(精品)概率统计2-1.PPT

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1、1 1 随机变量随机变量2 2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律3 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数4 4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度5 5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 1 随机变量随机变量一随机变量的概念一随机变量的概念E:随机试验随机试验S:样本空间样本空间我们常常关心样本空间我们常常关心样本空间 S 的某些子集，如从某型电的某些子集，如从某型电子元件中任取一件子元件中任取一件,观测其寿命观测其寿命(S)，S=t:t 0,我们关心诸如我们关心诸如t:1500 t 2000,t 100

2、0等子集等子集 为了研究随机现象的统计规律性，在第一章中为了研究随机现象的统计规律性，在第一章中我们学习了如下基本概念我们学习了如下基本概念:我们把这些子集和我们把这些子集和S的一些其他子集作为元素，的一些其他子集作为元素，组成一个大的集合，称其为组成一个大的集合，称其为事件域事件域，将事件域中每，将事件域中每一个元素称为一个元素称为E的的随机事件随机事件P:R1 A P(A)满足三条公理满足三条公理问题问题 第一章研究的是对实验第一章研究的是对实验E求求P(A)，只是孤立的只是孤立的研究一个个事件，对研究一个个事件，对E的全貌不了解。同时，的全貌不了解。同时，A是集是集合，合，P(A)是数，

3、无法用图形和其他数学工具，对其是数，无法用图形和其他数学工具，对其研究受到限制。因此研究受到限制。因此为了深入地研究随机现象，认为了深入地研究随机现象，认识随机现象的整体性质，需要全面地研究随机实验识随机现象的整体性质，需要全面地研究随机实验 E 中中事件的概率事件的概率首先，首先，如何能够系统而全面地描述如何能够系统而全面地描述 E 的随机事件呢？的随机事件呢？我们能否引入一个变量（即数），当它取不我们能否引入一个变量（即数），当它取不同的值时，或许可以表达不同的随机事件？同的值时，或许可以表达不同的随机事件？S的某些样本点组成的集合的某些样本点组成的集合即引入样本空间到实数域上的一个映射即

4、引入样本空间到实数域上的一个映射.X()R因此，我们需要根据问题的性质，通过引入一因此，我们需要根据问题的性质，通过引入一个变量，来描述随机试验的样本点。个变量，来描述随机试验的样本点。1 1、有些试验结果看来与数值无关，但我们可以、有些试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，可也就是说，可以以将试验结果数值化将试验结果数值化例例1.掷一枚硬币，观察其面朝上的情况掷一枚硬币，观察其面朝上的情况(E)样本空间样本空间:S=正面，反面正面，反面 X(正面）正面）=1，X（反面）（反面）=0定义映射定义映射X:S R1其中其中,满足满

5、足:X()=1=出现正面出现正面，：X()=0=出现反面出现反面X 的取值是随机的，但是我们知道它所有的取值是随机的，但是我们知道它所有的可能的取值为的可能的取值为0，1X 为掷一枚为掷一枚硬币，出现硬币，出现正面的次数正面的次数 2 2、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）个数）例例2.对于某型电子元件，任抽一件，观测其寿命对于某型电子元件，任抽一件，观测其寿命(E)样本空间，样本空间，S=t:t 0定义映射定义映射X:S R tt X 在某一范围内的取值可以表达在某一范围内的取值可以表达E中的事件，如中的事件，如 :X()a,b=t:t a,

6、b其可能取值的其可能取值的范围为范围为0，+）X为任抽为任抽一电子元一电子元件的寿命。件的寿命。可以看出，上述随机试验的每一个结果可以看出，上述随机试验的每一个结果都对应着变量都对应着变量X 的一个确定的取值，因此变的一个确定的取值，因此变量量X 是样本空间是样本空间S上的实值函数上的实值函数:定义定义通常将随机变量通常将随机变量X(e)简记为简记为X 一般用一般用X，Y，Z，等表示随机变量等表示随机变量 设随机试验的样本空间设随机试验的样本空间 S=e ，X=X(e)是定义是定义在样本空间在样本空间S上的实值单值函数，称上的实值单值函数，称 X=X(e)为为随随机变量机变量。定义：定义：设设

7、(S，P)是一概率空间，若是一概率空间，若X为样本空间为样本空间S 到实数域到实数域 R1 上的映射：上的映射：满足：满足：x R1,有有 :X()x则称则称X()为为(S,P)上的一个随机变量。上的一个随机变量。常常将常常将 ：X()x 简记为（简记为（X x）。）。X：S R1 X()1 1、随机变量随机变量X 随试验结果的不同而取不同的值，随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值。而不能预先肯定它将取哪个值。2 2、由于试验结果的出现具有一定的概率，于是由于试验结果的出现具有一定的概率，于是 这种

