(精品)概率论与数理统计ch1基本概念.ppt

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1、数学是科学的大门和钥匙数学是科学的大门和钥匙.培根培根2023/1/9概率论概率论在生活当中，经常会接触到在生活当中，经常会接触到一一些些现象现象：确定性现象：确定性现象：在大量重复实验中其结果又具有在大量重复实验中其结果又具有统计规律性统计规律性的现象。的现象。随机现象：随机现象：在一定条件下必然发生的现象。在一定条件下必然发生的现象。在个别实验中其结果呈现出在个别实验中其结果呈现出不确定性不确定性；概率论与数理统计概率论与数理统计 在在经济、科技、教育、管理和经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。军事等方面已得到广泛应用。2023/1/9概率论概率论一一 随随 机机 试试 验验

2、二二 事件间的关系与运算事件间的关系与运算三三 频频 率率 与与 概概 率率 1 随随 机机 事事 件件 的的 概率概率2023/1/9概率论概率论 这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。其典型的例子有：其典型的例子有：1)随机试验随机试验E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。观察某一时间段通过某一路口的车辆数。E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。抛一颗骰子，观察出现的点数。2023/1/9概率论概率论进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现；进行一次试验之前不能确定哪一

3、个结果会出现；每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。验的所有可能结果。E4：观察某一电子元件的寿命。观察某一电子元件的寿命。E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。可以在相同的条件下重复进行；可以在相同的条件下重复进行；称称具备上面三个特点的试验为随机试验。具备上面三个特点的试验为随机试验。2023/1/9概率论概率论S1:H,T S2:1,2,3,4,5,6 S3:0,1,2,3S4:t|t 0 S5:(x,y)|T 0 x,y T1 要求：会写出随机试验的要求：会写出随机试验的 样

4、本空间。样本空间。2023/1/9概率论概率论我们称一个我们称一个随机事件发生随机事件发生当且仅当当且仅当它所包它所包含的一个样本点含的一个样本点在试验中在试验中出现。出现。2023/1/9概率论概率论事件事件 A=2,4,6 表示表示“出现偶数点出现偶数点”;事件事件 B=1,2,3,4 表示表示“出现的点数不超过出现的点数不超过4”.2023/1/9概率论概率论1)包含关系包含关系 二二、事件间的关系与运算事件间的关系与运算SAB如果如果A发生必导致发生必导致B发生，则发生，则2）相等关系）相等关系 2023/1/9概率论概率论SAB3)和（并）事件和（并）事件 事件事件 发生当且仅当发生

5、当且仅当 A,B 至少发生一个至少发生一个.4)积（交）事件积（交）事件SAB事件事件 发生当且仅当发生当且仅当 A,B 同时发生同时发生.2023/1/9概率论概率论 5)差事件差事件SABASAB 发生当且仅当发生当且仅当 A 发生发生 B 不发生不发生.2023/1/9概率论概率论SASBA请请注意互不相容与对立事件的区别！注意互不相容与对立事件的区别！2023/1/9概率论概率论例如，例如，在在S4 中中事件事件 A=t|t 1000 表示表示“产品是次品产品是次品”事件事件 B=t|t 1000 表示表示“产品是合格品产品是合格品”事件事件 C=t|t 1500 表示表示“产品是一级

6、品产品是一级品”则则表示表示“产品是合格品但不是一级品产品是合格品但不是一级品”;表示表示“产品是是一级品产品是是一级品”;表示表示“产品是合格品产品是合格品”.2023/1/9概率论概率论8)随机事件的运算规律随机事件的运算规律幂等律幂等律:交换律交换律:结合律结合律:分配律分配律:De MorganDe Morgan（德（德摩根）定律摩根）定律:2023/1/9概率论概率论练习：练习：设设 A,B,C 为三个随机事件，用为三个随机事件，用A,B,C 的运的运 算关系表示下列各事件算关系表示下列各事件.（1）A 发生发生.(2)A 发生，发生，B 与与 C 都不发生都不发生.(3)A,B,C

