高数复习资料(微积分基本定理).ppt

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1、5.3 微积分基本定理微积分基本定理问题问题:研究不从定义出发计算定积分的简便方法研究不从定义出发计算定积分的简便方法 10 两个问题两个问题(1)在时间段在时间段 T1,T2 内内,物体经过的路程物体经过的路程:若物体的位置函数若物体的位置函数 s=s(t),则则S(t)具有性质具有性质:(2)设设 y=f(x)在在 a,b 上连续上连续,对任意对任意 x a,b ,面积函面积函数数 A(x)如图所示如图所示,abxyoA(x)具有性质具有性质:其中其中对一般的积分对一般的积分 是否成立是否成立自然要问自然要问:则则有有 能否求一个函数能否求一个函数 F(x)使在使在 a,b上成立上成立1:

2、的函数的函数 F(x),是否有等是否有等式式 对于求得的在对于求得的在 a,b 上满上满足足2:成立成立?其中其中对一般的积分对一般的积分 是否成立是否成立Q:20 微积分第一基本定理及变限积分函数微积分第一基本定理及变限积分函数 能否求一个函数能否求一个函数 F(x)使在使在 a,b先来研究问题一：先来研究问题一：上成立：上成立：定理定理(微积分第一基本定理微积分第一基本定理)若若 y=f(x)在在 a,b 上连续上连续,任取任取 x0 a,b固定固定,在在 a,b上可导上可导,而且而且则函数则函数(1)证明证明:任取任取 x a,b,x 0,使使 x+x a,b,由于由于(介于介于 x 与

3、与 x+x 之之间间)注意到注意到,当当 x0 时时,x 及及 f(x)在在 a,b 上上连续连续,故有故有定理说明定理说明:当当 f(x)在在 a,b 上上连续连续时时,问题一问题一有解有解,就是就是问题一问题一的解的解 函数函数说明说明:(1)由式由式(1)从而可知从而可知:微分运算微分运算“d”与变上限积分运算与变上限积分运算“”是互逆的运算是互逆的运算(2)变上限积分函数变上限积分函数 是表示函数是表示函数的重要手段的重要手段(许多工程中的重要函数用积分许多工程中的重要函数用积分形式表示形式表示 如如 Fresnel 函数函数),它以公式它以公式(1)作作为求导公式为求导公式 30 原

4、函数和不定积分原函数和不定积分问题问题如何计算如何计算?先讨论满足先讨论满足 的函数的函数F(x)的性质的性质定义定义设设 f(x)在在 a,b 上有定义上有定义,如果对任意如果对任意的的 x a,b ,都有都有或或则称则称 F(x)为为 f(x)(或或 f(x)dx)在在 a,b 上的一个上的一个原函数原函数.定理定理(原函数存在定理原函数存在定理)如果如果 f(x)在在 a,b 上连上连续续,则则 是是 f(x)在在 a,b 上的一个原函数上的一个原函数,即即 连续函数必有原函数连续函数必有原函数.定理定理(关于原函数的性质关于原函数的性质)(1)若若 F(x)是是 f(x)在在 a,b

5、上的一个原函数上的一个原函数,则对则对 任意任意 c R,F(x)+c 也是也是 f(x)在在 a,b 上的原函数上的原函数原函数原函数,(2)若若 是是 f(x)在在 a,b 上的另外上的另外两个两个 则存在则存在 c R 使使即即 f(x)的任意两个原函数之间最多相差一个常数的任意两个原函数之间最多相差一个常数 证明证明(2)设设则由则由 F1(x),F 2(x)都为都为 f(x)在在 a,b 上的原函数知上的原函数知即即从而从而 F(x)在在 a,b 上恒等于常数上恒等于常数,即存在常数即存在常数 c使使F(x)c由此得知由此得知:在知道在知道 f(x)的一个原函数的一个原函数 F(x)

6、之后之后,则则 F(x)+c (c 为任意实数为任意实数)表示了表示了 f(x)的所有的所有原函数原函数定义定义我们把我们把 f(x)在在 a,b 上的原函数的一般上的原函数的一般 表达式表达式 F(x)+c 称为称为 f(x)在在 a,b 上的上的不定积分不定积分,记为记为即即其中其中 F(x)是是 f(x)在在 a,b 上的某一原函数上的某一原函数,c 为为 任意实数任意实数.(1)不定积分不定积分 表示一族函数表示一族函数,它涵它涵盖了盖了f(x)在在 a,b 上原函数的全上原函数的全体体 现若现若 f(x)在在 a,b 上连续上连续,则变上限积分函数则变上限积分函数是是 f(x)在在

