解三角形课件.ppt

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1、解三角形的综合问题【主干知识主干知识】1.1.必记公式必记公式(1)(1)正弦定理：正弦定理：定理定理变形公式变形公式变形变形1 1变形变形2 2_=2R_=2R(2R(2R为为ABCABC外接圆的直径外接圆的直径)a=_a=_b=_b=_c=_c=_重要结论重要结论:abc=sinAsinBsinC:abc=sinAsinBsinC2RsinA2RsinA2RsinB2RsinB2RsinC2RsinC定理定理推论推论a a2 2=_=_b b2 2=_=_c c2 2=_=_(2)(2)余弦定理：余弦定理：b b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAa a2 2+c+c2 2

2、-2accosB-2accosBa a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC(3)(3)面积公式：面积公式：S SABCABC bcsin Abcsin A_ _ 【考题回顾考题回顾】1.(20141.(2014湖北高考湖北高考)在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a a，b b，c.c.已知已知A=A=，a=1a=1，b=b=，则，则B=_.B=_.【解析解析】依题意，由正弦定理知依题意，由正弦定理知得出得出sin B=.sin B=.由于由于0B0B，所以，所以B=B=答案：答案：2.(20142.(2014北京高考北京高考)在在AB

3、CABC中，中，a=1a=1，b=2b=2，cos C=cos C=，则，则c=_c=_；sin A=_.sin A=_.【解析解析】由余弦定理得由余弦定理得cos C=cos C=，又，又a=1,b=2,a=1,b=2,cos C=,cos C=,代入得代入得c=2,c=2,而而sin C=sin C=由正弦定理得由正弦定理得 解得解得sin A=sin A=答案：答案：2 2 3.(20143.(2014益阳模拟益阳模拟)在在ABCABC中，中，sin A+cos A=sin A+cos A=,AC=4,AB=5,AC=4,AB=5,则则ABCABC的面积是的面积是_._.【解析解析】根据

4、题意，在根据题意，在ABCABC中，中，sin A+cos A=sin A+cos A=sin(A+)=sin(A+)=sin(A+)=,sin(A+)=,答案：答案：4.(20144.(2014长沙模拟长沙模拟)在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对所对的边分别为的边分别为a,b,c,a,b,c,已知已知 则则C=()C=()A.30 B.45A.30 B.45C.45C.45或或135 D.60135 D.60【解析解析】选选B.B.由由1+1+切化弦，边化角得：切化弦，边化角得：由正弦定理得：由正弦定理得：又又C(0,)C(0,)，所以，所以C=C=或或C=(C=(舍去舍

5、去).).热点考向一热点考向一 正、余弦定理在解三角形的应用正、余弦定理在解三角形的应用 考情快报考情快报难度:基础题、中档题命命题题指数指数:题型:选择题、填空题、解答题考查方式:主要考查利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算,三角形形状的判定以及有关范围的计算,常与三角恒等变换综合考查【典题典题1 1】1 1、(西城模拟西城模拟)在在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的的对边分别为对边分别为a a，b b，c.c.已知已知 (1)(1)求求 的值的值.(2)(2)若若cos B=cos B=，b=2,b=2,求求ABCABC的面积的面积.【解析】(1)由正弦定理得a=2Rs

6、in A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,所以即sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B-sin Acos B,即有sin(A+B)=2sin(B+C),即sin C=2sin A,所以(2)(2)由由(1)(1)知知:=2,:=2,即即c=2a.c=2a.又因为又因为b=2,b=2,所以由余弦定理得：所以由余弦定理得：b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2accos B,-2accos B,即即2 22 2=4a=4a2 2+a+a2 2-2a-2a2a2a ,解得解得a=1(a=1(负值舍负值舍去去),),所以所以c=2.c=2.又因为又因为cos

