数值分析 课件.ppt

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1、4.4.1 1求积公式求积公式 4.4.1.1 1.1 求积公式求积公式结束结束对定义在区间对定义在区间a,b上的定积分上的定积分以上公式多称为牛顿以上公式多称为牛顿-莱布尼兹公式，莱布尼兹公式，F(x)为为f(x)的原函数的原函数.但有但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于求出或计算求出或计算.如被积函数为如被积函数为:第四章第四章 数值积分数值积分等函数的积分都无法解决，当被积函数为一组数据时，更是无等函数的积分都无法解决，当被积函数为一组数据时，更是无能为力能为力.为解决定积分的近似计算为解决定积分的近似计算,从定

2、积分的定义：从定积分的定义：这样就避开了求原函数的运算这样就避开了求原函数的运算.(4.1)式就叫做求积公式，式就叫做求积公式，Ak(k=0,1,n)与函数与函数f(x)无关，叫做求积系数无关，叫做求积系数,显然要确定一显然要确定一个求积公式，要确定求积结点个求积公式，要确定求积结点xk和求积系数和求积系数Ak，或者说不同的求或者说不同的求积结点和求积系数将确定不同的求积公式积结点和求积系数将确定不同的求积公式.结束结束结束结束4.1.2 求积公式的余项和代数精度求积公式的余项和代数精度一般情况下，一般情况下，(4.1)两端并不相等两端并不相等.我们称我们称:(4.2)为求积公式为求积公式(4

3、.1)的的余项余项，或，或截断误差截断误差.为考查一个求积公式的误差，通常用为考查一个求积公式的误差，通常用代数精度代数精度来表示，如果一来表示，如果一个求积公式对于不超过个求积公式对于不超过m次的多项式都能够精确成立次的多项式都能够精确成立(Rf0)，而对而对m+1次以上的多项式不能精确成立，则称该求积公式的代次以上的多项式不能精确成立，则称该求积公式的代数精度为数精度为m.结束结束例如求积公式例如求积公式：验证当验证当 f(x)=xm，m=0,1,2,3,4 时，是否有时，是否有Rxm=0所以以上求积公式的代数精度为所以以上求积公式的代数精度为 3 3.任何一个求积公式的代数精度至少为零任

4、何一个求积公式的代数精度至少为零即取即取f(x)=1)=1时公时公式应精确成立，这是求积系数应满足的起码条件，可以用它式应精确成立，这是求积系数应满足的起码条件，可以用它检验一个求积公式的系数的正确性检验一个求积公式的系数的正确性.4.4.1.3 1.3 矩形求积公式矩形求积公式f(x)=)=f(a)+)+f()()(x-a)，在在x,a之间之间,两端积分：两端积分：把把 f(x)在在a处作处作TaylorTaylor展开展开:结束结束结束结束注意到右端第二项积分，设注意到右端第二项积分，设f(x)在在a,b上连续，而上连续，而x-a在在 a,b上不变号上不变号(非负非负)，据，据积分中值定理

5、积分中值定理有：有：于是有于是有左矩形公式左矩形公式：同理同理,f(x)在在b点展开点展开,可得可得右矩形公式右矩形公式:结束结束f(x)在中点在中点(a+b)/2展开展开,可得可得中矩形公式中矩形公式:不难验证，不难验证，(4.3)和和(4.4)具有零次代数精度，具有零次代数精度，(4.5)具有一次具有一次代数精度代数精度.结束结束4.1.4 内插求积公式内插求积公式由插值可知，对任一函数由插值可知，对任一函数f(x)(包括表格形式的函数包括表格形式的函数)可用一可用一n次多次多项式对其插值，即项式对其插值，即当当Pn(x)为为拉格朗日插值多项式时，即拉格朗日插值多项式时，即结束结束其中其中

