线性代数课件--第一章 矩阵.ppt

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1、 线线 性性 代代 数数 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 第二章第二章第二章第二章 行列式行列式行列式行列式 第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 第四章第四章第四章第四章 n n n n维向量空间维向量空间维向量空间维向量空间 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 第六章第六章第六章第六章 二次型二次型二次型二次型 第一章 矩阵 第一节第一节第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念 第二节第二节第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算矩阵的运算 第三节第三节第三节第三节 逆矩阵逆

2、矩阵逆矩阵逆矩阵 第四节第四节第四节第四节 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念1.1 矩阵的概念矩阵的概念 矩阵是从数表抽象出来的概念。例如，考察n个变量的线性方程组其各常数aij(i=1,2,m,j=1,2,n)为方程组的系数。方程组系数组成的数表确定了方程组。因此可由该数表来研究方程组。1.1 矩阵的概念 又如，某班同学某学期成绩表组成了一张二维数表，研究该数表可获得该班同学的有关信息。事实上应用数表可研究的问题很多。所以有必要对数表进行研究。学号线代概率英语美学200530001001899286822005300010027685878520053000

3、1030908775771.1 矩阵的概念1.1 矩阵的概念例例1.2 设平面直角坐标系xOy绕原点O旋转角后，得到新的坐标系x1Oy1，如下图所示。平面上一点A在这两个坐标系中的坐标(x,y)和(x1,y1)之间有关系1.1 矩阵的概念例例1.5 甲、乙二人玩掷硬币的游戏。两人同时各掷一枚硬币。若两枚硬币以相同的一面向上，乙付给甲一元，反之甲付给乙一元。则可用如下矩阵表示各种情况下甲的收益，叫做甲的收益矩阵收益矩阵。甲 乙 正面 反面 正面 反面 1 -1 -1 11.1 矩阵的概念矩阵的相等矩阵的相等 若两个mn矩阵A和B的对应元素都相等，即aij=bij(1im,1jn)，称A和B相等，

4、记为A=B。定义定义1.21.2 主对角线，主对角线元主对角线，主对角线元1.1 矩阵的概念(2)对角矩阵对角矩阵1.1 矩阵的概念(3)单位矩阵单位矩阵 主对角线元全是1的对角矩阵称为单单位位矩矩阵阵，n阶单位矩阵记为En。节数n不必要时可省去，这时单位矩阵记为E。1.1 矩阵的概念第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算定义定义1.41.4 矩阵的和矩阵的和1.2 矩阵的运算定义定义1.5 1.5 矩阵的差矩阵的差1.2 矩阵的运算定义定义1.6 1.6 矩阵的数乘矩阵的数乘1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算 由上述举例可

5、知，矩阵乘法与一般数值乘法有以下三点不同：第一，矩阵乘法不满足交换律。AB有意义，BA可能无意义(例1.9)；即使AB和BA都有意义，其行列数未必相同(例1.8)；即使AB和BA都有意义，且其行列数相同，它们未必相等(例1.10)。故一般情况下，ABBA。第二，当AB=0时，不能推出A=0或B=0。如例1.10，AB=0，但AO，BO1.2 矩阵的运算第三，当ABCB且BO时，也不能断定A=C。例如1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算例例1.11 1.11 求对角矩阵A=diag(a1,a2,an),B=diag(b1,b2,bn)的乘积。解解 所以AB仍是

6、对角矩阵，且AB=diag(a1b1,a2b2,an bn)。例例1.12 设A,B是n阶上三角矩阵,试证明AB仍是上三角矩阵。设A,B是n阶下三角矩阵,试证明AB仍是下三角矩阵。1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算例例1.14 某生态公园现有某种鸟类5000只，其中患病的有20%，设每年健康的鸟有20%患病，而患病的鸟有60%治愈。求两年后健康的鸟和患病的鸟各有多少？解：设转移矩阵A为：1.2 矩阵的运算定义定义1.81.8 矩阵的转置矩阵的转置1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算定义定义1.9 1.9 对称矩阵，反对称

7、矩阵对称矩阵，反对称矩阵1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算第三节第三节 逆矩阵逆矩阵 许多实际问题需要研究包含n个未知量x1,x2,xn的线性方程组A=(aij)mn称为(*)的系数矩阵，x=(xj)n1称为(*)的未知数向量，b=(bi)m1称为(*)的常数项向量。则上述线性方程组可写成矩阵方程 Ax=b使用将矩阵乘法看作线性变换的观点，解上述线性方程组就是根据系数矩阵A，从像向量b求出原像向量x。1.3 逆矩阵 解代数方程ax=b时，可在方程两边同乘a-1，解得x=a-1b。可否用类似想法来解矩阵方程？1.3 逆矩阵惟一存在1.3 逆矩阵1.3 逆矩阵1.3 逆矩阵1.3 逆矩阵1.3

8、逆矩阵1.3 逆矩阵第四节第四节 分块矩阵分块矩阵1.4 分块矩阵1.4 分块矩阵1.4 分块矩阵 分块矩阵也可以按普通矩阵的运算方法运算。前提是:所有小矩阵之间的运算有意义所有小矩阵之间的运算有意义。1.4 分块矩阵1.4 分块矩阵1.4 分块矩阵1.4 分块矩阵1.4 分块矩阵1.4 分块矩阵1.4 分块矩阵1.4 分块矩阵1.4 分块矩阵对分块矩阵运算的说明：对分块矩阵运算的说明：(1)分块矩阵的加法和乘法必须有意义。(2)注意分块矩阵乘法的顺序(因矩阵乘法一般不满足交换律)。(3)做分块矩阵的转置运算时，不仅各子矩阵本身要转置，它 们在分块矩阵中也要转置。分块矩阵在矩阵的理论和应用中都

9、是重要的：分块矩阵在矩阵的理论和应用中都是重要的：利用分块矩阵可将矩阵中不同部分各自的规律清楚地表示出来，方便运算或推理。适当的分块有助于理解矩阵的概念。例如，考虑矩阵方程Ax=b，A，x，b分别是mn,n1,m1矩阵，若将A按列分块，则Ax=b可写成由此可把矩阵方程Ax=b转化成向量方程 从两种不同的角度研究同一问题，可使我们对该问题的理解更为透彻。又如，研究ms矩阵A和sn矩阵B。把A按行分块，B按列分块，则AB可写成上式表明AB的(i,j)元素是A的第i行向量ai和B的第j列向量bj的“内积内积”，这一观点在几何上很重要。在计算机理论、电路理论、图论以及经济学等许多实际应用中所研究的矩阵具有分块性，应用分块矩阵研究这些问题更为方便。本章基本要求本章基本要求(1)理解一般矩阵及方阵的概念；理解零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、上(下)三角阵、对称(反对称)矩阵等特殊矩阵的定义。(2)熟练掌握矩阵的线性运算(矩阵的加法与矩阵的数乘)、矩阵的乘法运算、矩阵的转置及其运算规律；理解矩阵运算的实际意义、矩阵运算与数的运算的异同。(3)理解可逆矩阵的概念，熟练掌握可逆矩阵的运算性质。(4)掌握分块矩阵及其运算规律。