(精品)微积分第一章.ppt

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1、Euler在在无限小分析引论无限小分析引论中明确指出：中明确指出：“数学分析是数学分析是关于函数的科学关于函数的科学”，微积分被看作建立在微积分基础上的函，微积分被看作建立在微积分基础上的函数理论，因此微积分的主要研究对象是函数。数理论，因此微积分的主要研究对象是函数。这一章重点复习中学里和函数有关的一些内容，包括函这一章重点复习中学里和函数有关的一些内容，包括函数的概念、表示法、性质和复合函数、反函数、初等函数、数的概念、表示法、性质和复合函数、反函数、初等函数、分段函数等，最后再介绍几个简单的经济函数。重点要求大分段函数等，最后再介绍几个简单的经济函数。重点要求大家理解和掌握与函数有关的知

2、识，为进一步的学习作准备。家理解和掌握与函数有关的知识，为进一步的学习作准备。1/9/20231 这里所说的经济变量关系是指经济变量之间的函数关系。这里所说的经济变量关系是指经济变量之间的函数关系。由于不同的变量的取值范围不同，需要用集合表示它们的取由于不同的变量的取值范围不同，需要用集合表示它们的取值范围，因此需要讨论几种常用的集合。值范围，因此需要讨论几种常用的集合。下面首先介绍微积分中常用的几种集合，大家要掌握它们下面首先介绍微积分中常用的几种集合，大家要掌握它们的记法和表示意义；然后再讨论函数的概念，要求掌握函数的记法和表示意义；然后再讨论函数的概念，要求掌握函数的实质，以便以后的学习

3、。的实质，以便以后的学习。一、常用数集一、常用数集 为简单起见，以后我们讨论的变量取值皆为实数，只在必为简单起见，以后我们讨论的变量取值皆为实数，只在必 要时涉及到复数要时涉及到复数(而且用到复数的这一部分属理论部分，因此而且用到复数的这一部分属理论部分，因此 如果没学过复数的话可跳过去如果没学过复数的话可跳过去)。因此，我们对应的数集主要。因此，我们对应的数集主要 有实数集、有理数集等。有实数集、有理数集等。1.1经济变量关系经济变量关系1/9/20232实数实数有理数有理数无理数无理数正有理数正有理数零零负有理数负有理数正无理数正无理数负无理数负无理数 为简便起见，在微积分中常用约定俗成的

4、字母或符号代为简便起见，在微积分中常用约定俗成的字母或符号代替语言叙述。比如说对常用数集，一替语言叙述。比如说对常用数集，一 般把实数集记为般把实数集记为R；有；有理数集记为理数集记为Q；整数集记为；整数集记为Z；自然数集记为；自然数集记为N；正实数集记；正实数集记为为R+等。等。1/9/20233类型类型记法记法集合集合图示图示此外，常用的实数集合还有此外，常用的实数集合还有区间区间，列表如下：，列表如下：闭区间闭区间半开半半开半闭区间闭区间开区间开区间无无穷穷区区间间1/9/20234 以后的学习中经常还会遇到另一种集合以后的学习中经常还会遇到另一种集合邻域。由于邻邻域。由于邻域一般用绝对

5、值表示比较方便，作为准备，我们先复习和绝对域一般用绝对值表示比较方便，作为准备，我们先复习和绝对值有关的一些知识。值有关的一些知识。中学里实数中学里实数a绝对值的定义为：绝对值的定义为：从数轴上看，实数从数轴上看，实数a的绝对值表示点的绝对值表示点a与原点的距离：与原点的距离：1/9/20235 利用绝对值的几何意义可以解决一些实际问题。下面以解利用绝对值的几何意义可以解决一些实际问题。下面以解不等式为例说明。不等式为例说明。例例 解不等式解不等式|x-1|+|x+2|5。分析分析 此不等式即求一点此不等式即求一点x，使它与点，使它与点1的距离和与点的距离和与点-2的距的距离之和大于离之和大于

6、5。先找出与点先找出与点1的距离和与点的距离和与点-2的距离之和等于的距离之和等于5的点的点2和和-3。则与点则与点1的距离和与点的距离和与点-2的距离之和大于的距离之和大于5的集合为的集合为 (-,-3)(2,+)。1/9/20236 这种数形结合的方法中学中遇到过，以后会经常用到。应这种数形结合的方法中学中遇到过，以后会经常用到。应 用时要注意掌握图形与数量式之间的对应关系，具体地说，要用时要注意掌握图形与数量式之间的对应关系，具体地说，要 弄清楚图形的特征怎样用数量式表示，以及给定一个数量式在弄清楚图形的特征怎样用数量式表示，以及给定一个数量式在 图像上能反映出什么特性。这样才能利用数学

