1.2有限元法的工程应用.ppt

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1、o1.2 1.2 有限元法的工程应用有限元法的工程应用一一 有限元法的求解方法与步骤有限元法的求解方法与步骤 u有限元是一种以有限元是一种以计算机计算机为手段，通过为手段，通过离散化离散化将研究对将研究对象变换成一个与原始结构近似的象变换成一个与原始结构近似的数学模型数学模型，再经过一，再经过一系列规范化的步骤以求解系列规范化的步骤以求解应力、应变、位移应力、应变、位移等参数的等参数的数值计算方法。数值计算方法。1.1有限元的基本思想有限元的基本思想什么是离散化呢？o所所谓谓离离散散化化是是将将一一个个连连续续体体分分割割成成若若干干个个通通过过节节点点相相连连的的单单元元，这这样样一一个个有

2、有无无限限个个自自由由度度的的结结构构就就变变换换成成一一个个具具有有有有限限个个自自由由度度的的近近似似结结构构。该该过过程程还还包包括括对对单单元元和和节节点点进进行行编码以及局部坐标系和整体坐标系的确定。编码以及局部坐标系和整体坐标系的确定。什么是单元和节点呢？o在在有有限限元元法法中中，将将求求解解的的工工程程结结构构看看成成是是由由许许多多小小的的、彼彼此此用用点点联联接接的的基基本本构构件件，如如杆杆和和梁梁、板板和和壳壳组组成成，这这些些基基本本构构件件称称为为单单元元，单元与单元之间的联接点称为节点。单元与单元之间的联接点称为节点。1.21.2有限元法在结构工程中的应用有限元法

3、在结构工程中的应用 根根据据研研究究对对象象的的不不同同，有有限限元元法法中中采采用用的的单单元元形形式式也也不相同，常见的有以下不相同，常见的有以下5种：种：1.1.桁桁架架杆杆单单元元：主主要要应应用用于于受受轴轴向向力力作作用用的的杆杆和和杆杆系系，如如桁架结构；桁架结构；2.2.刚架杆单元：用于梁及刚架结构分析；刚架杆单元：用于梁及刚架结构分析；3.3.三角形平面单元：主要用于弹性力学中平面应力问题和三角形平面单元：主要用于弹性力学中平面应力问题和平面应变问题的有限元分析；平面应变问题的有限元分析；4.三棱圆环单元：用于轴对称问题的有限元分析；三棱圆环单元：用于轴对称问题的有限元分析；

4、5.等等参参数数单单元元：用用于于一一些些具具有有曲曲线线轮轮廓廓的的复复杂杂结结构构。其其特特点点是是能能简简化化复复杂杂结结构构的的单单元元划划分分工工作作，又又能能满满足足同同样样精精度度的的要要求求时时大大大大减减少少使使用用的的单单元元数数，成成功功地地解解决决许许多多二二维维和和三三维维弹弹性性力力学学问问题。题。1.31.3有限元法求解问题的基本步骤有限元法求解问题的基本步骤1.1.结构离散化结构离散化对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；2.2.求出各单元的刚度矩阵求出各单元的刚度矩阵 是由单元节点位移量 求单元节点力向量 的转移矩阵，其关系式为3

5、.集成总体刚度矩阵K并写出总体平衡方程：o总体刚度矩阵K是由整体节点位移向量 求整体节点力向量 的转移矩阵，其关系式为 ，此即为总体平衡方程。1.31.3有限元法求解问题的基本步骤有限元法求解问题的基本步骤确定总体刚度矩阵的方法有三种：1）直接利用总体刚度系数的定义 在求出整体结构中各节点力与节点位移关系的基础上获得总体刚度矩阵。此方法旨在简单情况下才能采用。2）集成法 将整体坐标下的单元刚度矩阵进行迭加而得。这里所说的迭加不是简单的相加，而是将下角标相同的总体刚度系数相加，然后按总码的顺序对号入座。o3）利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵o总体刚度矩阵对角线上的刚度系数 等于在节点i汇

6、交的几个单元的刚度系数 之和；非对角线上的刚度系数 等于联结节点i与节点j间几个单元的刚度系数 之和。确定总体刚度矩阵的方法有三种：o4.4.引入支撑条件，求出各节点的位移引入支撑条件，求出各节点的位移o节点的支撑条件有两种：一种是节点n沿某个方向的位移为零，另一种是节点n沿某个方向的位移为一给定值。o5.5.求出各单元内的应力和应变求出各单元内的应力和应变。1.31.3有限元法求解问题的基本步骤有限元法求解问题的基本步骤1.4 1.4 有限元法求解实例有限元法求解实例o例1 一根由两段组成的阶梯轴，一端固定，另一端承受一个轴向载荷F3。这两段的横截面积分别为 和 ，长度分别为 和 ，弹性模量

7、分别为 和 ，求出这两段的应力和应变。已知数据分别为 F3=100N 1 2 3A(1)E(2)A(2)E(2)L(1)L(2)21F2F323F1F3解：1）离散化）离散化o把这根阶梯轴看成是由两个单元组成的，节点选在截面积突变处，两个单元的连接处是一个节点，该阶梯轴的两端视为另外两个节点，所以整个结构共有三个节点。这根轴是一维结构，并只受轴向载荷，因此各单元内只有轴向位移。三个节点位置的位移量分别记为 、。在整个结构中节点载荷及节点位移均用大写字母标记，其角标为节点在总体结构中的编码，简称总码。2）求单元刚度矩阵）求单元刚度矩阵o下面分析某等截面单元（e）。当两端分别承受两个轴向力 和 作

