhun)(binhun)法法第112页/共132页第一百一十三页，共132页。9.1 9.1 保角变换保角变换(binhun)(binhun)及其性质及其性质区域D内第一类保角变换(binhun)有如下性质：（1）在z平面上区域D内任意一个以点为中心的无穷小圆周，当只考虑 的线性部分时，对应于w平面上一个以 为中心的圆周，且其环绕(hunro)的方向与原圆周相同。（2）变换具有保角性，在 连续映射之下，若则通过已知点 的任两条有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变。（3）变换具有保形性。对于D内的第一类保角变换，若变换是

26、单叶的，即对于 ，有 ，则称是保形变换。9.1 9.1 保角变换及其性质保角变换及其性质第113页/共132页第一百一十四页，共132页。9.2 9.2 保角变换保角变换(binhun)(binhun)降维法降维法1保角变换(binhun)降维法有半无限大平板y0，在边界y=0上，处保持温度 。在 处温度保持为零度(ln d)。求平板上温度分布。第114页/共132页第一百一十五页，共132页。2保角变换(binhun)降维法一般定理定理定理1 如果如果 是是Laplace方程方程 的的解，那么当解，那么当 由一保角变换成一个由一保角变换成一个 的函数的函数(hnsh)，仍满足，仍满足Lapl

27、ace方程。方程。第115页/共132页第一百一十六页，共132页。9.3 Laplace9.3 Laplace方程的保角变换方程的保角变换(binhun)(binhun)解法解法经常要求一个二元的实函数在已知的区域中调和并满足已知区域的边界条件，也就是求解Laplace方程的问题。把复杂的边界化为简单边界，不妨利用保角变换法。前面已经(y jing)证明，一个Laplace方程的解经过保角变换后仍然是相应的Laplace方程的解。下面举例说明如何通过保角变换法来解Laplace方程。对于Laplace方程，可用分离变量法或解的积分公式来解决。但如果边界的形状比较复杂，分离变量法和积分公式用起

28、来都有困难，则常可用保角变换把某个（边界形状比较复杂）区域内的Laplace边值问题变换为某个新区域（边界形状比较简单，比如圆、上半平面或带形域等）的Laplace边值问题。第116页/共132页第一百一十七页，共132页。10.1 典型非线性方程典型非线性方程10.2 行波解行波解10.3 HopfCole变换变换10.4 逆散射逆散射(snsh)方法方法10.5 Bcklund变换变换 第十章第十章 非线性数学物理方程非线性数学物理方程(fngchng)(fngchng)简介简介第117页/共132页第一百一十八页，共132页。10.1 10.1 典型典型(dinxng)(dinxng)非

29、线性方程非线性方程定义定义(dngy)1定义定义(dngy)2 称为(chn wi)Burgers方程。称为KdV方程。第118页/共132页第一百一十九页，共132页。定义定义(dngy)3(dngy)3 称为(chn wi)KdVB方程。定义定义(dngy)4 称为KleinGordon方程。定义定义5 称为非线性Schrdinger方程或NLS方程。第119页/共132页第一百二十页，共132页。定义定义(dngy)6 称为(chn wi)KuramotoSivashinsky（KS）方程。定义定义(dngy)7 偏微分方程的行波解是指具有形式的解。第120页/共132页第一百二十一页，

30、共132页。10.2 10.2 行行 波波 解解一、Burgers方程(fngchng)的行波解Burgers方程(fngchng)的行波解：第121页/共132页第一百二十二页，共132页。三、SineGordon方程(fngchng)的行波解设SineGordon方程(fngchng)的行波解为 第122页/共132页第一百二十三页，共132页。二、KdV方程(fngchng)的行波解KdV方程(fngchng)的行波解为 第123页/共132页第一百二十四页，共132页。四、NLS方程(fngchng)的行波解NLS方程(fngchng)有一个非常简单的单频解第124页/共132页第一百

31、二十五页，共132页。10.3 Hopf10.3 Hopf ColeCole变换变换(binhun)(binhun)定理定理1 扩散方程扩散方程(fngchng)与与Burgers方程方程(fngchng)的解之间满足的解之间满足第125页/共132页第一百二十六页，共132页。定理定理(dngl)2 若若 是线性方程是线性方程 与与的解，则的解，则是KdV方程(fngchng)的解。第126页/共132页第一百二十七页，共132页。定理定理(dngl)3 若若 是线性方程是线性方程与与 的解，则的解，则 是KdVB方程(fngchng)的解。第127页/共132页第一百二十八页，共132页。

32、10.4 10.4 逆散射逆散射(snsh)(snsh)方法方法求解KdV方程的Cauchy问题的逆散射(snsh)法可以归纳为：（1）一维Schrdinger方程在无穷维空间的特征值问题及相应系数；（2）确定t=0时散射(snsh)信息，归纳得出任意时刻的散射(snsh)信息，得到 ；（3）由 ，求得 。第128页/共132页第一百二十九页，共132页。10.5 B10.5 Bcklundcklund变换变换(binhun)(binhun)1不同(b tn)方程之间的Bcklund变换设 分别为非线性偏微分方程与线性偏微分方程，T,K是微分算子。若存在(cnzi)微分算子P,Q使下面方程组成立：则称方程组为Bcklund变换（u,v可以互换）。第129页/共132页第一百三十页，共132页。2自Bcklund变换(binhun)设 是同一个非线性方程(fngchng)的不同解。若存在微分算子P,Q使下面方程(fngchng)组成立：则称方程组为自Bcklund变换(binhun)。第130页/共132页第一百三十一页，共132页。第131页/共132页第一百三十二页，共132页。