流体力学(第四章 流体动力学基本定理及其应用B).ppt

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1、第四章第四章 流体动力学基本定理及其应用第二节 理想流体的（欧拉）运动微分方程 在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为dx、dy和dz，如图4-1所示。由于是理想流体，没有黏性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐标为x、y、z，压强为p。先分析x方向的运动，在垂直于x轴的左右两个平面中心点上的压强各等于图 4-1 推导欧拉运动微分方程用图 由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的平均压强。设在六面体形心上的单位质量的质量力分量为fx、fy和fz，则作用在微

2、元平行六面体的流体微团上的质量力在轴方向的分量为 fxdxdydz 又流体微团的加速度在x轴上的投影为 ，则根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程 将上式各项除以流体微团的流体质量dxdydz，化简后得：同理 (4-1)这就是理想流体的运动微分方程，早在1755年就为。对于静止的流体u=v=w=0，则由式（4-1）可以直接得出流体平衡微分方程，即欧拉平衡微分方程式。因此欧拉平衡微分方程只是欧拉运动微分方程的一个特例。如果把加速度写成展开式，可将欧拉运动微分方程写成如下形式(4-2)在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、fy和fz 是已知的，对理想不可压缩流体其密度为一常数。在这种情况下，式

3、（3-35）中有四个未知数u、v、w和p，而式（4-2）中有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程，就从理论上提供了求解这四个未知数的可能性。第三节 理想流体微元流束的伯努利方程 一、理想流体微元流束的伯努利方程一、理想流体微元流束的伯努利方程 理想流体的运动微分方程（4-2）只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下：(1)不可压缩理想流体的定常流动；(2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；(3)质量力只有重力。即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。假定流体是定常流动，则有 因此式(4-2)可写成 (4-3)假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz。

4、现用dx、dy和dz分别乘以式（4-3）的第一式、第二式和第三式，则可得到(4-4)由流线微分方程,有 udy=vdx ydz=wdy (4-5)wdx=udz 将式（4-5）代入式（4-4）中的对应项，则得(4-6)将式（3-39）的三个方程相加，得到 (4-7)由于式（4-7）中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微小位移ds的三个分量，所以要沿流线（或微元流束）进行积分。式（3-40)中的 假设质量力只有重力，fx=0，fy=0，fz=-g，即z轴垂直向上，oxy为水平面。则式(4-7)可写成又假设为不可压缩均质流体，即=常数，积分后得 或 (4-8)式（4-8）称为理想流体微元流束的伯努

5、利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围是：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）流动，并沿同一流线（或微元流束）。若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（4-8）也可写成 (4-9)在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(4-8)可以得到静力学基本方程二、方程的物理意义和几何意义二、方程的物理意义和几何意义 为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方程的物理意义和几何意义。1、物理意义 理想流体微元流束的伯努利方程式（4-8）中，左端前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即

6、第一项z表示单位重量流体所具有的位势能；第二项p/(g)表示单位重量流体的压强势能；第三项V2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为m的物体以速度V运动时，所具有的动能为mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为v2/(2g),即(mv2/2)/(mg)=v2/(2g)。所以该项的物理意义为单位重量流体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。因此，伯努利方程可叙述为：理想不理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动重量流体所具有的位势能、压强

7、势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换。以相互转换。所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。2、几何意义 理想流体微元流束的伯努利方程式（4-8）中，左端前两项的几何意义，同样在静力学中已有阐述，即第一项z表示单位重量流体的位置水头，第二项p/(g)表示单位重量流体的压强水头，第三项v2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于具有速度v，在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头。位置水头、压强水头和速度水

8、头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系，如图4-2所示。图 4-2 总水头线和静水头线 因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，即总水头是一常数。第四节 伯努利（Bernoulli）方程的应用 理想流体微元流束的伯努利方程，在工程中广泛应用于管道中流体的流速、流量的测量和计算，下面以应用最广泛的皮托管和文特里流量计为例，介绍它们的测量原理和伯努利方程的应用。一、皮托管一、皮托管 在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然后求

9、出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如图4-3所示。VBAZZ图 4-3 皮托管测速原理 在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。将测速管（又称皮托管）的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h。这是由于当液流流到测速管入口前的A点处，液流受到阻挡，流速变为零，则在测速管入口形成一个驻点A。驻点A的压强PA称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如B点）的液体压强为 PB，速度为v。应用伯努利方程于同一流线上的、两点，则有则 (4-10)式（4-10）表

10、明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比用式(4-10)计算出的要小，因此，实际流速为 (4-11)式中 流速修正系数，一般由实验确定，=0.97。黑体的半球全发射力为 该式称为 Stefan-Boltzmann定律，是热辐射四次方定律的表达式二，基尔霍夫定律(实际物体的辐射特性和吸收特性的关系)l实际物体的黑度（发射率）实际物体的辐射力与同温度下黑体辐射力的比值。实际物体的吸收率 取决于吸收物体的种类、表面温度和表面状况和投射辐射的特性。物体对某一波长的辐射能所吸收的百分数被定义为单色吸收率.灰体也是一种

11、假定的理想物体。在红外线范围内，可把实际物体近似看作灰体，给工程计算带来方便。图1-10 推导基尔霍夫定律的简图基尔霍夫定律的证明：由(1-21)式和(1-22)式相除，可得这就是基尔霍夫定律。一个物体的辐射能与同温度下黑体的辐射能之比等于它的吸收率。(这一比值正是该物体发射率的定义)，即(1-23)式称为基尔霍夫恒等式。基尔霍夫定律的表述：l在热平衡的条件下，任何物体的辐射力和它对来自黑体辐射的吸收率的比值，恒等于同温度下黑体的辐射力。l由此得出的结论：l1，在同温度下，物体的辐射力越大，吸收率也越大；l2，所有实际物体的吸收率均小于1，所以，在同温度下，黑体的辐射力最大。小结 The End