第八章渐近法.ppt

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1、第八章 渐近法概概 述述 渐近法有力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等，它们都是位移法的变体，其共同的特点是避免组成和解典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。这些方法每轮计算都是按相同步骤进行，易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。在连续梁及无侧移刚架中应用十分广泛。力矩分配法对连续梁和无结点线位移刚架的计算特别方便，下面先介绍几个常用的名词。1转动刚度(也称为劲度系数)S8-1 8-1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念BAwA=1A=1wABMAB=4i=SABMAB=2iMA

2、B=-iSAB=iBAwA=1A=1wABSAB=3iMAB=0llMAB=2iSAB=4iBAwA=1(d)(e)(f)(c)(b)(a)远端定向SAB=i远端铰支SAB=3i远端固定SAB=4iA=1wMAB=i=SABABMAB=-iMAB=0MAB=3i=SAB图8-1 它表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。如图8-1(a)所示单跨梁，A端为铰结，B端为固定端，当A端(又称近端)产生单位转角 时，需要施加的力矩为4i，即转动刚度 ,若把A端也改为固定端如图8-1(d)所示，当A支座发生单位转角 时，引起A端的杆端弯矩仍为 4i由此可以看出，转动刚度

3、SAB的数值不但与杆件的线刚度i有关，而且与B端(又称远端)的支承情况有关。图8-1给出了远端为不同支承时转动刚度SAB的值，远端的杆端弯矩也标在相应的图上。2 2传递系数传递系数C C 由图8-1知，当近端发生单位转角jA=1时，远端也产生杆端弯矩MBA，远端杆端弯矩MBA与近端杆端弯矩MAB之比称为传递系数，用C表示远端固定 C=1/2 远端铰结 C=0 远端定向 C=-1 即 对于等截面杆件，传递系数C与远端的支承情况有关，具体数值如下：远端弯矩，也称为传递弯矩，用MC表示 3 3分配系数分配系数 图8-2所示刚架，A为刚结点，B、C、D端分别为固定、定向及铰结。设在A结点作用一集中力偶

4、M，刚架产生图中虚线所示变形，汇交于A结点的各杆端产生的转角均为jA，各杆杆端弯矩由转动刚度定义可知(a)图8-2amBACDi12ii3图8-2b取结点A为隔离体，见图8-2(b)，由平衡方程 可得DCABmMABACMMAD M-MAB-MAC-MAD=0 M=MAB+MAC+MAD=(SAB+SAC+SAD)=M/(SAB+SAC+SAD)=M/(c)式中 表示汇交于A结点各杆端转动刚度的总和。将(b)式代入(a)式(b)式中mAB、mAC、mAD称为分配系数,就相当于把结点力矩M按各杆转动刚度的大小比例分配给各杆的近端,所得的近端弯矩称为分配弯矩，用Mm表示。其中汇交于A结点各杆端分配

5、系数之和为1,即 。远端杆端弯矩MBA=MAB/2、MCA=-MAC、MDA=0，是由分配弯矩乘传递系数而得,即为传递弯矩。4 4力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理 以图8-3(a)为例进行说明:（1）设想在B结点加上一个刚臂阻止B结点转动如图8-3(b)所示。此时只有AB跨受荷载作用产生变形,相应的杆端弯矩MFAB、MFAB即为固端弯矩、,附加刚臂的反力矩可取B结点为隔离体而得：FFFFFFABCCBAFMABMBAMBC=0MCB=0MCBMBCMBAMABFABCMBAMBC=0BM BRBM B(a)(b)(c)FCCMB=0 MB是汇交于B结点各杆端固端弯矩代数和,它是未被平衡

6、的各杆固端弯矩的差值,故称为B结点上的不平衡力矩,以顺时针方向为正。图8-3（2）原连续梁B结点并无附加刚臂,取消刚臂的作用让B结点转动,就相当于在B结点加上一个反向的不平衡力矩如图8-3(c)所示。这时汇交于B结点的各杆端产生的弯矩 ,即前面所述的分配弯矩。在远端产生的杆端弯矩即传递弯矩MC，它是由各近端的分配弯矩乘以传递系数得到的。（3）将图8-3(b)、(c)两种情况叠加,就得到图8-3(a)所示连续梁的受力及变形。如杆端弯矩 以上就是力矩分配法的基本思路。概括来说:先在B结点加上附加刚臂阻止B结点转动,把连续梁离散,求出各杆的固端弯矩MF,此时刚臂承受不平衡力矩MB(各杆固端弯矩的代数