7、 都发生都发生.(4)A，B,C 至少有一个发生至少有一个发生.2023/1/9概率论概率论(5)A，B,C 都不发生都不发生.(6)A，B,C 不多于一个发生不多于一个发生.(7)A，B,C 不多于两个发生不多于两个发生.(8)A，B,C 至少有两个发生至少有两个发生.2023/1/9概率论概率论三三、频频 率率 与与 概概 率率1）频率的定义和性质频率的定义和性质 定义定义:在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n 次试验，次试验，在这在这 n 次试验中，事件次试验中，事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称为称为 事件事件 A 发生的频数。比值发生的频数。比值 n A /n 称为事

8、件称为事件 A 发生的频率，并记成发生的频率，并记成 fn(A)。2023/1/9概率论概率论 它具有下述性质它具有下述性质:2023/1/9概率论概率论2）频率的稳定性频率的稳定性 实实 验验 者者 德德摩根摩根 蒲蒲 丰丰K 皮尔逊皮尔逊K 皮尔逊皮尔逊 n nH fn(H)2048 40401200024000 1061 2048 6019120120.51810.50960.50160.50052023/1/9概率论概率论3）概率的定义概率的定义定义定义 设设 E 是随机试验，是随机试验，S 是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于 E 的每一个事件的每一个事件 A 赋予一个实数，记为

9、赋予一个实数，记为 P(A),称为事件称为事件 A 的概率，要求集合函数的概率，要求集合函数 P(.)满足满足下列条件下列条件：2023/1/9概率论概率论4）概率的性质与推广概率的性质与推广SAB2023/1/9概率论概率论SABSA2023/1/9概率论概率论SBA2023/1/9概率论概率论性质性质 9要求：熟练掌握概率的性质。要求：熟练掌握概率的性质。2023/1/9概率论概率论1）加法原理：）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有种，第二类有m种，则完成这件事共有种，则完成这件事共有n+m种方法。种方法。3）排列：排列：(1)可重复排列可

10、重复排列:在有放回选取中，从在有放回选取中，从n个不同元素中个不同元素中取取r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。四、排列组合公式四、排列组合公式2）乘法原理：）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有nm种方法。种方法。2023/1/9概率论概率论 4）组合：）组合：（1）从）从 n 个不同元素中取个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为虑其顺序，称为组合，其总数为（2）选排列：在无放

11、回选取中，从）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中个不同元素中取取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为个元素进行排列，称为选排列，其总数为 说明说明：如果把如果把 n 个不同元素分成两组，一组个不同元素分成两组，一组r个，个，另一组另一组n-r个，组内元素不考虑顺序，那么不同分个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有法有 种。种。2023/1/9概率论概率论（2）常用组合公式：）常用组合公式：说明：说明：熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的2023/1/9概率论概率论 等可能概型（古典概型）2 等可能概型等可能概型2023/1/9概率

12、论概率论 生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：样本空间的元素只有有限个；样本空间的元素只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同。每个基本事件发生的可能性相同。一、一、等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）我们把这类实验称为我们把这类实验称为等可能概型等可能概型，又叫做，又叫做古典概型古典概型。退 出前一页后一页目 录2023/1/9概率论概率论设设 S=e1,e2,en,由古典概型的等可能性，得由古典概型的等可能性，得.21ne=PePePL=又由于基本事件两两互不相容；所以又由于基本事件两两互不相容；所以若事件若事件 A 包含包含 k 个基本

13、事件，即个基本事件，即 A=e1,e2,ek,则有则有：2023/1/9概率论概率论 例例 1 把一套把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问：卷本的书随机地摆放在书架上，问：恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？解：解：将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一个基本事件，共有放法个基本事件，共有放法4！种。！种。把书恰好排成序有两种放法。把书恰好排成序有两种放法。所以，所求概率为所以，所求概率为2023/1/9概率论概率论 例例 2 将将 n 只球随机的放入只球随机的放入 N(N n)个盒子中去，个盒

14、子中去，求每个盒子至多有一只球的概率求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。设盒子的容量不限）。解：解：将将 n 只球放入只球放入 N 个盒子中去个盒子中去,共有共有而每个盒子中至多放一只球而每个盒子中至多放一只球,共有共有思考：思考：某指定的某指定的n 个个盒子中各有一球的概率。盒子中各有一球的概率。退 出前一页后一页目 录2023/1/9概率论概率论解：解：例例3 同时掷同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：颗骰子，试求下列事件的概率：A=5 颗骰子不同点颗骰子不同点；B=5 颗骰子恰有颗骰子恰有 2 颗同点颗同点；C=5 颗骰子中有颗骰子中有 2 颗同点，另外颗同点，另外 3

