热力学与统计物理学第八讲学习教案.pptx

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1、会计学1热力学与统计热力学与统计(tngj)物理学第八讲物理学第八讲第一页，共32页。第八讲 Bose统计(tngj)和Fermi统计(tngj)理论一、Bose分布(fnb)Bose系统(xtng)的微观状态数为：利用高等数学求极值的方法，再加上拉氏乘子法就可求得Bose系统 的最概然分布.对上式取对数，得：设因而且可用近似式：即有令有的变化，将有的变化，使为极大的分布，必使=0，有但各不是任意的，必须满足条件：第1页/共32页第二页，共32页。第八讲 Bose统计(tngj)和Fermi统计(tngj)理论即得Bose分布(fnb)为：其中、拉氏乘子由以下条件(tiojin)确定：用拉氏乘

2、子和乘这两个式子，并从中减去，得：根据拉氏乘子法原理，上式中每一个的系数都必须为零，有Bose系统中粒子的最概然分布。第2页/共32页第三页，共32页。第八讲 Bose统计(tngj)和Fermi统计(tngj)理论二、Fermi分布(fnb)Fermi系统(xtng)的微观状态数为：利用高等数学求极值的方法，再加上拉氏乘子法就可求得Fermi系统 的最概然分布Fermi分布为：其中、拉氏乘子由以下条件确定：当满足非简并条件 时，Bose分布和Fermi分布都过渡到Boltzmann 分布第3页/共32页第四页，共32页。第八讲 Bose统计(tngj)和Fermi统计(tngj)理论内容：从

3、量子统计(tngj)的最概然出发，给出热力学参量的表达式1、Bose系统(xtng)系统的总粒子数为：引入配分函数取对数：则系统的总粒子数用配分函数表示为：第4页/共32页第五页，共32页。第八讲 Bose统计(tngj)和Fermi统计(tngj)理论下面(xi mian)从Bose分布出发导出热力学量的表达式（1）内能(ni nn)（2）广义力通过 可将U表示为：因为外界对系统的广义作用力Y是 的统计平均值，通过 可将Y表示为：特例：第5页/共32页第六页，共32页。第八讲 Bose统计(tngj)和Fermi统计(tngj)理论（3）熵根据和得：因为是、y的函数，其全微分为：故得：由上式

4、可知，是（dU-Ydy）的积分(jfn)因子，而由热力学第一定律可知：比较(bjio)可知：有积分因子1/T对于闭系，所以上式简化为：第6页/共32页第七页，共32页。第八讲 Bose统计(tngj)和Fermi统计(tngj)理论所以(suy)积分(jfn)得：将代入上式再与Bose分布的微观状态数的对数 比较得：Boltzmann 关系它给出了熵与微观状态数的关系。第7页/共32页第八页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论对于开系，将与开系的热力学基本方程比较(bjio)系数，得：拉氏因子(ynz)与化学势的关系。第8页/共32页第九页，共32页。第八讲 Bose

5、统计(tngj)和Fermi统计(tngj)理论下面(xi mian)从Fermi分布出发导出热力学量的表达式只要(zhyo)将巨配分函数改为：其对数为：前面的讨论和有关公式完全适用。第9页/共32页第十页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论三、光子(gungz)气体前面(qin mian)讨论已知：空窖辐射的辐射能量密度与绝对温度的4次方成正比。下面我们将辐射场看成系统，分别从波动特性和粒子特性出发，利用统计物理方法来处理同样问题。（1）波动特性：空窖内的辐射场可以分解为一系列单色平面波的叠加。单色平面波的电场分量，有两个偏振方向，它们与波矢k垂直，并互相垂直。而具

6、有一波矢k和一定偏振方向的单色平面波可以看作辐射场的一个自由度。它是以圆频率随时间作简谐变化，因此相当于一个振动自由度。在辐射场中有无穷多个k值，相应的k又有两个偏振方向，所以整个辐射场是具有无穷多个振动自由度的力学系统。由此求内能按频率的分布。第10页/共32页第十一页，共32页。第八讲 Bose统计(tngj)和Fermi统计(tngj)理论（2）粒子特性：将空窖的辐射(fsh)场看作光子气体。光子的特征：每个光子具有确定的能量、动量、自旋；其自旋为 ，相应两个偏振的投影是+1和-1；光子的静止质量为零，即m=0；光子是Bose子的一种特殊情况。下面我们统计物理方法来推导空窖辐射(fsh)

7、的辐射(fsh)能量密度与绝对温度的关系。按相对论关系，即：，因为m=0，所以得由于窖壁不断发射和吸收光子，在光子气体中，光子数不是恒定的。在导出Bose分布时，我们只引进一个拉氏乘子，这样光子的分布为：第11页/共32页第十二页，共32页。第八第八(d b)讲讲 Bose统计和统计和Fermi统计理论统计理论在给定温度和体积下，平均(pngjn)总光子数由空窖辐射自由能最小的要求确定，即：是平均总光子数。所以(suy)空窖辐射的化学势为零。但1、空窖辐射的化学势第12页/共32页第十三页，共32页。第八讲第八讲 Bose统计统计(tngj)和和Fermi统计统计(tngj)理理论论2、空窖辐

8、射的平均(pngjn)光子数在体积(tj)为V的空窖内，在p到p+dp的动量范围内，光子的量子数为：因此在空窖内，在圆频率d 范围内的平均光子数为：将 代入上式可得在体积为V的空窖内，在到+d 的圆频率内，光子的量子态数为：第13页/共32页第十四页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论3、空窖辐射(fsh)场的能量在体积为V的空窖内，在圆频率(pnl)d 范围内，辐射场的能量（内能）为：辐射场能量按频率的分布。也称为Planck公式。讨论两种极限情况：（1）高频范围，有因而有与维恩公式符合。第14页/共32页第十五页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Ferm