7、和),然后去掉附加刚臂,即相当于在B结点作用一个反向的不平衡力矩(-MB)，求出各杆端的分配弯矩及传递弯矩MC，叠加各杆端弯矩即得原连续梁各杆端的最后弯矩。用力矩分配法作题时,不必绘图8-3(b)、(c)所示图,而是按一定的格式进行计算,举例如下。例8-1 用力矩分配法计算图8-4(a)所示连续梁的M图。EI=常数。图8-4 解解:(1)计算分配系数，设i=EI/24，则 iAB=EI/8=3i iBC=EI/6=4i 将分配系数写在B结点下方的方框内。(2)计算各杆端的固端弯矩MF。(3)B结点的不平衡力矩为：MB=64-90=-26kNm，将其反号进行分配,得各杆端的分配弯矩 。(4)各杆

8、远端的传递弯矩MC的计算。(5)最后杆端弯矩的计算。由于在计算分配弯矩时,已使结点保持平衡,在最后M图校核中,利用MB=0只能校核分配过程有无错误,而对分配系数、固端弯矩MF计算是否有误则必须考虑变形条件的校核。最后弯矩图见图8-4(b)所示。为了计算更简单,分配弯矩M,及传递弯矩MC的具体算式可不必另写,而直接在图8-4表格上进行即可。例例8-28-2 计算图8-5(a)所示刚架的M图。设i=EI/4,iAB=EI/4=i,iAC=EI/4=i,iAD=2EI/4=2i。(2)计算固端弯矩M 解解:(1)计算分配系数 m。(3)分配、传递均在图8-5(b)上进行。(4)绘M图，如图8-5(c

9、)所示。A结点满足 MA=55.55+11.67-67.22=0 用力矩分配法作图示结构的M图。已知：，练习：作业：用力矩分配法计算并作图示结构M图。EI=常数。8-2 8-2 多结点的力矩分配多结点的力矩分配 上节以只有一个结点转角说明了力矩分配法的基本原理。对于有多个结点转角但无结点线位移(如两跨以上连续梁、无侧移刚架),只需依次对各结点使用上节方法便可求解。下面用图8-6(a)所示三跨连续梁来说明用逐次渐近的方法计算杆端弯矩的过程。首先将B、C两结点同时固定,计算分配系数：由于各跨及EI均为常数,故线刚度均为 ,则 。分配系数为:B结点：mBA=4i/(4i+4i)=1/2,m BC=4

10、i/(4i+4i)=1/2C结点：mCB=4i/(4i+3i)=4/7,mCD=3i/(4i+3i)=3/7再计算各杆的固端弯矩MF：将以上数据填到图8-6相应栏中,此时B、C结点均有不平衡力矩,为消除这两个不平衡力矩,位移法中是令B、C同时产生和原结构相同的转角,即同时放松B、C结点让它们一次转到实际的平衡位置,在计算中就是意味着解联立方程,而在力矩分配法中,为了避免解联立方程,只能将各结点轮流放松,用逐次渐近的方法使B、C结点达到平衡位置。第一步放松C结点。C结点的不平衡力矩MC=60-88=-28kNm，将其反号分配：将它们填入图中对应位置,C结点暂时获得平衡,在分配弯矩下面画一横线表示

11、平衡(C结点虽然转动了一个角度,但还未到最后位置),将C结点暂时再固定。分配弯矩应向各自的远端进行传递,传递弯矩为：填入图中相应位置。再看B结点，它的不平衡力矩应为原固端弯矩再加上由结点C传递过来的传递弯矩之和：MB=80-60+8=+28kNm。放松B结点，即将上述不平衡力矩反号进行分配。并同时向远端传递将上述各数据填入图中相应位置，B结点此时亦暂告平衡，仍在分配弯矩数值下面画一横线。将B结点暂时固定(B结点此时也未转到最后位置)。C、B两结点各放松一次称为第一轮计算。第二步再放松C结点。C结点由于传递弯矩 =-7kNm又产生了不平衡力矩，放松C结点，即在C结点加上一个反向的不平衡力矩进行分

12、配、传递，暂时再将C结点固定。此时B结点由于 也产生了不平衡力矩，再放松B结点进行分配、传递。如此反复将各结点轮流进行放松、固定，不断进行分配、传递，直到传递弯矩的数值小到按计算精度要求可以不计时，即可停止计算(最后应停止在分配弯矩这一步，而不再向远端传递)。最后弯矩图见图8-6(b)所示。由于分配系数m及传递系数C均不大于1，故在上述计算中，随计算轮次的增加，数值愈来愈小。为使计算收敛的更快，一般首先从不平衡力矩(绝对值)数值最大的结点开始分配、传递。当结点多于2个时，可同时放松不相邻的各结点，也同样可加快收敛的速度。例例8-3 用力矩分配法作图8-8(a)所示刚架M图。EI=常数。图8-8