15、 颗颗 同是另一个点数同是另一个点数2023/1/9概率论概率论退 出前一页后一页目 录2023/1/9概率论概率论 例例4 设有设有 N 件产品，其中有件产品，其中有 M 件次品，今从中任件次品，今从中任取取 n 件，问其中恰有件，问其中恰有 k (k D)件次品件次品的概率是多少的概率是多少?又又 在在 M 件次品中取件次品中取 k 件，所有可能的取法有件，所有可能的取法有 在在 N-M 件正品中取件正品中取 n-k 件件,所有可能的取法有所有可能的取法有 解：解：在在 N 件产品中抽取件产品中抽取 n 件，取法共有件，取法共有不放回抽样不放回抽样1）2023/1/9概率论概率论于是所求的

16、概率为：于是所求的概率为：此式即为此式即为超几何分布超几何分布的概率公式。的概率公式。由乘法原理知：在由乘法原理知：在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k件次品的取法共有件次品的取法共有 2023/1/9概率论概率论2）有放回抽样有放回抽样而在而在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k 件次品的件次品的取法共有取法共有 于是所求的概率为：于是所求的概率为：从从 N 件产品中有放回地抽取件产品中有放回地抽取n 件产品进行排列，件产品进行排列，可能的排列数为可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事个，将每一排列看作基本事件，总数为件，总数为 。此式

17、即为此式即为二项分布二项分布的概率公式。的概率公式。2023/1/9概率论概率论 例例 5 某厂家称一批数量为某厂家称一批数量为1000件的产品的次品率件的产品的次品率为为5%。现从该批产品中有放回地抽取了。现从该批产品中有放回地抽取了30件，经件，经检验发现有次品检验发现有次品5件，问该厂家是否谎报了次品率件，问该厂家是否谎报了次品率？解：解：假设这批产品的次品率为假设这批产品的次品率为5%，那么，那么1000件产品件产品中有次品为中有次品为50件。这时有放回地抽取件。这时有放回地抽取30件，次品有件，次品有5件的概率为件的概率为2023/1/9概率论概率论人们在长期的实践中总结得到人们在长

18、期的实践中总结得到“概率很小的事件概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的在一次实验中几乎是不发生的”（称之为称之为实际推实际推断原理断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。2023/1/9概率论概率论例例 6 将将 n个男生和个男生和m个女生个女生(mn)随机地排成一列随机地排成一列,问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？解：解：任意两个女生都不相邻时，任意两个女生都不相邻时，首先首先n个男生的排法有个男生的排法有n!种，种，每两个相邻男生之

19、间有一个位置可以站女生，还有每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有队列两侧各有一个位置可以站女生，这样队列两侧各有一个位置可以站女生，这样m个女生个女生共有共有n+1个位置可以站，个位置可以站，所以，所以，任意两个女生都不相邻这一事件的概率为任意两个女生都不相邻这一事件的概率为n+m个学生随机地排成一列共有排法个学生随机地排成一列共有排法(n+m)!种种总共排法有总共排法有 种。种。2023/1/9概率论概率论 解：解：设设 A=“第第 k 次取出的球是黑球次取出的球是黑球”例例 7 袋中有袋中有 a只白球，只白球，b 只黑球从中将球取出只黑球从中将球取出 依次排成一列，问第依次排成一列

20、，问第 k 次取出的球是黑球的次取出的球是黑球的 概率概率2023/1/9概率论概率论例例 8 从从 19 这这 9 个数中有放回地取出个数中有放回地取出 n 个个.试求取出的试求取出的 n 个数的乘积能被个数的乘积能被 10 整除的概率整除的概率解：解：A=取出的取出的 n 个数的乘积能被个数的乘积能被 10 整除整除；B=取出的取出的 n 个数至少有一个偶数个数至少有一个偶数；C=取出的取出的 n 个数至少有一个个数至少有一个 5 则则 A=B C.2023/1/9概率论概率论3 3 条条 件件 概概 率率一一 条条 件件 概概 率率二二 乘乘 法法 定定 理理三三 全概率公式和贝叶斯公式