6、:通常将公式通常将公式(4.(4.6)6)叫做叫做内插求积公式内插求积公式.4.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式为便于上机计算，通常在内插求积公式中取等距节点，即将为便于上机计算，通常在内插求积公式中取等距节点，即将积分区间积分区间a,bn等分，即令等分，即令h=(b-a)/n，且记且记x0=a,xn=b，则节则节点为点为xk=x0+kh(k=0,1,n)，作变换作变换:t=(x-x0)/h，代入求积系代入求积系数公式：数公式：结束结束这种由等距节点的内插求积公式通常叫做这种由等距节点的内插求积公式通常叫做牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式,下面介绍几个常用的公式下面介绍几个常用的公式:取取a=

7、x0,b=x1,(即即n=1)，代入代入(4.9)式式得得4.2.1 梯形公式梯形公式所以梯形公式为所以梯形公式为结束结束结束结束这是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积，对梯形公式的误差这是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积，对梯形公式的误差估计有如下定理：估计有如下定理：定理定理 4.4.1 1 设设f(x)为二阶连续可微函数，则梯形求积公式的余为二阶连续可微函数，则梯形求积公式的余项为项为 (证明证明)其中其中h=b-a，记成上面形式是为以后复化求积公式余项的一致记成上面形式是为以后复化求积公式余项的一致性性.由余项公式立刻可以看出梯形公式的代数精度为由余项公式立刻可以看出梯形公式的代数精度为

8、1.1.结束结束例例1 1 利用梯形公式计算利用梯形公式计算解解:4.4.2.2 2.2 抛物形（辛卜生）公式抛物形（辛卜生）公式取取a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(,(即即n=2)=2)，代入代入(4.(4.9)9)式得式得结束结束所以抛物形公式为所以抛物形公式为其中其中h=(b-a)/2,上式也可写成上式也可写成:结束结束抛物形公式通常也称为辛普生公式，抛物形公式是用抛物线围抛物形公式通常也称为辛普生公式，抛物形公式是用抛物线围成的曲边梯形近似代替成的曲边梯形近似代替f(x)围成的曲边梯形围成的曲边梯形.定理定理4.4.2 2 设设 f(x)C)C4 4 a,b，则辛普生公式的

9、误差估计为则辛普生公式的误差估计为:直接可以验证直接可以验证抛物形公式代数精度为抛物形公式代数精度为3 3(对对f(x)为三次以下多项为三次以下多项式精确成立式精确成立).).例例2 2 利用抛物形公式计算利用抛物形公式计算解解:结束结束(4.9)式给出式给出4.2.3 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式其中其中:可以看出，可以看出，C(n)k不依赖函数不依赖函数f(x)和积分区间和积分区间a,b，可以事先计可以事先计算出来，通常叫做算出来，通常叫做牛顿牛顿-柯特斯系数柯特斯系数，下面给出，下面给出n从从16的牛顿的牛顿-柯特斯系数表柯特斯系数表4-1：结束结束n11/21/221/64/61/6

10、31/83/83/81/847/9032/90 12/90 32/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840表表4-4-1 1结束结束对牛顿对牛顿-柯特斯公式，当柯特斯公式，当f(x)C na,b，f(n+1)(x)在在a,b上存在时，求积公式的余项为上存在时，求积公式的余项为:对对f(x)为任何不超过为任何不超过n次的多项式，均有次的多项式，均有f(n+1)(x)0，因而因而Rnf0，也就是说，牛顿也就是说，牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为柯特斯公式的代数精

11、度至少为n.我们可以证明我们可以证明当当n为偶数时，牛顿为偶数时，牛顿-柯特斯公式的代数精度可柯特斯公式的代数精度可达到达到n+1.证明证明:令令n=2k,设设为任一为任一n+1次多项式，其最高次系数为次多项式，其最高次系数为an+1，则它的则它的n+1阶导数为阶导数为结束结束下面我们证明下面我们证明作变换作变换u=t-k，则则结束结束容易验证容易验证(u)为奇函数，即为奇函数，即(-u)=-(u),而而奇函数在对称区间奇函数在对称区间上的积分为零，所以上的积分为零，所以也就是说，当也就是说，当n为偶数时，牛顿为偶数时，牛顿-柯特斯公式对不超过柯特斯公式对不超过n+1次次的多项式均能精确成立，