8、实值函数取每个值和每个确定范围内的这种实值函数取每个值和每个确定范围内的 值也有一定的概率。值也有一定的概率。说明说明3 3、对于任意的实数对于任意的实数 x ，集合，集合都是都是随机事件随机事件。一般地，若一般地，若 L是一个实数集合，是一个实数集合，X L=e:X(e)L 都是都是随机事件随机事件。4 4、在许多实际问题中，一个随机变量在许多实际问题中，一个随机变量X 的含义的含义 是十分清楚的，所以一般不再关心随机变量是十分清楚的，所以一般不再关心随机变量 X 在样本空间在样本空间上是如何定义的。可以认为上是如何定义的。可以认为X 的所有取值就是我们的样本空间。只是在必的所有取值就是我们

9、的样本空间。只是在必 要的时候才将自变元要的时候才将自变元 e 写出来。写出来。引入了随机变量，随机试验中的各种事件，引入了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来。就可以通过随机变量的关系式表达出来。可见，可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内。也可以说，更广的概念内。也可以说，随机事件是从静态的随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点。的观点。就象数学分析中常量与变量的区别那样。就象数学分析中常量与变量的区别那样。二二 随机变量的意义

10、随机变量的意义 随机变量概念的产生是概率论发展史上随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件。引入随机变量后，对随机现象的重大事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究。研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究。例例3 3 一批产品有一批产品有50 件，其中有件，其中有8件次品，件次品，42 件正品，件正品，现从中取出现从中取出 6 件件 X 表示表示取出取出6 件产品中的次品数件产品中的次品数 则则X 就是一个随机变量就是一个随机变量 它的取值为它的取值为 0，1，2，6表示取出的表示取出

11、的产品全是正品产品全是正品这一随机事件这一随机事件 表示取出的表示取出的产品至少有一件是次品产品至少有一件是次品这一随机事件这一随机事件注意注意 X 的取值是有限个！的取值是有限个！例例4 4 上午上午 8:009:00 在某路口观察在某路口观察 Y 表示表示该时间间隔内通过的汽车数该时间间隔内通过的汽车数 则则Y 就是一个随机变量就是一个随机变量 它的取值为它的取值为 0，1，表示表示通过的汽车数小于通过的汽车数小于100辆辆这一随机事件这一随机事件注意注意 Y 的取值是的取值是可列无限可列无限个！个！表示表示通过的汽车数大于通过的汽车数大于50 辆但不超过辆但不超过100辆辆这一随机事件这

12、一随机事件 例例5 5 观察某生物的寿命（单位：小时）观察某生物的寿命（单位：小时）Z 表示表示该生物的寿命该生物的寿命 则则Z 就是一个随机变量就是一个随机变量 它的取值为所有非负实数它的取值为所有非负实数表示该生物的表示该生物的寿命大于寿命大于 3000小时小时这一随机事件这一随机事件表示该生物的表示该生物的寿命不超过寿命不超过1500小时小时这一随机事件这一随机事件注意注意 Z 的取值是的取值是不可列无限个不可列无限个！例例7 7 掷一枚骰子，令掷一枚骰子，令等等等等注意注意 在同一个样本空间上可以定义不同的在同一个样本空间上可以定义不同的 随机变量随机变量一一 离散型随机变量的概念与性

13、质离散型随机变量的概念与性质2 2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律如果随机如果随机变变量量 X 只取有限个只取有限个值值或可列个或可列个值值则则称称 X 是是离散型随机离散型随机变变量量。离散型随机离散型随机变变量的定量的定义义定义定义 设设 X 是是离散型随机变量，称离散型随机变量，称离散型随机离散型随机变变量的分布律量的分布律为为 X 的的分布律分布律。离散型随机变量的离散型随机变量的分布律分布律也常常用如下也常常用如下方式表达方式表达说明说明 离散型随机变量可完全由其分布列来刻划。离散型随机变量可完全由其分布列来刻划。即即离散型随机变量可完全由其可能取值以离散型随机变量

