结构化学第一二章习题解答.ppt

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1、例例1 1：子弹的质量为：子弹的质量为0.01kg 0.01kg，运动速度为，运动速度为1000m/s1000m/s，电子，电子质量为质量为9.11 109.11 10-31-31 kgkg，运动速度为，运动速度为5 105 106 6m/s m/s，试求子弹，试求子弹和电子的和电子的de Broglie de Broglie 波长。波长。经经典典物物理理中中的的波波与与量量子子力力学学中中的的态态都都遵遵从从叠叠加加原原理理，两两者者在在数数学学形形式式上上完完全全相相同同，但但在在物物理理本本质质上上则则完完全全不不同同。经经典典波波，如如光光波波、声声波波等等几几个个波波同同时时在在空空

2、间间某某点点相相遇遇，各各个个波波在在该该点点引引起起振振动动的的线线性性叠叠加加。一一般般导导致致一一个个新新的的波波，具具有有新新的的特点。德布罗意波的叠加，例如两个波的叠加特点。德布罗意波的叠加，例如两个波的叠加=c11+c22假假如如体体系系处处于于1所所描描述述的的状状态态下下，测测量量某某力力学学量量A所所得得结结果果是是个个确确定定值值a，又又假假设设在在2所所描描述述的的状状态态下下，测测量量A的的结结果果为为另另一一确确定定值值b，则则在在状状态态下下测测量量A的的结结果果，绝绝对对不不是是a、b以以外外的的新新值值，而而可可能能为为a，也也可可能能为为b，究究竟竟是是哪哪一

3、一个个值值，不不能能肯肯定定，但但测测到到a或或b的的几几率率则则完完全全确确定定，分分别别为为|c1|2或或|c2|2。量子力学中态的叠加导致在叠加态下测量结果的不确定性。量子力学中态的叠加导致在叠加态下测量结果的不确定性。量量子子力力学学这这种种态态的的叠叠加加与与经经典典波波叠叠加加概概念念之之所所以以有有本本质质的的不同，在于实物粒子的波粒二象性不同，在于实物粒子的波粒二象性有关态叠加原理的解释有关态叠加原理的解释例例2：已知类氢离子已知类氢离子sp3杂化轨道的一个波函数为：杂化轨道的一个波函数为：求这个状态的角动量平方平均值的大小。求这个状态的角动量平方平均值的大小。根据正交归一化条

4、件根据正交归一化条件解解1：解解2：例例3.势箱模型在化学中的应用势箱模型在化学中的应用1.1.光波粒二象性的关系式为光波粒二象性的关系式为 。2.2.德布罗意关系式为德布罗意关系式为 ；宏观物体的；宏观物体的值比微观物体的值比微观物体的值值 E=hvp=h/v=E/h =h/p 小小习题：习题：3.计计算算动动能能为为300eV的的电电子的德布子的德布罗罗意波意波长长.解解:已知常数已知常数h=6.626 10-34J/sm=9.11 10-31g1eV=1.602 10-19J因此因此=7.0810-9(cm)由由4.测测不准原理的另一种形式不准原理的另一种形式为为Et h/4当一个当一个

5、电电子从高能子从高能级级向向低能低能级跃级跃迁迁时时，发发射一个能量子射一个能量子hv，若激若激发态发态的寿命的寿命为为10-9s，试问试问v 的偏差是多少？由此引起的偏差是多少？由此引起谱线宽谱线宽度是多少度是多少(单单位位cm-1)？E=h/4t=(hv)=h v v=1/(4t)=1/(4 10-9)=7.96107s-1 =v/c=7.96107s-1/31010cms-1=2.6510-3cm-15下列函数中下列函数中(A)coskx(B)e-bx(C)e-ikx(D)(1)哪些是哪些是的本征函数；的本征函数；-()(2)哪些是哪些是的本征函数；的本征函数；-()(3)哪些是哪些是和