12、因此，其代数精度可达到的多项式均能精确成立，因此，其代数精度可达到n+1.正是正是基于这种考虑，当基于这种考虑，当n=2k与与n=2k+1时具有相同的代数精度，因时具有相同的代数精度，因而在实用中常采用而在实用中常采用n为偶数的牛顿为偶数的牛顿-柯特斯公式，如抛物形公柯特斯公式，如抛物形公式式(n=2)等等.4.4.3 3 复化求积公式复化求积公式 从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数所用的插从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也越高值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也越高.另一方面，另一方面，插值节点的增多插值节点的增多(n的增大的增

13、大)，在使用牛顿，在使用牛顿-柯特斯公式时将导致柯特斯公式时将导致求积系数出现负数求积系数出现负数(当当n88时时,牛顿牛顿.柯特斯求积系数会出现负数柯特斯求积系数会出现负数)因而在实际应用中往往采用因而在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或抛物形梯形公式或抛物形公式公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想.为叙为叙述方便，

14、我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复述方便，我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复化求积公式化求积公式对各小区间也可分别采用不同的求积公式，也对各小区间也可分别采用不同的求积公式，也可推出新的求积公式，读者可按实际问题的具体情况讨论可推出新的求积公式，读者可按实际问题的具体情况讨论结束结束4.3.1.复化梯形公式复化梯形公式用用n+1个分点将区间个分点将区间a，bn等分。每个区间长等分。每个区间长 在在xk，xk+1上用梯形公式，则上用梯形公式，则结束结束Tn叫做叫做复化梯形求积公式复化梯形求积公式，下标，下标n表示将积分区间等分的份数表示将积分区间等分的份数.从公式的特点可

15、以看出，内节点从公式的特点可以看出，内节点xk(k=1,2,n-1)作为小区间的作为小区间的端点参与前、后两个小区间的计算，因而系数为端点参与前、后两个小区间的计算，因而系数为2，端点，端点a与与b只只参与一次计算，系数为参与一次计算，系数为1.如果在如果在Tn的基础上，将各小区间对分，这时节点数为的基础上，将各小区间对分，这时节点数为2n+1，分分段数为段数为2n.记新的分点的函数值的和为记新的分点的函数值的和为n，则则T2n应为原内节应为原内节点与新增节点函数值的和的两倍，加上两端点点与新增节点函数值的和的两倍，加上两端点a,b的函数值之和的函数值之和再乘上新区间长度的一半，即再乘上新区间

16、长度的一半，即结束结束从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化梯形公式的值从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化梯形公式的值Tn作为一个整体保留作为一个整体保留.只需计算出新分点的函数值，便可得出对分只需计算出新分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重复计算原节点的函数值，从而减少了计算后的积分值，不需重复计算原节点的函数值，从而减少了计算量量.结束结束定理定理4.3 设设 f(x)C2a,b，复化梯形公式的截断误差复化梯形公式的截断误差这一复化梯形求积公式的余项在形式上与这一复化梯形求积公式的余项在形式上与(4.13)式相同，不式相同，不同的是，这里的同的是，这里的h=(b-a)/n，

17、而而(4.13)式中的式中的h=b-a.利用复化求积公式的余项，我们可以估计出在满足精度的要利用复化求积公式的余项，我们可以估计出在满足精度的要求下，应将积分区间等分多少份，即求下，应将积分区间等分多少份，即n取多少取多少.这种误差估计这种误差估计方法称为事前误差估计方法称为事前误差估计.如例如例4.3 例例3 3 利用复化梯形公式计算利用复化梯形公式计算 使其误差限为使其误差限为1010-4-4，应将区间，应将区间0,10,1几等分几等分?结束结束解解:因为被积函数因为被积函数取取n=17=17可满足要求可满足要求.结束结束另一方法是利用公式前后两次计算结果的差来估计误差的，另一方法是利用公