7、计算和图像分析图像上能反映出什么特性。这样才能利用数学计算和图像分析 各自的优点分析解决问题。各自的优点分析解决问题。下面利用绝对值定义邻域。下面利用绝对值定义邻域。定义定义 对对0，开区间，开区间(x0-,x0+)=x|x0-x0，开区间，开区间(x0-,x0)=x|x0-x-x00，开区间，开区间(x0,x0+)=x|0 x-x00，开区间，开区间(x0-,x0)(x0,x0+)=x|0|x-x0|0且a1)中中 是奇函数，是奇函数，是偶函数，是偶函数，是非奇非偶函数。是非奇非偶函数。备忘备忘 对奇偶函数的运算，有下列结果：对奇偶函数的运算，有下列结果：若若f(x)、g(x)都是奇函数，则

8、都是奇函数，则f(x)g(x)也是奇函数，也是奇函数，f(x)g(x)为偶函数；若为偶函数；若f(x)、g(x)都是偶函数，则都是偶函数，则f(x)g(x)也是偶函数，也是偶函数，f(x)g(x)为偶函数；若为偶函数；若f(x)、g(x)一一奇一偶，则奇一偶，则f(x)g(x)为奇函数。为奇函数。(容易看出，奇偶函数的运算法则与正负实数的运算法则类似容易看出，奇偶函数的运算法则与正负实数的运算法则类似)、1/9/202322 2、单调性、单调性 定义定义(1)f(x1)f(x2)，则称函数，则称函数f(x)在在I上上(严格严格)单调减少单调减少；单调增加与单调减少的函数统称为单调增加与单调减少

9、的函数统称为单调函数单调函数，使函数单调的区，使函数单调的区间间I称为称为单调区间单调区间。单调性主要反映了函数值的自变量增加时对应的函数值的单调性主要反映了函数值的自变量增加时对应的函数值的 变化趋势。从图像上看，单调增加的函数的图像呈左下变化趋势。从图像上看，单调增加的函数的图像呈左下-右上右上 走向，而单调减少的函数呈左上走向，而单调减少的函数呈左上-右下走向。例如：函数右下走向。例如：函数y=xa 当当a0时在时在(0,+)上单调增加，当上单调增加，当a0且且a1)D=R Z=(0,+)指数函数是非奇非偶非指数函数是非奇非偶非周期函数。当周期函数。当a1时单调增时单调增加，当加，当0a

10、0且且a1)D=R Z=(0,+)对数函数是指数函数的反函数，非对数函数是指数函数的反函数，非 奇非偶非周期。当奇非偶非周期。当a1时单调增加，当时单调增加，当 0a10a10a0且且a1时时1/9/2023375、三角函数、三角函数1/9/2023381/9/202339 4、反三角函数、反三角函数 三角函数都是周期函数，都没有反函数。这里的反三角函三角函数都是周期函数，都没有反函数。这里的反三角函数所对应的原函数的定义域为三角函数的一个单调区间。数所对应的原函数的定义域为三角函数的一个单调区间。1/9/202340 以后的计算分析中，常会用到三角变换以后的计算分析中，常会用到三角变换(尤其

11、遇到表达式中尤其遇到表达式中有根号或平方和时有根号或平方和时)，这时若遇到的数值不是特殊角的函数值，这时若遇到的数值不是特殊角的函数值，对应的角需用反三角函数表示。因此，对反三角函数，除了掌对应的角需用反三角函数表示。因此，对反三角函数，除了掌握它们的定义域、值域、图像、性质外，还需清楚如何用反三握它们的定义域、值域、图像、性质外，还需清楚如何用反三角函数表示角度角函数表示角度(即已知三角函数值时用反三角函数表示相应的即已知三角函数值时用反三角函数表示相应的角度角度)。具体用反三角函数表示角度的方法为：若角的范围在对应具体用反三角函数表示角度的方法为：若角的范围在对应 三角函数的定义域内，则直