7、 B=cos B=，所以，所以sin B=sin B=故故ABCABC的面积为的面积为2 2、设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C所所对对的的边边分分别为别为a,b,c,a,b,c,若若(a(a2 2+b+b2 2)sin(A-B)sin(A-B)=(a=(a2 2-b-b2 2)sin(A+B)sin(A+B),则则ABCABC的形状如何的形状如何?【解析解析】方法一方法一:由已知由已知(a(a2 2+b+b2 2)sin(A-B)sin(A-B)=(a=(a2 2-b-b2 2)sin(A+B),)sin(A+B),得得a a2 2sin(A-B)-sin(A+B)sin(A-

8、B)-sin(A+B)=b=b2 2-sin(A+B)-sin(A-B),-sin(A+B)-sin(A-B),所以所以2a2a2 2cosAsinB=2bcosAsinB=2b2 2cosBsinA.cosBsinA.由正弦定理得由正弦定理得sinsin2 2AcosAsinB=sinAcosAsinB=sin2 2BcosBsinA,BcosBsinA,即即sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB.sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB.因为因为0A,0B,0A,0B,所以所以sin2A=sin2B,sin2A=sin2B,所以所以2A=2B2A=2B或或2A

9、=-2B,2A=-2B,即即A=BA=B或或A+B=.A+B=.所以所以ABCABC是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形.方法二方法二:同方法一可得同方法一可得2a2a2 2cosAsinB=2bcosAsinB=2b2 2cosBsinA,cosBsinA,由正、余弦定理得由正、余弦定理得 所以所以a a2 2(b(b2 2+c+c2 2-a-a2 2)=b)=b2 2(a(a2 2+c+c2 2-b-b2 2),),即即(a(a2 2-b-b2 2)(c)(c2 2-a-a2 2-b-b2 2)=0.)=0.所以所以a=ba=b或或c c2 2=a=a2 2+b+b2 2,所以

10、所以ABCABC是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形.易错提醒:(1)忽视解的多种情况:如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=,求C,再由正弦定理或余弦定理求边c,但解可能有多种情况.(2)忽略角的范围:应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时,要注意角的范围.热点考向二热点考向二 正、余弦定理的实际应用正、余弦定理的实际应用 考情快报考情快报难难度度:中档中档题题命命题题指数指数:题题型型:以解答以解答题为题为主主考考查查方式方式:主要考主要考查查利用正、余弦定理解决一些利用正、余弦定理解决一些现实现实生活中航海生活中航海(空空)测测量、量、设计问题设计问题,

11、体体现现知知识识的的应应用能力用能力【典例典例2 2】(2013(2013江江苏苏高考高考)如如图图,游客从某旅游景区的景点游客从某旅游景区的景点A A处处下山至下山至C C处处有两种路径有两种路径.一种是从一种是从A A沿直沿直线线步行到步行到C,C,另一种是另一种是先从先从A A沿索道乘沿索道乘缆车缆车到到B,B,然后从然后从B B沿直沿直线线步行到步行到C.C.现现有甲、乙两有甲、乙两位游客从位游客从A A处处下山下山,甲沿甲沿ACAC匀速步行匀速步行,速度速度为为50m/min.50m/min.在甲出在甲出发发2min2min后后,乙从乙从A A乘乘缆车缆车到到B,B,在在B B处处停

12、留停留1min1min后后,再从再从B B匀速步行到匀速步行到C.C.假假设缆车设缆车匀速直匀速直线线运运动动的速度的速度为为130m/min,130m/min,山路山路ACAC长为长为1260m,1260m,经经测测量量,cosA=,cosC=.,cosA=,cosC=.(1)(1)求索道求索道ABAB的长的长.(2)(2)问问:乙出发多少分钟后乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短乙在缆车上与甲的距离最短?(3)(3)为使两位游客在为使两位游客在C C处互相等待的时间不超过处互相等待的时间不超过3 3分钟分钟,乙步行的乙步行的速度应控制在什么范围内速度应控制在什么范围内?【解析解析】(

13、1)(1)在在ABCABC中，因为中，因为cos A=,cos C=,cos A=,cos C=,所以所以sin A=,sin C=.sin A=,sin C=.从而从而sin B=sinsin B=sin-(A+C)-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C由正弦定理由正弦定理=1 040(m).=1 040(m).所以索道所以索道ABAB的长为的长为1 040 m.1 040 m.(2)(2)假设乙出发假设乙出发t t分钟后，甲、乙两游客距离为分钟后，甲、乙两游客距离为d,d,此时，甲行此时，甲行