13、(b)(a)M图（kNm）9.6521.2117.6113.7014.352.6021.074.811.30DECBA3m3m3m6m(i)(i)(i)(i)24kN20kN3m 解解：用力矩分配法计算刚架的杆端弯矩时，对于简单的刚架，可直接在计算简图上进行，如例8-2。但当结构杆件比较多时，采用表格的形式比较方便。表格的格式有多种，现推荐下面的格式供同学参考。(1)计算分配系数。B结点：同理，mBD=1/3,mBC=1/3 C结点：同理，mCB=1/2 (2)固端弯矩 。(3)分配传递过程CBCBC，见表8-1。(4)最后M图，如图8-8(b)所示。表8-1 杆端弯矩的计算 本章介绍的力矩分

14、配法只适应于无结点结线位移且各结点均为刚结点的结构。练习：用力矩分配法解连续梁。8-3 8-3 对称性的利用对称性的利用例8-4：用力矩分配法作图示封闭框架的弯矩图。已知各杆EI等于常数。【解】因该封闭框架的结构和荷载均有x、y两个对称轴，可以只取四分之一结构计算如图所示。作出该部分弯矩图后，其余部分根据对称结构承受对称荷载作用弯矩图亦应是对称的关系便可作出。(1)(1)计算固端弯矩计算固端弯矩MF1A=-ql2/3=-7.5kNMF1A=-ql2/3=-7.5kNm m MFA1=-ql2/6=-3.75kN MFA1=-ql2/6=-3.75kNm m写入图写入图3(c)3(c)各相应杆端

15、处。各相应杆端处。(2)(2)计算分配系数计算分配系数1A=S1A/(S1A+S1C)=0.41A=S1A/(S1A+S1C)=0.41C=S1C/(S1A+S1C)=0.61C=S1C/(S1A+S1C)=0.6将分配系数写入图将分配系数写入图(c)(c)结点结点1 1处。处。(3)(3)进行力矩的分配和传递，求最后杆端进行力矩的分配和传递，求最后杆端弯矩。弯矩。结点力的约束力矩结点力的约束力矩 MF1=MF1A+MF1C=-7.5kNMF1=MF1A+MF1C=-7.5kNm m，将其反号并乘以分配系数，便得到各杆近端的将其反号并乘以分配系数，便得到各杆近端的分配弯矩分配弯矩。将各杆分配弯

16、矩乘以传递系数便得到远端的将各杆分配弯矩乘以传递系数便得到远端的传递弯矩传递弯矩 (C1A=C1C=-1)(C1A=C1C=-1)。最后将各杆端的固端弯矩和分配弯矩最后将各杆端的固端弯矩和分配弯矩(或传或传递弯矩递弯矩)相相叠加叠加即可得到各杆端的最后杆端弯矩。即可得到各杆端的最后杆端弯矩。在最后弯矩下画双横线。在最后弯矩下画双横线。(4)(4)作弯矩图作弯矩图根据对称关系作出弯矩图如图所示。根据对称关系作出弯矩图如图所示。练习：用力矩分配法计算图示结构，并作M图。（EI=常数）1 1适用范围适用范围无剪力分配法适合计算某些特定条件下的有侧移刚架，即刚架是由两类杆件组成：（1）无侧移杆，两杆端

17、无相对线位移（2）剪力静定杆。2 2计算步骤计算步骤（1 1）固固定定结结点点。只加刚臂阻止结点的转动，而不加链杆阻止结点的移动，如图8-9b所示。对剪力静定杆来说，相当于一端固定、一端滑动的梁，计算固端弯矩 8-4 8-4 无剪力分配法无剪力分配法结点B的不平衡力矩暂时由刚臂承受。（2）放松结点。为了消除刚臂上的不平衡力矩，现在来放松结点，进行力矩的分配和传递。此时，结点B不仅转动Z1角，同时也发生水平位移。柱AB下端固定上端滑动，当上端转动时，柱的剪力为零因而处于纯弯曲受力状态，这实际与上端固定下端滑动而上端转动同样角度时的受力和变形状态完全相同。故可知其转动刚度为i，而传递系数为-1。于

18、是，图8-9 结点B的分配系数为 其它计算如图8-10。在整个力矩的分配和传递过程中，柱中原有剪力将保持不变而不增加新的剪力，故这种方法称无剪力分配法。以上计算方法可以推广到多层刚架的情况。不论有多少层，每一层的柱子均可视为上端滑动下端固定的梁图8-10 计算固端弯矩时，除了柱身承受本层荷载外，柱顶还承受剪力，其值等于柱顶以上各层所有水平荷载的代数和。计算时，各柱的转动刚度应取各自的线刚度i，而传递系数为-1（指等截面杆）。例例8-58-5 试用无剪力分配法计算图示刚架。对于CE柱，除受本层荷载外，还受有柱顶剪力10kN,故有解：解：计算分配系数时注意各柱端的劲度系数应等于其柱的线刚度。各柱的固端弯矩，对于AC柱为对于EG柱，除受本层荷载外，还受有柱顶剪力20kN,故有其余计算如图8-11b所 示，M图 如 图 8-11b所示。练习：已知立柱长度为L，横梁长度L/2，各杆EI为常数。