14、可完全由其可能取值以 及取这些值的概率唯一确定。及取这些值的概率唯一确定。分布列的性质分布列的性质用这两条性质判断用这两条性质判断一个函数是否是一个函数是否是概率分布概率分布例例1 1 从从110这这10个数字中随机取出个数字中随机取出5个数字，个数字，X 表示表示取出的取出的5个数字中的最大值。试求个数字中的最大值。试求 X 的的 分布列分布列即即 X 的分布列为的分布列为解解 X 的取值为的取值为5，6，7，8，9，10.并且并且例例2 2 将将 1枚硬币掷枚硬币掷 3次，次，X 表示表示出现的正面次数出现的正面次数 与反面次数之差。与反面次数之差。试求试求X 的分布列的分布列。解解 X

15、的取值为的取值为-3，-1，1，3则则 X 的分布列为的分布列为例例3 3 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布列为的分布列为 求求 解解:例例4 4 设随机变量设随机变量 X 的分布列为的分布列为解解 由分布列的性质，得由分布列的性质，得该级数为等比级数，故有该级数为等比级数，故有所以所以试求试求常数常数c例例5 5 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信 号灯，每盏信号灯以号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过，的概率允许或禁止汽车通过，以以X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数

16、，求求 X 的分布列的分布列。(信号灯的工作是相互独立的信号灯的工作是相互独立的)PX=3=(1-p)3p解解 以以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则则 X 的分布列为的分布列为 0 1 2 3 4 Xpk p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 或写成或写成 PX=k=(1-p)k p，k=0,1,2,3 PX=4=(1-p)4 以以 p=1/2 代入，得代入，得Xpk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625二二 几种常用的离散型随机变量几种常用的离散型随机变量设随机变量设随机变量X 只取

17、只取 0或或 1两个值，它的分布律为两个值，它的分布律为或或 则称随机变量则称随机变量 X 服从参数为服从参数为 p的的（0 1）分布）分布或或两点分布，两点分布，1 1、（0 1）分布）分布记作记作 两点分布的两点分布的应用应用X 表示在一次试验中事件表示在一次试验中事件A 发生的次数发生的次数令令记记则则任何一次试验，当只考虑任何一次试验，当只考虑两个互逆的结果两个互逆的结果A与与 时，时，或者形象地把两个互逆结果叫做或者形象地把两个互逆结果叫做“成功成功”和和“失败失败”。就可以用就可以用两点分布来描述两点分布来描述例例6 6 15件产品中有件产品中有4件次品，件次品，11件正品，从中任

18、取件正品，从中任取1件。件。X 表示取出的一件产品中的次品数。表示取出的一件产品中的次品数。则则X 的取值为的取值为 0 或者或者 1，并且，并且若随机试验若随机试验E只有两个可能结果只有两个可能结果 A 和和b.n重伯努利试验重伯努利试验 a.伯努利概型伯努利概型设设E为一伯努利试验，它的两个可能的结果为为一伯努利试验，它的两个可能的结果为 A 和和 ，P(A)=p(0p1)，则称，则称E为伯努利概型为伯努利概型.P(A)=p。把把E在相同条件下，独立地在相同条件下，独立地重复进行重复进行n次，作为一个试验，称这个试验为次，作为一个试验，称这个试验为n重伯努利概型。记为重伯努利概型。记为En

19、。2 2、伯努利试验、二项分布、伯努利试验、二项分布 注意注意：-n重伯努利试验重伯努利试验En 的可能结果可用的可能结果可用长为长为n的的A与与S-A的序列表示。如的序列表示。如3重伯努利试验的重伯努利试验的所有可能结果为所有可能结果为-“重复重复”是指：在每次试验中，是指：在每次试验中，P(A)=p保保持不变。持不变。-“独立独立”是指：各次试验的结果是相互独是指：各次试验的结果是相互独立的，即若以立的，即若以Ci记第记第i次试验的结果，次试验的结果，Ci为为A或或 S-A ，i=1,n。独立是指独立是指:C1Cn相互独立。相互独立。对同一目标进行对同一目标进行 n 次射击，若每次射击只关

20、心次射击，若每次射击只关心“击中目标击中目标”与与“未击中目标未击中目标”两种情况。两种情况。n重伯努利试验的例子重伯努利试验的例子掷掷 n次硬币，只关心次硬币，只关心“出现正面出现正面”与与“出现反面出现反面”这两种情况；这两种情况；掷掷 n 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现出现六点六点”与与“不出现六点不出现六点”这两种情况；这两种情况；c.一个问题一个问题设设E为伯努利试验，且为伯努利试验，且P(A)=p(0p1)，对于，对于n重伯努重伯努利概型利概型En，事件，事件A恰好发生恰好发生k(0 k n)次的概率是多次的概率是多少？少？例例.设某人打靶单

