线性代数二阶三阶行列式精选课件.ppt

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1、关于线性代数二阶关于线性代数二阶三阶行列式三阶行列式第一页，本课件共有32页一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记第二页，本课件共有32页性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行如果行列式有两行（

2、列）完全相同，则此行列式为零列式为零.第三页，本课件共有32页性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面以提到行列式符号的外面第四页，本课件共有32页性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零证明证明第五页，本课件共有32页性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之若行列式的某一列（行）的元素都是

3、两数之和和.则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如第六页，本课件共有32页性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不对应的元素上去，行列式不变变例如例如第七页，本课件共有32页 利用行列式的上述性质，往往可以使行列利用行列式的上述性质，往往可以使行列式的计算简化，但我们知道阶数越低的行列式式的计算简化，但我们知道阶数越低的行列式越容易计算。比如二阶行列式比三阶行列式要越容易计算。比如二阶行列式比三阶行列式要容易计算得多。因此，我们自然地提出，能否容易计算得多。因此，

4、我们自然地提出，能否把行列式转化为一些阶数较低的行列式来计算把行列式转化为一些阶数较低的行列式来计算？为此先给出？为此先给出余子式余子式和和代数余子式代数余子式的概念。的概念。第八页，本课件共有32页二、余子式与代数余子式二、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作例如例如叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式第九页，本课件共有32页第十页，本课件共有32页引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元

5、素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如第十一页，本课件共有32页定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即证证三、行列式按行（列）展开法则三、行列式按行（列）展开法则第十二页，本课件共有32页推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即第十三页，本课件共有32页四、行列式的计算四、行列式的计算

6、1、将行列式化成三角行列式计算、将行列式化成三角行列式计算例例 计算行列式计算行列式第十四页，本课件共有32页解解第十五页，本课件共有32页例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 都加到第一列得都加到第一列得第十六页，本课件共有32页各行都减去各行都减去第一行第一行行列式特点行列式特点主对角线元素相同，主对角线以外元素相同主对角线元素相同，主对角线以外元素相同基本思路基本思路把各列（行）都加到第一列（行）上，提公因式，各行把各列（行）都加到第一列（行）上，提公因式，各行(列列)都减去第一行（列）都减去第一行（列）,化三角行列式。化三角行列式。第十七页，本课件共有32页例例3计算行列

7、式计算行列式解解第十八页，本课件共有32页行列式特点行列式特点基本思路基本思路第一列（行）的元素第一列（行）的元素相同，第二列（行）相同，第二列（行）的相邻元素等差的相邻元素等差下一行（列）减上下一行（列）减上一行（列），化三一行（列），化三角行列式角行列式第十九页，本课件共有32页例例42、行列式按行（列）展开降阶计算、行列式按行（列）展开降阶计算解解第二十页，本课件共有32页第二十一页，本课件共有32页例例5计算计算n阶行列式阶行列式解解将将 按第一列展开按第一列展开方法一方法一第二十二页，本课件共有32页这个这个n1阶行列式阶行列式与与 Dn有相同的形式，有相同的形式，把它记作把它记作D

8、n-1这是一个这是一个n1阶阶的下三角行列式的下三角行列式等于等于 第二十三页，本课件共有32页这个式子对于任何这个式子对于任何n 都成立，是一个都成立，是一个递推公式，因此有递推公式，因此有且且所以所以第二十四页，本课件共有32页方法二方法二从第一列开始，前一列乘从第一列开始，前一列乘 加到后一列加到后一列第二十五页，本课件共有32页行列式特点行列式特点两对角线一条边两对角线一条边类似的还有类似的还有基本思路：基本思路：按行按列展开按行按列展开第二十六页，本课件共有32页 解解例例6计算范德蒙计算范德蒙(Vandermonde)行列式行列式第二十七页，本课件共有32页按第一列展开按第一列展开第二十八页，本课件共有32页 n-1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式第二十九页，本课件共有32页如此下去最后得到如此下去最后得到通常简记作通常简记作第三十页，本课件共有32页五、行列式的乘法公式五、行列式的乘法公式定理定理 设设A，B是两个是两个n阶矩阵阶矩阵则矩阵则矩阵A，B乘积的行列式等于行列式的乘积乘积的行列式等于行列式的乘积即即第三十一页，本课件共有32页感感谢谢大大家家观观看看第三十二页，本课件共有32页