21、全概率公式和贝叶斯公式2023/1/9概率论概率论称为在事件称为在事件B已发生的条件下事件已发生的条件下事件A的条件概率，的条件概率，简称为简称为A在在B之下的之下的条件概率条件概率。设设A、B是某随机试验中的两个事件，且是某随机试验中的两个事件，且则则一、条一、条 件件 概概 率率1）条件概率的定义：）条件概率的定义：2023/1/9概率论概率论2）条件概率的性质：）条件概率的性质：2023/1/9概率论概率论 而而 所求概率为所求概率为解：解：设设 A=3个小孩至少有一个女孩个小孩至少有一个女孩 B=3个小孩至少有一个男孩个小孩至少有一个男孩 例例 1 已知某家庭有已知某家庭有3个小孩，且

22、至少有一个是女个小孩，且至少有一个是女 孩，求该家庭至少有一个男孩的概率孩，求该家庭至少有一个男孩的概率2023/1/9概率论概率论 我们得我们得这就是两个事件的这就是两个事件的乘法公式乘法公式1）两个事件的乘法公式：）两个事件的乘法公式：二、乘法公式二、乘法公式由条件概率的定义由条件概率的定义2023/1/9概率论概率论 则有则有这就是这就是n个事件的个事件的乘法公式乘法公式 2）多个事件的乘法公式）多个事件的乘法公式2023/1/9概率论概率论则则由乘法公式，我们有由乘法公式，我们有例例2 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除

23、把白球放回外再加进出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了一个白球，直至取出黑球为止求取了n 次都未次都未取出黑球的概率取出黑球的概率解：解：2023/1/9概率论概率论2023/1/9概率论概率论 例例 3 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为打破的概率为 1/21/2 ，若第一次落下未打破，第二，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为次落下打破的概率为 7/107/10,若前两次落下未打破，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为第三次落下打破的概率为 9/109/10 。求透镜落下三次。求透镜落下

24、三次而未打破的概率。而未打破的概率。解：解：以以 Ai(i=1,2,3)表示事件表示事件“透镜第透镜第 i 次落下打次落下打破破”，以，以 B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”，有：有：2023/1/9概率论概率论三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式SA1A2An.BA1BA2.BAn 定义定义 设设 S 为试验为试验 E 的样本空间，的样本空间，为为 E 的一组事件。若满足的一组事件。若满足 (1)(2)则称则称 为样本为样本空间空间 S 的一个有限划分的一个有限划分 2023/1/9概率论概率论1）全）全 概概 率率 公公 式：式：设随机事件设随

25、机事件2023/1/9概率论概率论由全概率公式，有由全概率公式，有例例5 某小组有某小组有20名射手，其中一、二、三、四名射手，其中一、二、三、四 级射手分别为级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标 的概率分别为的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机，今随机 选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目 标的概率标的概率 解：解：2023/1/9概率论概率论设随机事件设随机事件则有：则有：2）贝叶斯（）贝叶斯（Bayes）公式公式2023/

26、1/9概率论概率论现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率肝癌的概率说明：说明：全概率公式，全概率公式，BayesBayes公式中公式中 可以是可以是例例 6 用某种方法普查肝癌，设：用某种方法普查肝癌，设：A=用此方法判断被检查者患有肝癌用此方法判断被检查者患有肝癌，D=被检查者确实患有肝癌被检查者确实患有肝癌，已知已知2023/1/9概率论概率论 所以，由所以，由Bayes公式，得公式，得解：解：由已知，得由已知，得2023/1/9概率论概率论则由则由Bayes公式，得公式，得设设B=取出的球全是白球取出的球全是白球 例例 7 袋中有袋

27、中有10个黑球，个黑球，5个白球现掷一枚均匀的个白球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的球全是白球，求掷出出的球全是白球，求掷出3点的概率点的概率解：解：2023/1/9概率论概率论说明：说明：乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式非常重要，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式非常重要，在运用时在运用时关键关键是找到样本空间的划分。是找到样本空间的划分。2023/1/9概率论概率论 则称则称 A 与与 B 是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件二、事件独立性的性质：二、事件独立性的性质：1）如果事件）如果事件A 与与 B 相互独立，而且相互

28、独立，而且定义：定义：设设 A、B 是两个随机事件，如果是两个随机事件，如果4 独独 立立 性性一、独立性的定义一、独立性的定义2023/1/9概率论概率论2）必然事件）必然事件S与任意随机事件与任意随机事件A相互独立；相互独立；不可能事件不可能事件与任意随机事件与任意随机事件A相互独立相互独立3)若随机事件若随机事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则也相互独立也相互独立.这个性质很重要！这个性质很重要！注意：注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。义来加以判