21、发命中率为设某人打靶单发命中率为0.7，现独立重复射击，现独立重复射击4发，求恰好命中发，求恰好命中3发的概率发的概率.解解 以以 Ai 表表示示“第第 i 发发命命中中”(i=1,2,3，4)，B表表示示“恰好命中恰好命中3发发”则有则有 Ai 表表示示“第第 i 发发命命中中”(i=1,2,3，4)，B表表示示“恰恰好命中好命中3发发”定理定理 设设E为伯努利试验，且为伯努利试验，且P(A)=p(0p1)，对，对于于n重伯努利概型重伯努利概型En，事件，事件A恰好发生恰好发生k(0 k n)次次的概率为的概率为 设随机变量设随机变量X 的所有可能值为的所有可能值为0,1,2，n,其分布律为

22、其分布律为则称则称X 服从服从参数为参数为 n和和 p的的二项分布二项分布，记作记作 （2 2）二项分布）二项分布说明说明1 1、显然，当显然，当 n =1 时时此时，此时，X 服从两点分布服从两点分布这说明，这说明，两点分布是二项分布的一个特例两点分布是二项分布的一个特例第第 k+1 项项 2 2、称为二项分布的原因是称为二项分布的原因是 为二项为二项 展开式展开式3、二项分布的特性、二项分布的特性对于二项分布，当对于二项分布，当 k 增加时，概率增加时，概率 P X=k 先是随之增加，直至达到最大值，随后单调先是随之增加，直至达到最大值，随后单调减少。减少。(见见 p35 例例2)如下图所

23、示：如下图所示：二项分布的二项分布的概率分布示意图概率分布示意图二项二项分布的分布的应用应用进行进行n重重伯努利伯努利试验，设在每次试验中试验，设在每次试验中X 表示表示在在 n 重重伯努利伯努利试验中事件试验中事件 A 发生的次数发生的次数则则例例7 7 一张考卷上有一张考卷上有5 道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4个可能个可能 答案，其中只有一个答案是正确的。答案，其中只有一个答案是正确的。某学生靠某学生靠 猜测至少能答对猜测至少能答对4 道题道题的概率是多少？的概率是多少？则则答答 5 道题相当于做道题相当于做 5 重伯努利试验重伯努利试验解解 每答一道题相当于做一次试验每答一道

24、题相当于做一次试验则则若若 X 表示该学生靠猜测能答对的题数表示该学生靠猜测能答对的题数令令 A=答对一道题答对一道题，则，则 P(A)=1/4因此因此 P 至少能答对至少能答对4 道题道题 X 的的分布律分布律为为例例8 8 某人进行射击，设每次射击的命中率为某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击独立射击400次，试求至少击中两次的概率。次，试求至少击中两次的概率。解解 射击一次相当于做一次试验射击一次相当于做一次试验令令 X 表示击中的次数表示击中的次数，则，则 X b(400,0.02)则则射击射击 400次次相当于做相当于做 400重伯努利试验重伯努利试验X 的的分布律分

25、布律为为因此因此分析分析 1 1、P X 2 0.003 很小。很小。如果射手在如果射手在400次射击中，击中目标的次数的确不到次射击中，击中目标的次数的确不到2次，则根次，则根据据实际推断原理实际推断原理，有理有理 由怀疑由怀疑“每次射击的命中每次射击的命中率为率为0.02”这一假设有问题这一假设有问题，即，即认为每次射击的命认为每次射击的命中率中率 达不到达不到0.02。2 2、P X 2 0.9972 很接近于很接近于1。虽然。虽然 每次射击每次射击的命中率很小，但如果射击的命中率很小，但如果射击400 次，则击中目标至次，则击中目标至少少2次几乎是肯定的。正如我们第一章讲的，次几乎是肯

26、定的。正如我们第一章讲的，当试当试验次数足够验次数足够 大时，小概率事件迟早要发生。大时，小概率事件迟早要发生。3 3、泊松分布泊松分布(Poisson 分布分布)其中其中 是常数。是常数。则称则称X 服从参数为服从参数为 的的泊松泊松分布分布，设随机变量设随机变量X 的所有可能值为的所有可能值为0,1,2，其分布律为其分布律为 记作记作 泊松泊松分布的应用分布的应用电话总机在电话总机在某一时间间隔内某一时间间隔内收到的呼叫次数；收到的呼叫次数；放射物在放射物在某一时间间隔内某一时间间隔内发射的粒子数；发射的粒子数；容器在容器在某一时间间隔内某一时间间隔内产生的细菌数，等等。产生的细菌数，等等