6、和的共同本征函数。的共同本征函数。-()BCABCBC6.维生素维生素A有有5个双键，在个双键，在332nm处有一吸收峰，试处有一吸收峰，试用一维深势阱模型估算维生素用一维深势阱模型估算维生素A的共轭链长。的共轭链长。答：维生素答：维生素A中每个双键提供一对中每个双键提供一对电子，共有电子，共有10个个电子，在电子，在基态时电子两两配对，共占据五个基态时电子两两配对，共占据五个分子轨道。分子轨道。分子的最低激发能是将电子从第五个分子的最低激发能是将电子从第五个分子轨道激发到第六个分子轨道激发到第六个分子轨道所吸收的能量分子轨道所吸收的能量由此可计算出不同链长对应的吸收波长，能较好的与实验相符。

7、由此可计算出不同链长对应的吸收波长，能较好的与实验相符。花菁染料的吸收光谱花菁染料的吸收光谱（水溶性染料）（水溶性染料）电子数：电子数：HOMO:第第r+2个轨道（相当于第个轨道（相当于第n 个）个）LUMO:第第r+3个轨道（相当于第个轨道（相当于第n+1个）个）CH7.CHCHN+R2()rR2N当当r=3时，势箱长度约为时，势箱长度约为1.30nm，估算，估算 电子跃迁时所吸收的电子跃迁时所吸收的最大波长，并与实验值最大波长，并与实验值510nm比较。比较。已已知知一一维维长长度度为为a的的势势箱箱中中粒粒子子的的归归一一化化波波函函数为：数为：式中式中x是粒子的坐标（是粒子的坐标（0

8、x a）。）。计算：（计算：（a）粒子坐标的平均值；粒子坐标的平均值；（b）粒子动量的平均值。粒子动量的平均值。8.解解：（a）由于）由于无本征值，无本征值，只能求粒子坐标的平均值：只能求粒子坐标的平均值：粒粒子子的的平平均均位位置置在在势势箱箱的的中中央央，说说明明它它在在势势箱箱左左、右右两两个个半半边出现的几率各为边出现的几率各为0.5，即，即图形对势箱中心点是对称的。图形对势箱中心点是对称的。(b)由由于于无无本本征征值值.可可按按下下式式计计算算的的平平均值。均值。共有共有11个微观状态个微观状态解：根据能级公式，立方势箱的态分布具有如下形式：解：根据能级公式，立方势箱的态分布具有如

9、下形式：求立方势箱能量求立方势箱能量 的可能的运动状态数。的可能的运动状态数。9.a决定体系轨道角动量与轨道磁矩的大小决定体系轨道角动量与轨道磁矩的大小;b决定轨道的形状，且与节点数有关决定轨道的形状，且与节点数有关;径向节面径向节面数为数为n-l-1；角向节面数为；角向节面数为l;c在多电子体系中，在多电子体系中，l 与能量有关；与能量有关；d d 对应不同亚层对应不同亚层 l=0(s)=0(s)，1(p)1(p)，2(d)2(d)，3(f)3(f)例例1 1：已知：已知 H H 原子的某个原子轨道函数原子的某个原子轨道函数 试计算：试计算：(1)(1)原子轨道能量原子轨道能量E E；(2)

10、(2)轨道角动量轨道角动量|M M|和和轨道磁矩轨道磁矩|；(3)(3)轨道角动量和轨道角动量和z z轴之间的夹角。轴之间的夹角。(4)(4)该轨道在磁场中能级会不会发生变化？该轨道在磁场中能级会不会发生变化？解：首先根据函数形式确定相应的量子数解：首先根据函数形式确定相应的量子数 n=2,l=1,m=0,在在没没有有外外加加磁磁场场时时，氢氢原原子子n,l 相相同同m不不同同的的各各状状态态的的能能量量本本来来是是简简并并的的，当当施施加加外外加加磁磁场场时时，m不不同同的的状状态态能能量量就就变变得得不不同同了了.原原子子的的能能级级在在磁磁场场中中将将进进一一步步发发生生分分裂裂，这这