9、i统计理论（2）低频(dpn)范围，有此时式可近似为：是Rayleigh和Jeas公式(gngsh)。上两式比较可看出，在低频范围，一个振动自由度的平均能量为kT。考虑到振动能量有两个平方项，这正是能量均分定理的结果。第15页/共32页第十六页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论将对圆频率积分，可求得空窖辐射的内能为：引入变量 ，上式可化为：积分(jfn)得：空窖辐射的能量密度(md)与绝对温度的 4次方成正比。（与热力学结果一致）第16页/共32页第十七页，共32页。第八讲 Bose统计(tngj)和Fermi统计(tngj)理论4、Wien位移(wiy)定律 根据

10、Planck公式：将代入Planck式:考虑到及得:与最大辐射能量密度相对应的波长 由 决定,即:第17页/共32页第十八页，共32页。令,则得:此超越(choyu)方程的解是:x=4.96所以,上式指出，使辐射场的能量密度为极大值的 与温度T有关。称它为Wien位移定律 第18页/共32页第十九页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论将Planck公式：乘以c/（4V）就得到辐射通量随频率的分布。由于这个分布随温度而变，因此可通过测量一个物体的辐射通量密度 随频率(pnl)的分布就可以确定物体的温度。光测高温计就是根据这个(zh ge)原理制成的。例如;假定太阳是黑体

11、,利用Wien位移定律-可求出太阳表面的温度.第19页/共32页第二十页，共32页。四、电子(dinz)气体第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论金属中共(zhn n)有化电子称为自由电子。电子气体遵从Fermi分布。（因为电子的自旋为 ）温度为T时，处在能量为E的一个量子态上的平均的电子数为：根据在体积V内，在某一动量范围内，自由电子的可能状态数为：又考虑到电子自旋在其动量方向的投影有两个可能值，则在体积V内，在能量范围dE内，电子的量子态数为：在体积V内，能量dE内的平均电子数为：第20页/共32页第二十一页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论在给定(

12、i dn)粒子数N、温度T和体积V时，化学势由下式确定：由上式可知(k zh)：是温度T和电子密度N/V的函数。讨论：（1）T=0K的电子分布 我们用0表示0K时电子气体的化学势。由 可知：在0K时，如图所示，在T=0K时，在E0的每一个量子态上，平均电子数为0，fE100K Fermi函数0是0K时电子的最大能量，可由下式定出：第21页/共32页第二十二页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论将上式积分(jfn)，可求出0为：称为(chn wi)Fermi能级。令 ，可得：是0K时电子的最大动量，称为Fermi动量。0K时电子气体的总能量是：由上式可得，0K时电子的平

13、均能量是：第22页/共32页第二十三页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论（1）T0K的自由电子(z yu din z)分布由式 可知：如图所示，在T0K时，在E 的每一个量子态上，平均(pngjn)电子数小于1/2，只有在附近，数量级为kT的能量范围内，电子的分布与T=0K时的分布有差异。fE10.50只有能量在附近，数量为kT范围内的电子对热容量有贡献。以Ne表示能量在附近kT范围内的电子对热容量作出贡献的有效电子数为：第23页/共32页第二十四页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论将能量均分定律作用于有效(yuxio)电子，每一有效(y

14、uxio)电子对热容量贡献为（3/2）kT，则金属中的电子对热容量贡献为：其中，在室温(sh wn)范围，所以，金属中的电子对热容量贡献远小于经典理论的数值。第24页/共32页第二十五页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论下面讨论自由电子热容量的定量(dngling)计算：电子(dinz)数N满足：由上式可确定自由电子气的化学势或Fermi能级。电子气的内能为：上两式中的积分可写成下述形式：其中第25页/共32页第二十六页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论对 作变数变换：则上式变为：将 写成 ，代入上式得：第26页/共32页第二十七页，共3

15、2页。第八讲 Bose统计(tngj)和Fermi统计(tngj)理论上式右方第二项中，已把积分上限都取作 。这是因为 而且因为被积函数分母中的 因子使对积分的贡献主要来自x小的范围。故将被积函数的分子展开为x的幂级数，只取z的一次项，得：因此 的积分为：第27页/共32页第二十八页，共32页。第八讲 Bose统计(tngj)和Fermi统计(tngj)理论因此积分可得:由得:当T=0K时,而正好得到式(P311的 8.5.6)即:第28页/共32页第二十九页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论式中的第二项很小,可用 代替得:将上式右边(yu bian)进一步展开,得

16、到:将 代入并用相应的近似,得:_自由电子气体(qt)的内能第29页/共32页第三十页，共32页。第八(d b)讲 Bose统计和Fermi统计理论由此得电子(dinz)气体的定容热容量为:这结果与前面粗略分析的结果 只有系数的差异.讨论(toln):1.常温下电子的热容量远小于晶格振动的热容量.2.但在足够低的温度下,电子热容量不能忽略.(因为在低温范围,晶格振动的热容量迅速下降,按T3趋向零;而电子热容量与T成正比,下降缓慢.)3.以 表示电子的热容量,表示离子的热容量,在低温下两者之比为:其中 为Debye温度.第30页/共32页第三十一页，共32页。例题：由热力学公式，及低温下电子气体的热容量，求电子气体的熵。解：已知低温(dwn)下电子气体的热容量为：当T=0时，S与热力学第三定律的要求相符合。第31页/共32页第三十二页，共32页。