7、a,b 上的一个原函数上的一个原函数,于是有于是有说明说明:（3）不定积分运算与求导运算呈互逆不定积分运算与求导运算呈互逆 关系关系(相差一常数意义下相差一常数意义下),这就使我们这就使我们可从求导公式来获得不定积分的计算公式可从求导公式来获得不定积分的计算公式!(2)即不定积分运算即不定积分运算“”与微分与微分运算运算“d”在相差一在相差一任意常数的意义下是任意常数的意义下是“互逆互逆”的的根据求导公式可得以下根据求导公式可得以下不定积分公式不定积分公式:的函数的函数 F(x),是否有等式是否有等式 对于求得的在对于求得的在 a,b 上满上满足足问题二问题二:成立成立?下面研究下面研究40

8、微积分第二基本定理微积分第二基本定理设设 f(x)在在 a,b上连续上连续,若能计算出不定积分若能计算出不定积分从而获得从而获得 f(x)在在 a,b上的一个原函数上的一个原函数 F(x),则有则有令令 x=a 得得,F(a)+c=0 c=F(a)可得可得所以有所以有定理定理(微积分第二基本定理微积分第二基本定理)说明说明:(1)牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 把把 的计算问题的计算问题转化转化f(x)在在 a,b 上的一个原函数的计算问上的一个原函数的计算问题题转化转化不定积分不定积分 的计算问题的计算问题,从而回避从而回避从定义计算定积分从定义计算定积分 (2)前述的前述的问题一问题一,

9、问题二问题二得到解决得到解决 设设 f(x)在在 a,b 上连续上连续,F(x)是是 f(x)在在 a,b 上上的任意一个原函数的任意一个原函数,则则(牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式)例例计算计算解解 首先计算首先计算 在在0,1上的原函数上的原函数 为此计算为此计算由于由于所以所以则则 F(x)在在 0,1 上是上是的一个原函数的一个原函数,取函数取函数 F(x)=x-2arctanx,例例计算计算其中其中解解变上限积分函数的进一步讨论变上限积分函数的进一步讨论:变限积分函数既然是一函数变限积分函数既然是一函数,就可讨论其一系就可讨论其一系列列的函数性质的函数性质(例如例如,单调性单调性,

10、最值最值,凹凸性等凹凸性等)解解因为因为 设设 f(x)是连续函数，而是连续函数，而(x)，(x)均为可均为可微微 证明证明:若若 ,计算计算 若记若记 例例函数函数,(2)由于由于同理可得同理可得所以有所以有所以有所以有(1)利用公式利用公式(1)有有(2)解解由由设设 f(x)在在 a,b 上上连续，且连续，且 f(x)0，又又证明证明:(2)F(x)=0在在 a,b 内有且仅有一个实根内有且仅有一个实根 例例(1)又又 F(x)在在 a,b 上可上可微微同时注意到同时注意到 F(x)严格单调增严格单调增 F(x)在在 a,b 上连续上连续 根据零值定理知存在根据零值定理知存在(a,b),

11、F()=0 使使有且仅有一个实根有且仅有一个实根 所以方程所以方程F(x)=0 例例设设 f(x)在在a,b上连续上连续,且单调增且单调增,证明证明:解解原问题原问题 构造辅助函数构造辅助函数则有则有 F(a)=0,我们希望证明我们希望证明 F(x)在在a,b上单调增上单调增 对任意的对任意的 x a,b所以所以 F(x)在在a,b上单调增上单调增.于是有于是有F(b)F(a)=0由此证得由此证得例例设设 f(x)在在a,b上具有连续的二阶导数上具有连续的二阶导数,求证求证:在在(a,b)内存在内存在,使得使得解解设设取取 x=b,在在 x0 处泰勒展开处泰勒展开,有有其中其中再取再取 x=a,在在 x0 处泰勒展开处泰勒展开,有有其中其中即即两式相减得两式相减得即即由于由于 连续连续,根据介值定理根据介值定理,存在存在使得使得故有故有