18、式前后两次计算结果的差来估计误差的，即用即用T2n-Tn,这是因为这是因为当当 f (x)在在a,b上连续，并且假定当上连续，并且假定当n充分大时充分大时有有 f()f()，则则结束结束这种误差估计方法通常叫做这种误差估计方法通常叫做事后误差估计事后误差估计，在计算机上用来，在计算机上用来控制计算精度常用这一方法，有的也把这种方法叫做步长的控制计算精度常用这一方法，有的也把这种方法叫做步长的自动选取或自动选取或逐次对分的方法逐次对分的方法.因此当因此当T2n-Tn时，可认为时，可认为结束结束4.4.3.2 3.2 复化抛物形公式复化抛物形公式 将积分区间将积分区间 a,b 分为分为 2 2m

19、等分，等分，n=2=2m，节点为节点为 xk k=a+kh(k=0,1,2,2=0,1,2,2m)，h=(b-a)/2m.在每两个小区间在每两个小区间x2 2k k,x2 2k k+2+2(k=0,1,2,=0,1,2,m-1)-1)上用抛物形公式，则有上用抛物形公式，则有:结束结束S2 2m m叫做叫做复化抛物形求积公式复化抛物形求积公式，下标，下标2 2m表示积分区间等分的份数，表示积分区间等分的份数，2 2m强调为偶数份强调为偶数份.公式的特点为节点公式的特点为节点x2k,(k=1,2,m-1)作为小区间作为小区间x2k,x2k+2的的端点，参与前后两次的辛普生公式的计算，因而系数为端点

20、，参与前后两次的辛普生公式的计算，因而系数为 2，而，而奇数节点奇数节点x2k+1,(k=0,1,m-1)因辛普生公式中间点的求积系数因辛普生公式中间点的求积系数为为4而保留而保留4，前面的，前面的h/3为辛普生公式的公共求积系数为辛普生公式的公共求积系数.定理定理4.4 设函数设函数f(x)C4a,b，则则结束结束例例4 利用复化抛物形公式计算利用复化抛物形公式计算 使其误差限为使其误差限为10-4，应将区间，应将区间0,1几等分几等分?解解:利用例利用例3的结果的结果因此只需将区间因此只需将区间0,1二等分，即取二等分，即取m=1(n=2).结束结束前面用复化梯形公式计算此题，满足相同的精

21、度需要将区间前面用复化梯形公式计算此题，满足相同的精度需要将区间 0,117等分，可见复化抛物形公式的精度的确比复化梯形等分，可见复化抛物形公式的精度的确比复化梯形公式精度高同样也可用公式精度高同样也可用 S4m-S2m来控制计算的精度来控制计算的精度.4.4 龙贝格龙贝格(Romberg)求积公式求积公式4.4.1 复化梯形公式的逐次分半公式复化梯形公式的逐次分半公式我们已知的我们已知的T2n与与Tn的关系的关系结束结束于是可以逐次对分形成一个序列于是可以逐次对分形成一个序列T1,T2,T4,T8,此此序列收敛序列收敛于积分真值于积分真值 I.当当|T2n-Tn|时时,取取T2n为为I的近似

22、值的近似值.以上算法称以上算法称为为复化梯形公式的逐次分半公式复化梯形公式的逐次分半公式.但由于此序列收敛太慢但由于此序列收敛太慢,因因此并不实用此并不实用.现我们试图将它改造成为收敛快的序列现我们试图将它改造成为收敛快的序列.如认为如认为则有则有结束结束于是有于是有:记记这样我们从收敛较慢的这样我们从收敛较慢的Tn序列推出了收敛较快的序列推出了收敛较快的Sn序列序列.可可以证明以证明Sn序列实际上就是逐次分半的复化抛物形公式序列序列实际上就是逐次分半的复化抛物形公式序列.如认为如认为则有则有于是有于是有:记记这样我们从这样我们从Sn序列又推出了收敛更快的序列又推出了收敛更快的Cn序列序列.可

