第五章插值型数值微分与数值积分优秀PPT.ppt
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1、第五章插值型数值微分与数值积分第一页,本课件共有39页5.1 插值型数值微分公式插值型数值微分公式 故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算,以便估计误差。值进行近似计算,以便估计误差。这类公式称为这类公式称为插值型数值微分公式插值型数值微分公式。当当 x 为插值节点为插值节点xi 时,上式简化为时,上式简化为 一般地一般地 第二页,本课件共有39页 5.1.1 常用的数值微分公式常用的数值微分公式 即 1.两点公式两点公式(n=1)这称为这称为两点公式两点公式。第三页,本课件共有39页两点公式的截断误差为两点公式的截断
2、误差为 这里这里 第四页,本课件共有39页2.三点公式三点公式(n=2)这称为这称为三点公式三点公式,其中(,其中(54b)又称为)又称为中点公式中点公式。第五页,本课件共有39页三点公式的截断误差为三点公式的截断误差为 这里这里 第六页,本课件共有39页进一步由进一步由 可得计算公式可得计算公式 第七页,本课件共有39页为估计二阶导数数值微分公式的误差,可设为估计二阶导数数值微分公式的误差,可设 f(x)四阶连续可微,四阶连续可微,故得故得 从而得到误差估计式从而得到误差估计式 二阶导数的截断误差二阶导数的截断误差第八页,本课件共有39页 例例1:已知列表:已知列表x 2.5 2.55 2.
3、60 2.65 2.70y 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317解解:h=0.05第九页,本课件共有39页 例例 5.1 为计算为计算 在在 x=2 处的一阶导数值,我们可处的一阶导数值,我们可选用中点公式选用中点公式当计算保留四位小数时,得到计算结果如表当计算保留四位小数时,得到计算结果如表5-1(书书103页)。页)。而精确值为而精确值为 ,可见当,可见当 h=0.1时近似结果最好,时近似结果最好,步长太大或太小计算效果均不好。步长太大或太小计算效果均不好。第十页,本课件共有39页5.2 插值型数值积分插值型数值积分 x0 x1-xi-1xixi+
4、1-xnf(x0)f(x1)-f(xi-1)f(xi)f(xi+1)-f(xn)2.由下列列表函数求由下列列表函数求L-插值多项式插值多项式称为称为插值型求积公式插值型求积公式,称为称为求积求积节点节点,称为称为求积系数求积系数,其和 第十一页,本课件共有39页 5.2.1 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 则则 ,考虑等距节点的情形考虑等距节点的情形考虑等距节点的情形考虑等距节点的情形 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式CotesCotes系数系数 第十二页,本课件共有39页n=1,2,4n=1,2,4的的的的N-CN-C公式公式公式公式 这称为这称为梯形公式梯形公式;几
5、何意义:用梯形面积几何意义:用梯形面积代替代替f(x)作为曲边的曲边作为曲边的曲边梯形面积。梯形面积。图图1 梯形公式梯形公式 ab第十三页,本课件共有39页这称为这称为Simpsion公式公式图图2 Simpson公式公式 ab几何意义:用抛物线几何意义:用抛物线 作曲边的曲边作曲边的曲边梯形面积代替梯形面积代替f(x)作作为曲边的曲边梯形面积。为曲边的曲边梯形面积。第十四页,本课件共有39页对应于对应于 情形的情形的Cotes系数见表系数见表5-2(书书106页页)。这称为这称为Cotes公式公式。求积公式的稳定性分析求积公式的稳定性分析求积公式的稳定性分析求积公式的稳定性分析 第十五页,
6、本课件共有39页5.2.2 复合求积公式复合求积公式 第十六页,本课件共有39页当取当取 m=1 时,称为时,称为复合梯形公式复合梯形公式,简记为,简记为Tn1.复合梯形公式复合梯形公式=1为第十七页,本课件共有39页当取当取 m=2 时,称为时,称为复合复合Simpson公式公式,简记为,简记为Sn2.复合复合Simpson公式公式第十八页,本课件共有39页当取当取 m=4 时,称为时,称为复合复合Cotes公式公式,简记为,简记为Cn(公式见书公式见书107页)页)3.复合复合Cotes公式公式第十九页,本课件共有39页 例例 5.2 试利用表试利用表5-3的函数表,分别用复合梯形公式、复
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