27、。在一定条件下，都是服从在一定条件下，都是服从Poisson分布的分布的Poisson分布是概率论中重要的分布之一。分布是概率论中重要的分布之一。自然界及工程技术中的许多随机指标都服从自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson分布，例如分布，例如解解 随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为由已知由已知 试求试求 例例9 9 设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为 的的Poisson分布，分布，且已知且已知得得由此得方程由此得方程得解得解（另一个解（另一个解 不合题意，舍去）不合题意，舍去）因此因此Poisson定理定理 设在设在n重贝努里试验中，以重贝努里试验中，以 代表

28、事件代表事件A在一次在一次 试验中发生的概率，它与试验总数试验中发生的概率，它与试验总数n 有关。若有关。若 则则Poisson定理的应用定理的应用 二项分布与泊松分布关系二项分布与泊松分布关系 由由 Poisson 定理，可知定理，可知有有令令则当则当 n比较大，比较大，p 比较小时比较小时说明说明 当当 n 20,p 0.05 时，时，近似效果很好近似效果很好。例例1010 设有设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立台同类型的设备，各台工作是相互独立 的，发生故障的概率都是的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故，且一台设备的故 障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方障能

29、由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方 法：法：其一，由其一，由 4 人维护，每人负责人维护，每人负责 20 台；台；其二，由其二，由 3 人，共同维护人，共同维护 80 台台 试比较这两种方法试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维在设备发生故障时不能及时维 修修的概率的概率的大小。的大小。解解 第一种方法：第一种方法：以以 X 记记“第第1人负责的人负责的20台中同一时刻发生故障台中同一时刻发生故障 的台数的台数”，则则 X B(20，0.01）以以Ai 表示事件表示事件 “第第 i人负责的人负责的20台中发生故障不台中发生故障不能及时维修能及时维修”则则 80 台中发生故障而不能及时维

30、修的概率为台中发生故障而不能及时维修的概率为故故本问还可以本问还可以用用Poisson 定理所得的近似公式计算定理所得的近似公式计算：由于由于 n=20,p=0.01,则则 =n p=20 0.01=0.2因此因此故故第二种方法：第二种方法：以以 Y 记记“80 台中同一时刻发生故障的台数台中同一时刻发生故障的台数”则则 Y B(80,0.01）故故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为台中发生故障而不能及时维修的概率为本问也可以本问也可以用用Poisson 定理所得的近似公式计算定理所得的近似公式计算：由于由于 n=80,p=0.01,则则 =n p=80 0.01=0.8因此因此同学们

31、可以比较一下上述两问的结果，近似效果同学们可以比较一下上述两问的结果，近似效果还是较好的。还是较好的。结论结论 第二种方法中发生故障而不能及时维修第二种方法中发生故障而不能及时维修 的概率小，且维修工人减少一人。的概率小，且维修工人减少一人。运用运用 概率论讨论国民经济问题，可以有效地概率论讨论国民经济问题，可以有效地 使用人力、物力资源。使用人力、物力资源。4 4、几何分布几何分布(Geometric分布分布)则称则称 X 服从参数是服从参数是 p 的的几何分布。几何分布。设随机变量设随机变量X 的所有可能值为的所有可能值为1,2，其分布律为其分布律为几何分布的应用几何分布的应用设某试验成功

32、概率为设某试验成功概率为 p，独立地重复此试验直，独立地重复此试验直到第一次成功，则到第一次成功，则第一次成功需要的试验次数第一次成功需要的试验次数服从服从参数参数 p 的几何分布。的几何分布。例例11 11 对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率 为为0.64，射击进行到击中目标时为止，射击进行到击中目标时为止，X 表示表示 所需射击次数。试求随机变量所需射击次数。试求随机变量 X 的分布列的分布列，并求并求至少进行至少进行2次射击才能击中目标次射击才能击中目标的概率。的概率。解解 X 的取值为的取值为 1，2，n P X=n =P 前前n-1次射击均未击中，次射击均未击中，第第n次射击时击中目标次射击时击中目标=P 前前 n-1次射击均未击中次射击均未击中 P 第第 n次射击时击中目标次射击时击中目标由独立性，得由独立性，得 X 的分布列为的分布列为 作业作业 2,4,6,10,12