12、接用反三角函数表示；若角的范围三角函数的定义域内，则直接用反三角函数表示；若角的范围 不在对应三角函数的定义域内，则首先通过诱导公式把角化为不在对应三角函数的定义域内，则首先通过诱导公式把角化为 在三角函数的定义域内的角。在三角函数的定义域内的角。例例 若若cos=a，cot=b，、(-/2,0)，试用，试用、表表示示a、b。1/9/202341二、初等函数二、初等函数 生活中许多复杂的现象大多可以看作是一些简单的基本现生活中许多复杂的现象大多可以看作是一些简单的基本现 象的叠加或组合。作为在数学形式上的反映，即许多复杂的函象的叠加或组合。作为在数学形式上的反映，即许多复杂的函 数关系大多可以

13、看成是由一些简单函数生成的，有些函数形式数关系大多可以看成是由一些简单函数生成的，有些函数形式 上复杂，但它们的许多性质都可以从产生出它们的基本初等函上复杂，但它们的许多性质都可以从产生出它们的基本初等函 数中分析出来。我们经常把一些复杂函数拆成一些简单的函数数中分析出来。我们经常把一些复杂函数拆成一些简单的函数 去处理。去处理。定义定义 由基本初等函数经有限次复合或有限次四则运算而得由基本初等函数经有限次复合或有限次四则运算而得 的函数称为的函数称为初等函数初等函数。我们平时常遇到的用表达式表示的函数大多是初等函数。我们平时常遇到的用表达式表示的函数大多是初等函数。初等函数是微积分研究的主要

14、对象。对初等函数，需要知道它初等函数是微积分研究的主要对象。对初等函数，需要知道它 是由哪些函数经哪些四则运算或怎样复合而成。是由哪些函数经哪些四则运算或怎样复合而成。1/9/202342 例如，下列函数都是初等函数：例如，下列函数都是初等函数：y=ln sin x；y=xx；说一说，它们都是由哪些函数经哪些运算或怎样复合而成的。说一说，它们都是由哪些函数经哪些运算或怎样复合而成的。1/9/202343三、分段函数三、分段函数 1、定义、定义 定义定义 在定义域的各个不相交的子集中用不同的表达式表示在定义域的各个不相交的子集中用不同的表达式表示 的函数称为的函数称为分段函数分段函数。例例如：如

15、：注注 分段函数是一个函数而不是几个函数。分段函数是一个函数而不是几个函数。1/9/202344 2、定义域、定义域 分段函数的定义域为所有自变量分段函数的定义域为所有自变量x所在子集的并。所在子集的并。例如函数例如函数的定义域为的定义域为 (-2,-1)-1,1(1,2=(-2,2 3、对应法则、对应法则 分段函数在求函数值时，需要讨论自变量在那一个子集分段函数在求函数值时，需要讨论自变量在那一个子集 内。例如内。例如1/9/202345 4、复合函数、复合函数 求由分段函数与初等函数或由两个分段函数复合而成的复求由分段函数与初等函数或由两个分段函数复合而成的复 合函数，关键要深刻理解分段函

16、数的对应法则的表示方法。合函数，关键要深刻理解分段函数的对应法则的表示方法。例如例如1/9/202346例例 5、反函数、反函数 求分段函数的反函数，由求分段函数的反函数，由x的对应区间上的每一个表达式的对应区间上的每一个表达式 解出解出x(用用y表示表示)，同时得到相应，同时得到相应y的变化范围；然后把的变化范围；然后把x写成写成y的的 函数函数(用分段函数的形式表示出来用分段函数的形式表示出来)；最后把；最后把x与与y互换。互换。1/9/2023471.5经济函数分析经济函数分析1/9/202348 制定价格时，一般把价格制定价格时，一般把价格P看作变量，这时市场需求量与看作变量，这时市场

17、需求量与 生产供给量受价格的影响，因此也是价格的函数，即生产供给量受价格的影响，因此也是价格的函数，即需求函数需求函数 与与供给函数供给函数，分别记为，分别记为Qd=f(P)与与Qs=(P)。最简单的需求函数和供给函数是线性函数：最简单的需求函数和供给函数是线性函数：Qd=a-bP Qs=-c+dP 定义定义 使一种商品的市场需求量与生产供给量相等的价格使一种商品的市场需求量与生产供给量相等的价格 称为称为均衡价格均衡价格，记为，记为p0。例例 已知鸡蛋收购每千克已知鸡蛋收购每千克3元，每月能收购元，每月能收购5000千克，提高千克，提高 0.1元则收购量可增加元则收购量可增加500千克，求鸡