11、种种 现现 象象 称称 为为ZeemanZeeman效应。效应。效应。效应。Bl=1 m=1 m=0 m=-1 B=0 B0原子能级磁场中能级分裂图原子能级磁场中能级分裂图 E=me B例例2 2对于氢原子，如果对于氢原子，如果设所有函数都已归一化，请对所描述的状态计算设所有函数都已归一化，请对所描述的状态计算(1)(1)能量平均值及能量能量平均值及能量E E2 2出现的几率出现的几率(2)(2)角动量平均值及出现的几率角动量平均值及出现的几率(3)(3)角动量角动量z z分量的平均值及分量的平均值及M Mz z=出现的几率出现的几率解：根据量子力学原理，对于归一化的波函数解：根据量子力学原理

12、，对于归一化的波函数，被迭加的函数被迭加的函数i i 对其贡献为对其贡献为 c ci i2 2,故故1.1.氢原子波函数氢原子波函数 中是算符中是算符 的本征函数是的本征函数是 ，算符，算符 的本征函数有的本征函数有 ，算符，算符 的本征函数有的本征函数有 .ABCABCAC2.是否分别为：是否分别为：否否习题：习题：3.求解氢原子的求解氢原子的Schrdinger 方程能自然得到方程能自然得到 n，l，m，ms四个量子数，对吗？四个量子数，对吗？4.对单电子原子来说，对单电子原子来说，角量子数角量子数 l 确定后，确定后，它的轨道它的轨道角动量矢量是能够完全确定的，对吗？角动量矢量是能够完全

13、确定的，对吗？5.对于单电子原子，对于单电子原子，在无外场时，在无外场时，能量相同的轨道数能量相同的轨道数是：是：-()(A)n2(B)2(l+1)(C)2l+1(D)n-1(E)n-l-1不对不对不对不对A6.试写出试写出He原子基态的原子基态的Slater行列式波函数。行列式波函数。基态基态 He He 原子的原子的 Slater Slater 行列式波函数为行列式波函数为He 原子薛定谔方程为原子薛定谔方程为 7.7.写出写出 He He 原子的薛定谔方程原子的薛定谔方程.8.写出下列原子能量最低的光谱支项的符号：写出下列原子能量最低的光谱支项的符号：(a)Si；(b)Mn；(c)Br；

14、(d)Nb；(e)Ni(a)Si:Ne3s23p2(b)Mn：Ar4s23d5解：写出各原子的基组态和最外层电子排布（对全充满的电子层，解：写出各原子的基组态和最外层电子排布（对全充满的电子层，电子的自旋相互抵消，各电子的轨道角动量矢量也相互抵消，不电子的自旋相互抵消，各电子的轨道角动量矢量也相互抵消，不必考虑），根据必考虑），根据Hund规则推出原子最低能态的自旋量子数规则推出原子最低能态的自旋量子数S、角、角量子数量子数L和总量子数和总量子数J，进而写出最稳定的光谱支项。，进而写出最稳定的光谱支项。(c)Br：Ar4s24p5(d)Nb：Kr5s14d4(e)Ni：Ar4s23d89.基态

15、基态Ni原子可能的电子组态为：（原子可能的电子组态为：（a）Ar3d84s2；(b)Ar3d94s1，由光谱实验确定其能量最低的光谱支项为，由光谱实验确定其能量最低的光谱支项为3F4。试试判断它是哪种组态。判断它是哪种组态。所以，基态所以，基态Ni原子的电子组态为原子的电子组态为Ar3d84s2。(a)3F43D3(b)10.已知类氢离子已知类氢离子sp3杂化轨道的一个波函数为：杂化轨道的一个波函数为：求这个状态的角动量平均值的大小。求这个状态的角动量平均值的大小。根据根据态态叠加原理和正交叠加原理和正交归归一化条件一化条件11.设体系处在状态设体系处在状态=c1211+c2210中，中，角动量平方角动量平方M2和和Mz有无定值。若有，其值为多少？若无，则求其平均值。有无定值。若有，其值为多少？若无，则求其平均值。(1)是是2属于同一本征值属于同一本征值2()2的本征函数的线性组的本征函数的线性组合合,所以，所以，是是2的本征函数的本征函数,其本征值亦为其本征值亦为2()2(2)是是z属于本征值属于本征值h和和0的本征函数的线性组合的本征函数的线性组合,它它不是不是z的本征函数的本征函数,其其Mz无确定值无确定值,其平均值为其平均值为=