07不定积分换元法.ppt

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1、换元积分法换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。换元积分法和分部积分法。在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的的方法。利用中间变量的代换，得到复合

2、函数的积分法积分法换元积分法。通常根据换元的先后，换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。把换元法分成第一类换元和第二类换元。问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令一、第一类换元法一、第一类换元法说明结果正确说明结果正确将上例的解法一般化：将上例的解法一般化：如果如果复合而成复合而成将上述作法总结成定理，使之合法化，可得将上述作法总结成定理，使之合法化，可得换元法积分公式换元法积分公式第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为观察重点不同，所得结论不

3、同观察重点不同，所得结论不同.定理定理1 1凑微分法的基本思路：凑微分法的基本思路：与基本积分公式相比较，将不同的部分与基本积分公式相比较，将不同的部分中间变量中间变量和和积分变量积分变量变成相同变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）例例2 2 求求解解一般地一般地例例3 3 求求解解一般地一般地例例4解解例例5 5 求求解解例例6 6 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例7 7 求求解解说明说明当被积函数

4、是三角函数相乘时，如果是当被积函数是三角函数相乘时，如果是偶次项，需要进行偶次项，需要进行降阶降阶处理。处理。例例8解解注意：注意：分子拆项分子拆项是常用的技巧是常用的技巧例例9 9 求求解解例例1010 求求解解或或例例1111 求求解解例例1212 求求解解问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法则有换元公式则有换元公式定理定理2 2例例1414 求求解解 令令例例1515 求求解解 令令例例1616 求求解解 令令说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几

5、例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。掌握着取单调区间即可。说明说明(2)(2)积分中为了化掉根式是否一定采用三角积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定定.含有简单根式，就把整个根式代换。含有简单根式，就把整个根式代换。含有简单根式，就把整个根式代换。含有简单根式，就把整个根式代换。例例17

6、17 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）解解令令例例1818 求求解解 令令说明说明(3)(3)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例1919 求求解解令令例例2020 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）说明说明(4)(4)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例2121 求求解解令令三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）一）凑微分凑微分（二）二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换作业P110/四3（6）（7）（11）（12）4（3）（12）（17）（19）(22)(23)5(1)(7)(11)(13)