23、以证明可以证明Cn序列实际上就是逐次分半的复化柯特斯公式序列序列实际上就是逐次分半的复化柯特斯公式序列.结束结束如认为如认为则有则有于是有于是有:记记 这样我们从这样我们从Cn序列又推出了收敛更快的序列又推出了收敛更快的Rn序列序列.Rn序序列也称为龙贝格序列列也称为龙贝格序列.这样我们从收敛较慢的这样我们从收敛较慢的Tn序列只用了一序列只用了一些四则运算些四则运算,便推出了收敛更快的便推出了收敛更快的Sn序列序列,Cn序列和序列和Rn序序列列.这个过程还可继续下去这个过程还可继续下去,但已意义不大但已意义不大.我们常将这四个序我们常将这四个序列排成如下的三角形数表列排成如下的三角形数表(表表

24、4-2)结束结束T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2表表4-4-2 2该表四个序列都是收敛的该表四个序列都是收敛的.结束结束例例5 利用龙贝格方法计算利用龙贝格方法计算解解:计算结果列如下表计算结果列如下表:i2iT序列序列 S序列序列 C序列序列 R序列序列013.00000123.100003.13333243.131183.141573.14212383.138993.141593.141593.141594163.140943.141593.141593.14159这一结果与这一结果与I=相比较已有较好的精度相比较已有较好的精度.结束结束4.5 高斯型求积公式高斯

25、型求积公式由前面的讨论已经知道，以由前面的讨论已经知道，以a=x0 x1xn=b为节点的为节点的N-C求积求积公式的代数精度一般为公式的代数精度一般为n或或n+1,这时节点简单地按照闭式等距的这时节点简单地按照闭式等距的方式确定。对一个求积公式而言，如果不固定节点的位置，在节方式确定。对一个求积公式而言，如果不固定节点的位置，在节点数目不变的情况下，代数精度能否提高，最多能达到多少点数目不变的情况下，代数精度能否提高，最多能达到多少?高高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的求积公式斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的求积公式.先看一个简先看一个简单的例子，考虑两个节点的求积公式单的例子，考虑两

26、个节点的求积公式.4.5.1 最高代数精度的求积公式最高代数精度的求积公式结束结束这里积分区间选为这里积分区间选为-1,1 不失一般性，因为对区间不失一般性，因为对区间a,b，总总可用变量替换可用变量替换将将化为化为-1,1上的积分上的积分.从而用（从而用（4.35）式得到解决。）式得到解决。现在不固定节点现在不固定节点x0,x1的位置为区间端点的位置为区间端点-1,1，而允许取在，而允许取在(-1,1)内，即选取内，即选取 x0,x1及及A0，A1，使使(4.35)具有最高的代数精度具有最高的代数精度.为为 此，分别取此，分别取 代入代入(4.35)式，得式，得方方 程组程组结束结束 取前四

27、个方程构成此方程组是因为只有取前四个方程构成此方程组是因为只有 4个待定数个待定数x0,x1，A0,A1，即即代数精度代数精度m=3.方程组方程组(4.36)有一组解为有一组解为即求积公式即求积公式具有的代数精度为具有的代数精度为 3结束结束从上面这一简单的例子可以看到，节点数目不变的情况下，求从上面这一简单的例子可以看到，节点数目不变的情况下，求积公式的代数精度是可以提高的积公式的代数精度是可以提高的.下面就对一般问题进行讨论，下面就对一般问题进行讨论，即当节点数目为即当节点数目为n+1时，求积公式的代数精度最高能达多少，怎时，求积公式的代数精度最高能达多少，怎样才能达到这一最高的代数精度样

28、才能达到这一最高的代数精度.设节点为设节点为x0,x1,xn，求积公式为：求积公式为：共共2n+2未知参数未知参数,可列可列2n+2个方程个方程,由此可以推设在由此可以推设在n+1个节点个节点上的求积公式，其代数精度最多为上的求积公式，其代数精度最多为2n+1，即即(4.38)的代数精度的代数精度可以达到可以达到2n+1.通常确定节点通常确定节点xk与求积系数与求积系数Ak不是通过解非线性不是通过解非线性方程组，而是利用方程组，而是利用正交多项式正交多项式的性质来求得的的性质来求得的.下面讨论更一下面讨论更一般情况的高斯型求积公式般情况的高斯型求积公式结束结束其中其中(x)00为权函数，为使此