29、断的。2023/1/9概率论概率论若事件若事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则 AB；若若 AB=，则则事件事件 A 与与 B 不相互独立不相互独立证明：证明：例例 1 设事件设事件 A 与与 B 满足：满足：2023/1/9概率论概率论但是，由题设但是，由题设这表明，事件这表明，事件 A 与与 B 不相互独立不相互独立此例说明：此例说明：互不相容与相互互不相容与相互 独立不能同时成立。独立不能同时成立。由于由于AB=，所以，所以2023/1/9概率论概率论1）三个事件的独立性：）三个事件的独立性：则称则称A、B、C是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件注意：注意：在三个事件独立性的

30、定义中，四个等式是缺一不在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反可的即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立如果如果三、多个事件的独立性三、多个事件的独立性设设A、B、C是三个随机事件，是三个随机事件，2023/1/9概率论概率论2）n个事件的相互独立性：个事件的相互独立性：2023/1/9概率论概率论3 3）独立随机事件的性质：）独立随机事件的性质：则：（则：（1）其中任意其中任意 个随机事件也相互个随机事件也相互 独立；独立；2023/1/9概率论概

31、率论若若 是相互独立的事件，则是相互独立的事件，则4 4）相互独立事件至少发生其一的概率的计算：）相互独立事件至少发生其一的概率的计算：在独立的条件下有：在独立的条件下有：2023/1/9概率论概率论注注 意意特别地，如果特别地，如果则有则有,时时当当 n12023/1/9概率论概率论此例说明：此例说明：小概率事件虽然在一次试验中几乎是小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是迟早要发生。不发生的，但是迟早要发生。不论不论 p 多么小多么小2023/1/9概率论概率论 例例 2 设有电路如图，其中设有电路如图，其中 1,2,3,4 为继电器接为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且

32、每一点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为个继电器接点闭合的概率均为 p。求求 L至至 R 为通为通路的概率。路的概率。LR2134 解解：设事件设事件 Ai(i=1,2,3,4)为为“第第 i 个继电器接个继电器接点闭合点闭合”,L 至至 R 为通路这一事件可表示为：为通路这一事件可表示为：2023/1/9概率论概率论由和事件的概率公式及由和事件的概率公式及 A1,A2,A3,A4的相互独的相互独立性，得到立性，得到 2023/1/9概率论概率论 例例 3 要验收一批要验收一批(100 件件)乐器。验收方案如乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取下：自该批乐

33、器中随机地抽取 3 件测试件测试(设设 3 件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。不纯 纯 纯q纯、纯、纯 接受ppH1：纯 纯 纯纯、纯、纯 接受pppH0：设一件设一件音色不纯音色不纯的乐器被的乐器被测试出来测试出来的概率为的概率为 0.95，而一件，而一件音色纯音色纯的乐器被的乐器被误测为不纯误测为不纯的概率为的概率为 0.01。如果这批乐器中恰有。如果这批乐器中恰有 4 件是件是音色不纯音色不纯的，的，问这批乐器问这批乐器被接受被接受的概率是多少？的概率是多少？p=

34、1-0.01=0.99,q=1-0.95=0.052023/1/9概率论概率论解：解：以以 Hi (i=0,1,2,3)表示事件表示事件“随机取出的随机取出的 3 件乐器中恰有件乐器中恰有 i 件音色不纯件音色不纯”，以，以 A 表示事件表示事件“这批乐器被接受这批乐器被接受”，即，即 3 件都被测试为音色件都被测试为音色纯的乐器。纯的乐器。H2：不纯 纯 不纯q纯、纯、纯 接受pq不纯、不纯、不纯q纯、纯、纯 接受qqH3：由由全概率公式有全概率公式有2023/1/9概率论概率论由测试的相互独立性得由测试的相互独立性得：另外，按照超几何分布的概率计算公式得：另外，按照超几何分布的概率计算公式得：代入公式有代入公式有2023/1/9概率论概率论1 1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。系及运算。2 2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。质。3 3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率公给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率公 式和贝叶斯公式。式和贝叶斯公式。4 4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。独立性进行概率计算。第一章 小 结2023/1/9概率论概率论