线性方程组的解.ppt

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1、34 线性方程组的解 我们知道 n未知数m个方程的线性方程组 可以写成Axb 其中A(aij)x(x1 x2 xn)T b(b1 b2 bm)T 矩阵B(A b)称为线性方程组的增广矩阵 线性方程组如果有解 就称它是相容的 如果无解就称它不相容 上页下页铃结束返回补充例题首页上页下页铃结束返回首页 补充例题v定理1 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n 说明 Axb无解R(A)R(A b)的等价叙述 Axb无解R(A)R(A b)R(A)R(A b)Axb

2、无解 R(A)R(A b)Axb有解 R(A)R(A b)Axb无解 要证明定理 只需证明 R(A)R(A b)Axb无解 R(A)R(A b)nAxb有唯一解 R(A)R(A b)nAxb有无限多解 下页上页下页铃结束返回首页 补充例题v定理2 线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b)v定理3 n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是R(A)n v定理1 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n 上页下页铃结束返回首页 补充例题 当方

3、程组Axb有无限多个解时 其解的形式为v线性方程组的通解 这是方程组的含有参数的解 称为方程组的通解 令xr1c1 xncnr 可得其中xr1 xn是自由未知数 下页 上页下页铃结束返回首页 补充例题v求解线性方程组Axb的步骤 (1)对于非齐次线性方程组 把它的增广矩阵B化成行阶梯形 从 B的 行 阶 梯 形 可 同 时 看 出 R(A)和 R(B)若R(A)R(B)则方程组无解 (2)若R(A)R(B)则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行最简形 (3)设R(A)R(B)r 把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数 其余nr个未知数取作自

4、由未知数 并令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B(或A)的行最简形 即可写出含nr个参数的通解 下页上页下页铃结束返回首页 补充例题对系数矩阵A施行初等行变换 得 解 由此得 或其中c1 c2为任意实数 例1 求解齐次线性方程组 下页 c1 c2 上页下页铃结束返回首页 补充例题 例2 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B施行初等行变换 得 可见R(A)2 R(B)3 故方程组无解 下页上页下页铃结束返回首页 补充例题所以有 例3 求解非齐次线性方程组 解 因为 即 下页(c1 c2R)c1 c2 上页下页铃结束返回首页 补充例题 解 对增广矩阵B施行初等行变换 得 例4 设有线性方

5、程组 此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解 问取何值时 (1)当0且3时 R(A)R(B)3 方程组有唯一解 (2)当0时 R(A)1 R(B)2 方程组有无解 (3)当3时 R(A)R(B)2 方程组有无限多个解 下页上页下页铃结束返回首页 补充例题 解 例4 设有线性方程组 此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解 问取何值时(3)当3时 R(A)R(B)2 方程组有无限多个解 这时 由此得 下页上页下页铃结束返回首页 补充例题v定理4 矩阵方程AXB有解的充分必要件是R(A)R(A B)v定理5 设ABC 则R(C)minR(A)R(B)v定理6 矩阵方程AmnXnl0只有零解的充分必要条件是R(A)n 结束v其它结论