29、公式对为权函数，为使此公式对f(x)为不超过为不超过2 2n+1+1次次的多项式时能精确成立，记的多项式时能精确成立，记:用用(x)去除去除 f(x)，则可表示成则可表示成其中，其中，q(x)为商，为商，r(x)为余，为余，q(x),),r(x)均为不超过均为不超过n次的次的多项式，于是有多项式，于是有结束结束如果对任何不超过如果对任何不超过 n次的多项式次的多项式 q(x)都有都有又因为又因为则则结束结束即求积公式即求积公式(4.(4.40)40)对不超过对不超过 2 2n+1+1次的多项式能精确成立次的多项式能精确成立,而而满足条件满足条件(4.(4.43)43)只需只需 q(x)与与(x

30、)为区间为区间a,b上关于权函上关于权函数数(x)正交，若正交，若取节点取节点xk k(k=0,1,2,=0,1,2,n)恰为此正交多项式恰为此正交多项式系中系中n+1+1次多项式的次多项式的n+1+1个零点个零点，而由正交多项式的性质可知，而由正交多项式的性质可知这些根均为实根，无重根，且全部分布在这些根均为实根，无重根，且全部分布在(a,b)内内这样，这样，对对于给定的权函数总能构造出关于此权函数在于给定的权函数总能构造出关于此权函数在a,b区间上的区间上的正交多项式系正交多项式系Pk k(x)，然后取其第然后取其第n+1+1次多项式的次多项式的n+1+1个零个零点作为高斯型求积公式的节点

31、点作为高斯型求积公式的节点.节点确定之后，再按下面的公节点确定之后，再按下面的公式计算高斯型积分公式的求积系数式计算高斯型积分公式的求积系数:结束结束这里这里,l k k(x)就是拉格朗日插值基函数就是拉格朗日插值基函数.对高斯型求积公式的截断误差有如下结果对高斯型求积公式的截断误差有如下结果定理定理4.4.5 5 设设f(x)C)C2n+22n+2 a,b，则高斯型求积公式的截断误差为则高斯型求积公式的截断误差为还可进一步证明：还可进一步证明：只要函数只要函数f(x)在在a,b上连续，则当上连续，则当n时，时，高斯型求积公式将收敛于积分值高斯型求积公式将收敛于积分值.高斯型求积公式的优点是代

32、数高斯型求积公式的优点是代数精度高，但是节点和求积系数的计算比较麻烦精度高，但是节点和求积系数的计算比较麻烦.为使用方便，将为使用方便，将某些常见的正交多项式系的节点与求积系数事先算出列成数表，某些常见的正交多项式系的节点与求积系数事先算出列成数表，这样在选定节点数目时，便可根据不同的权函数直接查表求得求这样在选定节点数目时，便可根据不同的权函数直接查表求得求积公式的节点及求积系数，而不必每次都用正交条件去求节点和积公式的节点及求积系数，而不必每次都用正交条件去求节点和相应的求积系数相应的求积系数.结束结束高斯型求积公式在计算含高斯型求积公式在计算含e e-x，e e-x2 2等因子的广义积分

33、时十分有用等因子的广义积分时十分有用这是其它方法不可比拟的这是其它方法不可比拟的4.4.5.2 5.2 几个常用的高斯型求积公式几个常用的高斯型求积公式下面我们给出几种常用的高斯型求积公式的节点与相应的系数表下面我们给出几种常用的高斯型求积公式的节点与相应的系数表1.1.高斯高斯-勒让德勒让德(Gauss-Legendre)Gauss-Legendre)求积公式求积公式高斯高斯-勒让德求积公式是古典的高斯求积公式，通常就叫做高斯勒让德求积公式是古典的高斯求积公式，通常就叫做高斯求积公式求积公式.它以它以-1,1-1,1上关于权函数上关于权函数(x)1)1的勒让德多项式的勒让德多项式为正交多项式