8、用时的位移情况。根据材料力学的知识可知，在两端节点i、j处的位移量 和 与轴向力 和 的关系式为注意o在分析单元刚度矩阵时，载荷F和位移 等参数的上角标为该单元的编码，下角标为该单元内节点的局部编码。上两式可写成：o或简写为：o式中为单元刚度矩阵或单元特性矩阵，其阶数等于单元中所包含的节点数；o 为单元节点力向量（列阵）；o 为单元节点位移向量（列阵），也为单元自由度列阵；将单元刚度矩阵改写成矩阵的标准形式，则 o（1-5）矩阵中任意一个元素 都称为单元刚度系数，它表示该单元内除节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时在节点i处所引起的载荷Fi。3)总体刚度矩阵的集成和总体平衡方程的写出

9、总体刚度矩阵的集成和总体平衡方程的写出 o该阶梯轴上三个节点位移 和三个节点轴向力 分别组成该整体结构节点位移向量 和节点轴向力 同理，这两向量间的转换关系可表示为 或 o式中的转移矩阵称为总体刚度矩阵或总体特性矩阵，其阶数等于总体结构中的节点总数。oK中的元素 称为总体刚度系数，它表示在整体结构中除了节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时在节点i处所引起的载荷Fi。o求出总体刚度矩阵时进行总体分析的主要任务是一旦获得总体刚度矩阵，可以很容易地写出总体平衡方程。o求总体刚度矩阵K的方法主要有两种：一是直接法，即根据总体刚度系数的定义求解；一是集成法，即由各单元刚度矩阵求总体刚度矩阵。下

10、面分别说明。o根据刚度系数的定义，当本结构中的节点2和节点3位移量均为零时，要使节点1产生单位位移，在节点1处所需施加的载荷为 ，此即为K11；当节点1、3固定，节点2产生单位位移时，在节点1处所引起的载荷为 ，此即为K12；（1）直接法求总体刚度矩阵直接法求总体刚度矩阵K o当节点1、2固定，节点3产生单位位移时，在节点1处不会引起载荷，因此K13=0；当节点1、3固定，节点2产生单位位移时，要在节点2施加的载荷为 ，此即为K22；还可以按此方法依次写出其余各总体刚度系数。因此，总体刚度矩阵为 这种方法具有概念清晰的特点，但是在分析复杂结构时运算极其复杂，因而限制了它的应用。（2）用集成法求

11、总体刚度矩阵K o这种方法从单元刚度矩阵出发，根据迭加原理，利用刚度系数集成的方法获得总体刚度矩阵。这样，首先要写出各单元的刚度矩阵。o由式（1-4），当单元(e)分别为(1)和(2)时，两个单元的刚度矩阵分别为 注意o虽然结构的总变形是由两个单元变形的迭加，但是总体刚度矩阵K并不是两个单元刚度矩阵 和 的简单迭加。在进行这项工作之前，一定要分清节点的两种编码方式：一种为节点的局部编码，单元（e）的两个局部码分别为 和 ；另一种为节点总码，即对结构中全部节点进行统一的编码。在本例中，阶梯轴的三个节点总码分别记为1、2、3。该阶梯轴两种编码的对应关系为 局部码 总码 1223一定要注意，在单元刚

12、度矩阵中 各元素按局部码排列，而总体刚度矩阵K中，各元素按总码排列。集成集成K的步骤为的步骤为：o（1）将原单元刚度矩阵中的各系数总码进行标记，则 （2）将角标相同的系数相加，并按总码的顺序排列，则总体刚度矩阵为总体刚度方程为：从上式可以看出，用两种方法获得的总体刚度矩阵相同。（4）引入支撑条件，计算节点位移 o上式中的未知量 仍不能求出，因为K是一个奇异矩阵，必须引入支撑条件。在本例中支撑条件是节点1的位移为零，即 。这样总体平衡方程简化为 将已知数值代入上面公式解得（5）求单元中的应力及应变 o单元1中的应变：o单元2中的应变：o单元1中的应力：o单元2中的应力：例2o在光滑的水平面上有三

13、个小车，他们彼此用四根弹簧相连，其连接方式如图1-2所示。小车1又通过弹簧k1与墙壁固连。每个小车上的作用力分别为F1、F2、F3。求每个小车的位移。解：（1）结构的离散化o将每根弹簧都看成是一个单元，共有5个单元，将他们按弹簧的编号进行单元编号。三个小车处为三个节点，编码如图。从前面的例子可以看出，对固定节点若无需求出其约束力时，可不予以考虑。（2）各单元的刚度矩阵 o单元1：一端为固定约束，另一端节点总码为1，则o单元2：两端节点总码分别为1和2，则 o单元3：两端节点总码也分别为1和2，则o单元4：两端节点总码分别为1和3，则 o单元5：两端节点总码分别为2和3，则（3）集成总体刚度矩阵（4）由总体平衡方程求节点位移 o o式中o由此可求出三个小车的位移。o练习 P189 1-3题