18、蛋的线性供给函数。千克，求鸡蛋的线性供给函数。练习练习 某商品的需求函数和供给函数分别为某商品的需求函数和供给函数分别为 Qd=14-1.5P Qs=-5+4P则均衡价格为则均衡价格为 。1/9/202349二、总收入函数、总成本函数和总利润函数二、总收入函数、总成本函数和总利润函数 在在生生产产者者看看来来，总总希希望望尽尽可可能能降降低低产产品品的的生生产产成成本本、增增加加 和和提提高高收收入入和和利利润润。而而成成本本(C)、收收入入(L)和和利利润润(R)跟跟产产量量或或销销 售量售量Q有关，可以看作有关，可以看作Q的函数，分别称为的函数，分别称为总成本函数总成本函数、总收入总收入

19、函数函数和和总利润函数总利润函数，记为，记为C(Q)、L(Q)和和R(Q)。总成本函数总成本函数C(Q)由固定成本由固定成本C0和可变成本和可变成本C1(Q)组成：组成：C(Q)=C0+C1(Q)其其中中固固定定成成本本 C0与与产产量量无无关关，如如厂厂房房、设设备备的的折折旧旧费费，企企业业的的 管理费等；可变成本管理费等；可变成本C1(Q)随产量的增加而增加，如原材料、动随产量的增加而增加，如原材料、动 力力、工工人人的的工工资资等等，且且有有 C1(0)=0。最最简简单单的的总总成成本本函函数数是是线线性性 函数：函数：C(Q)=C0+aQ (a0)。1/9/202350 定义定义 函

20、数函数称为称为平均成本函数平均成本函数。其中。其中分别称为分别称为平均固定成本平均固定成本与与平均可变成本平均可变成本。设商品的价格为设商品的价格为P，则总收入函数为，则总收入函数为 R(Q)=PQ若商品的需求函数为若商品的需求函数为P=f-1(Q)，则总收入函数为，则总收入函数为R(Q)=Pf-1(Q)。总利润函数为总收入与总成本之差：总利润函数为总收入与总成本之差：L(Q)=R(Q)-C(Q)1/9/202351 例例 里昂混凝土是阿肯色州北部唯一供应混凝土的垄断企里昂混凝土是阿肯色州北部唯一供应混凝土的垄断企 业。企业的混凝土需求函数为业。企业的混凝土需求函数为P=110-4Q，公司的固

21、定成本为，公司的固定成本为 400，每生产一个单位的混凝土需要增加，每生产一个单位的混凝土需要增加10个单位的成本，该个单位的成本，该 公司的最大生产能力为公司的最大生产能力为18，给出其总利润函数并计算盈亏平衡，给出其总利润函数并计算盈亏平衡 点处的产量及价格。点处的产量及价格。练习练习 某厂生产某种商品，销量在某厂生产某种商品，销量在100件以内时每件件以内时每件150 元，超过元，超过100件到件到200件时按九折出售，超出件时按九折出售，超出200件时按八折出件时按八折出 售，则该产品的总收入函数为：售，则该产品的总收入函数为：1/9/2023521/9/2023531/9/20235

22、41/9/202355五、其他五、其他 1、直线折旧、直线折旧 设一台机器的价值为设一台机器的价值为v元，使用期限为元，使用期限为n年，该机器使用寿年，该机器使用寿命终结时的价值为命终结时的价值为c元，则可折旧的价值为元，则可折旧的价值为v-c元，平均每年的元，平均每年的折旧费为折旧费为(v-c)/n元。则元。则t年后的折旧金额记为年后的折旧金额记为y=v-(v-c)t/n。2、库存模型、库存模型 先举个例子来说明。先举个例子来说明。例例 某商店年销售某商店年销售40000件某种小器皿，为节约库存量，件某种小器皿，为节约库存量，分批进货，设每批的订货费用分批进货，设每批的订货费用(订合同手续费、差旅费、通讯订合同手续费、差旅费、通讯费、费、运费等运费等)为为600元，每件器皿的库存费为每月元，每件器皿的库存费为每月0.2元，试给元，试给出库存费与进货费之和出库存费与进货费之和C与批量与批量x的函数关系的函数关系(假定销售量是均假定销售量是均匀的，即平均库存量为批量的一半匀的，即平均库存量为批量的一半)。1/9/2023561/9/202357