34、系为正交多项式系Pk k(x),(,(其中其中P0 0(x)=1)=1)结束结束表表4-4-4 4给出了给出了Gauss-Legendre Gauss-Legendre 求求积公式在积公式在n=2=28 8时的节点与对时的节点与对应的系数应的系数.例例6 6 利用两点利用两点Gauss-Legendre Gauss-Legendre 求求积公式计算积公式计算解解:因为因为为偶函数为偶函数高斯求积公式的截断误差为高斯求积公式的截断误差为结束结束2.高斯高斯-拉盖尔拉盖尔(Gauss-Laguerre)求积公式求积公式该公式以该公式以0,+)区间上，关于权函数区间上，关于权函数(x)=e-x的拉盖

35、尔多项的拉盖尔多项式式为正交多项式系为正交多项式系Lk(x)(其中其中L0(x)=1)，求积节点求积节点xk和系数和系数Ak由表由表4-5.结束结束使用不同的使用不同的n值，下列对值，下列对n=2,3,4,5=2,3,4,5的计算结果列于下表的计算结果列于下表例例7 7 利用利用Gauss-Lagurerre Gauss-Lagurerre 求求积公式计算积公式计算n2345I0.4324590.4960300.5048790.498093Gauss-Lagurerre Gauss-Lagurerre 求求积公式截断误差为：积公式截断误差为：(I的精确值为的精确值为0.5)0.5)结束结束3.

36、高斯高斯-埃尔米特埃尔米特(Gauss-Hermite)求积公式求积公式该公式以该公式以(-,+)上关于权函数上关于权函数(x)=e-x2的埃尔米特多项式的埃尔米特多项式为正交多项式系为正交多项式系Hk(x)(其中其中H0(x)=1)，求积节点求积节点xk和系和系数数Ak由表由表4-7.高斯埃尔米特求积公式截断误差为：高斯埃尔米特求积公式截断误差为：结束结束使用不同的使用不同的 n 值，下列对值，下列对n=2,3,4,5的计算结果列于下表的计算结果列于下表例例8 利用利用 Gauss-Hermite 求求积公式计算积公式计算n2468I0.7480260.5655100.5602550.560

37、202I 0.560 202 28结束结束本章介绍的几种求积方法各具特点：本章介绍的几种求积方法各具特点：(1)(1)梯形和抛物形求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较梯形和抛物形求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较 差的被积函数有时效果比用高精度的方法还好，再加上公差的被积函数有时效果比用高精度的方法还好，再加上公 式简单，因而使用非常广泛式简单，因而使用非常广泛.特别在计算机上，复化的梯形特别在计算机上，复化的梯形 公式和抛物形公式便于采用逐次对分的方法，计算程序十公式和抛物形公式便于采用逐次对分的方法，计算程序十 分简单分简单.(2)(2)龙贝格求积方法，其算法简单，程序也便于实现，且

38、当节龙贝格求积方法，其算法简单，程序也便于实现，且当节 点加密时，前面的计算结果直接参与后面的计算，因而大点加密时，前面的计算结果直接参与后面的计算，因而大 大减少了计算量大减少了计算量.此方法的一个最大缺点是节点的增加是此方法的一个最大缺点是节点的增加是 成倍的成倍的.结束结束(3)(3)高斯型求积公式，该方法是最高代数精度的求积方法，高斯型求积公式，该方法是最高代数精度的求积方法，但它的节点和求积系数都没有规则，当节点增加时，前但它的节点和求积系数都没有规则，当节点增加时，前 面的计算结果不能被利用，只能重新计算面的计算结果不能被利用，只能重新计算.因此上机计算因此上机计算 时，需要事先输入节点数和各种高斯型求积公式的节点与时，需要事先输入节点数和各种高斯型求积公式的节点与 系数表系数表.它的最大优点是适用于某些无穷区间上的广义积分它的最大优点是适用于某些无穷区间上的广义积分 的计算的计算.结束结束