14、走了走了(100+50t)m(100+50t)m，乙距离，乙距离A A处处130t m130t m，所以由余弦定理得，所以由余弦定理得d d2 2=(100+50t)=(100+50t)2 2+(130t)+(130t)2 2-2-2130t130t(100+50t)(100+50t)=200(37t=200(37t2 2-70t+50),-70t+50),因因0t ,0t ,即即0t8,0t8,故当故当t=(min)t=(min)时，甲、乙两游客距离最短时，甲、乙两游客距离最短.(3)(3)由正弦定理由正弦定理乙从乙从B B出发时，甲已走了出发时，甲已走了5050(2+8+1)=550(m)

15、(2+8+1)=550(m)，还需走，还需走710 m710 m才能到达才能到达C.C.设乙步行的速度为设乙步行的速度为v m/minv m/min，由题意得，由题意得-3 3-3 3，解，解得得所以为使两位游客在所以为使两位游客在C C处互相等待的时间不超过处互相等待的时间不超过3 3分钟，乙步分钟，乙步行的速度应控制在行的速度应控制在 (单位：单位：m/min)m/min)范围内范围内.【巩固练习巩固练习】：（怀化模拟：（怀化模拟)在某海滨城市在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市台风中心位于城市O(O(如图如图)的东偏南的东偏南(cos=

16、)(cos=)方向方向300 km300 km的海的海面面P P处，并以处，并以20 km/h20 km/h的速度向西偏的速度向西偏北北4545方向移动，台风侵袭的范围方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为为圆形区域，当前半径为60 km60 km，并以并以10 km/h10 km/h的速度不断增大，则的速度不断增大，则几小时后，该城市开始受到台风的侵袭，并求出受到台风侵袭几小时后，该城市开始受到台风的侵袭，并求出受到台风侵袭的时间的时间.【解析解析】设在时刻设在时刻t(h)t(h)台风中心为台风中心为Q Q，此时台风侵袭的圆形区，此时台风侵袭的圆形区域半径为域半径为10t+60(km

17、)10t+60(km)，若在时刻，若在时刻t t城市城市O O受到台风的侵袭，则：受到台风的侵袭，则：OQ10t+60.OQ10t+60.由条件知：由条件知：cosOPQ=cos(-45cosOPQ=cos(-45)=cos cos 45)=cos cos 45+sin sin 45+sin sin 45=由余弦定理知：由余弦定理知：OQOQ2 2=(20t)=(20t)2 2+300+3002 2-2-220t20t300300 =20 =202 2t t2 2-9 600t+300-9 600t+3002 2,故故20202 2t t2 2-9 600t+300-9 600t+3002 2

18、(10t+60)(10t+60)2,2,t t2 2-36t+2880,12t24,-36t+2880,12t24,所以所以1212小时后该城市开始受到台风的侵袭，受到台风侵袭的小时后该城市开始受到台风的侵袭，受到台风侵袭的时间有时间有1212小时小时.【规律方法】应用正、余弦定理解决实际问题的步骤及流程(1)解题步骤读题.分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等;图解.根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;建模.将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解;验证.检验解出的结果是否

19、具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.(2)思维流程【加固加固训练训练】1.(20141.(2014江江苏苏高考高考)若若ABCABC的内角的内角满满足足sinA+sinA+sinB=2sinC,sinB=2sinC,则则cosCcosC的最小的最小值值是是.2 2、20142014盐城模拟盐城模拟)已知已知ABCABC的周长为的周长为 +1+1，且，且sin A+sin A+sin B=sin C.sin B=sin C.(1)(1)求边求边ABAB的长的长.(2)(2)若若ABCABC的面积为的面积为 sin C,sin C,求角求角C.C.3 3、(2014(2014吉林模拟吉林模拟)在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c，满足，满足b b2 2+c+c2 2-a-a2 2=bc,=bc,则则b+cb+c的取值范围的取值范围是是_._.